索春鳳, 王貴君

(天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387)

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折線Mamdnai模糊系統(tǒng)及其權值參數的螢火蟲優(yōu)化算法

索春鳳, 王貴君*

(天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387)

摘要：折線Mamdnai模糊系統(tǒng)是基于折線模糊數的線性運算構造的系統(tǒng)模型,其主要特點是前件模糊集及后件中心連接權均取值于由有限個有序點決定的折線模糊數. 依據折線模糊規(guī)則建立了折線Mamdnai模糊系統(tǒng)模型,進而基于適應度函數、熒光素和決策半徑設計了該系統(tǒng)權值參數的螢火蟲優(yōu)化算法,以優(yōu)化該系統(tǒng)的后件中心連接權參數.最后,通過一個雙輸入單輸出仿真實例，驗證了該螢火蟲優(yōu)化算法的有效性.

關鍵詞：折線模糊數;折線Mamdnai模糊系統(tǒng);后件中心連接權;螢火蟲優(yōu)化算法

SUO Chunfeng, WANG Guijun

(SchoolofMathematicsSciences,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

2009年,劍橋大學YANG教授受自然界螢火蟲發(fā)光的生物學啟發(fā)，首次提出了仿生算法.此算法的主要特點是通過搜索空間中的粒子尋找最優(yōu)解,并在連續(xù)和離散空間優(yōu)化權值參數,該算法曾被廣泛應用于諸多研究領域[1-3].在此基礎上興起了群智能優(yōu)化仿生算法，包括粒子群算法、遺傳算法、蟻族算法等[4-6].2002年,劉普寅教授[7]首次提出折線模糊數概念及其算術運算,該運算不僅滿足線性和封閉性,而且克服了基于Zadeh擴展原理的傳統(tǒng)模糊數運算的復雜性.此外,文獻[7]還率先引入單輸入單輸出(SISO)折線模糊神經網絡(PFNN),并證明了該網絡比傳統(tǒng)BP模糊神經網絡具有更強的逼近性.文獻[8]通過引入K-積分模研究了該網絡對一類可積函數的逼近性能.文獻[9-10]基于Armijo-Goldstein線性搜索準則設計了折線FNN的共軛梯度算法和GA-BP混合算法,從而改進了權值參數的全局尋優(yōu)能力.文獻[11]則討論了訓練模式對的攝動對該網絡穩(wěn)定性的影響.然而,上述學習算法和逼近性能都是針對SISO折線FNN所獲得.文獻[12]首次提出多輸入單輸出(MISO)折線FNN結構模型,并依據折線模糊數的線性運算設計了該網絡的Hebb算法和粒子算法,具有一定的隨機性和參數多樣性,Hebb算法直觀且易實現,而粒子算法穩(wěn)定性好且收斂速度較快.然而,傳統(tǒng)模糊系統(tǒng)依據前件和后件模糊規(guī)則來構造數學模型,其拓撲結構圖類似于一個模糊神經網絡(FNN).

近年來,利用模糊系統(tǒng)獲得模糊規(guī)則頗受人們青睞,有研究對T-S模糊系統(tǒng)實施網絡分層方法,并采用離散二進制微粒位置表示該模型的結構參數,這不僅減少了規(guī)則數,也降低了優(yōu)化權值參數的復雜性.本文主要依據折線模糊數及其線性運算首次提出折線Mamdnai模糊系統(tǒng),并通過改進螢火蟲算法、適應度函數、熒光素和決策半徑，對折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的中心連接權參數實施優(yōu)化,以便提高算法精度和收斂速度.

1預備知識

一般模糊數的算術運算遵循Zadeh擴展原理,但即使最簡單的三角形模糊數加減法運算也都頗顯復雜,以致這種運算時常不被人們看好.2002年,為了近似地實現模糊數之間的非線性運算，劉普寅教授[7]首次提出n-折線模糊數概念及其算術運算,這種運算不僅具有線性性和封閉性,而且大大降低了傳統(tǒng)模糊數運算的復雜性.

本文用Rn表示n維歐式空間,N表示自然數集,R+表示正實數集,F0(R)表示R上所有模糊數構成的集合.下面,綜合文獻[7-8]給出n-折線模糊數的定義及其相關算術運算.

圖1　n-折線模糊數的隸屬函數圖像Fig. 1　Membership function image of

界定n-折線模糊數加減和數乘運算如下:

③設k≥0,則

界定度量

2折線Mamdnai模糊系統(tǒng)

不妨設折線Mamdnai模糊系統(tǒng)由L條模糊規(guī)則組成,第k條模糊規(guī)則表示為

仿照傳統(tǒng)模糊神經網絡結構圖可給出折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的拓撲結構圖如圖2所示.

圖2　折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的拓撲結構Fig. 2　Topological structure of polygonalMamadnai fuzzy system

(1)

(2)

其中,輸入變量x=(x1,x2…,xd)∈(R+)d,且

則對每個k=1,2,…,L均滿足

j=1,2;i=0,1,2,…,n.

注1由于n-折線模糊數是由2n+2個有序點確定的,因此可把折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的輸出看成是清晰輸出.但對于傳統(tǒng)模糊神經網絡來說,其初始權值和閾值一般均是模糊數,當然其輸出也是模糊數.由于基于Zadeh擴展原理的模糊數算術運算極其復雜,通常計算系統(tǒng)的輸出(模糊數)更是難上加難.文獻[9-12]曾基于折線模糊數的運算討論了3層前向折線模糊神經網絡及其學習算法,從而使該網絡運算簡單了許多.但是優(yōu)化網絡時需優(yōu)化的參數較多,致使優(yōu)化速度變慢.本文將傳統(tǒng)Mamdnai模糊系統(tǒng)看作一個3層前向折線模糊神經網絡.目前僅討論輸出中心連接權為折線模糊數,故需優(yōu)化的參數大幅度減少!但對于文獻[9-10]所提到的BP算法和共軛梯度算法來說,折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的權值參數優(yōu)化算法是否加快了收斂速度或避免了陷入局部極小點仍沒有定論.因此,本文基于文獻[3-4]提出了改進螢火蟲算法,該算法具有較好的魯棒性和直觀性等特點.

3螢火蟲算法設計

螢火蟲在群聚過程中通過自身散發(fā)的熒光素進行交流、覓食及尋偶繁殖.通常情況螢火蟲散發(fā)的熒光素越亮越吸引螢火蟲聚集在它周圍.螢火蟲算法是基于螢火蟲通過熒光素交流思想而提出的一種仿生群智能算法.本節(jié)將從螢火蟲聚集的熒光素和決策半徑入手設計算法.

根據n-折線模糊數的度量DE定義折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的適應度函數

E.

(3)

W=(w1,w2,…,wk,…,wL),

其中,每個分量wk為

不妨將多維向量W=(w1,w2,…,wk,…,wL)視為方程(3)的一個可行解,此時,每個螢火蟲都依適應度函數E(W)決定一個值.現隨機給定一組初始解(螢火蟲初始位置)WP(p為解個數)，并限定每個螢火蟲的熒光素及決策半徑.由于螢火蟲根據熒光素的亮暗程度和自身感知范圍來決定自身的移動方向和距離,故在迭代中通過選擇向比自己亮的鄰近螢火蟲方向移動,當然決策半徑也會隨之改變,進而通過計算適應度函數E(W)來考證此時位置是否就是螢火蟲的最佳位置;如不是,則進行循環(huán)迭代,直至找到最優(yōu)個體極值位置,當然此時位置也是全局極值.

此外,螢火蟲算法由于受其移動的距離影響會導致自身收斂速度變慢和精確度降低,為此參考文獻[6]改變移動策略來研究折線Mamdnai模糊系統(tǒng)中后件中心連接權值的優(yōu)化問題.

依文獻[3]給出的螢火蟲向熒光素亮的鄰近螢火蟲移動后熒光素的計算公式：

lp(t+1)=(1-ρ)lp(t)+γE(Vp(t+1)).

(4)

其中,lp(t)表示第p個螢火蟲在t次迭代過程中的熒光素,lp(t+1)表示第p個螢火蟲在t+1次迭代中的熒光素,E(Wp(t+1))是依據式(3)復合得到的適應度函數值,γ是熒光素的更新率,常數ρ滿足0<ρ<1.

設第t次迭代過程中第i個螢火蟲向第j個螢火蟲移動的概率為pij(t)，其計算公式為

(5)

在決策半徑內熒光素高的螢火蟲個數為:

β(nt-|Nt(t)|)}}，

(6)

其中,Rs為感知半徑,β為控制參數,nt為蟲周圍鄰近數目.

另外,由于折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的后件中心連接權由2n+2個有序參數確定,不妨將其設為螢火蟲算法中每個個體的編碼長度.因此,通過計算適應度函數值、更新位置、決策半徑和熒光素找到最佳函數值對應的個體,從而優(yōu)化螢火蟲群體.

下面針對折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的權值參數給出螢火蟲優(yōu)化算法的步驟如下:

Step 1初始化.給定自然數n0作為迭代過程中每一階段螢火蟲的總數,并隨機選取n0個初始位置的參數向量Wp=Wp[0]=(w1,w2,…,wk,…,wL)和初始熒光素Lp(0)=(l1p,l2p,…,lLp),p=1,2,…,n0.給定精度ε>0,初始迭代步驟t=0,最大迭代步驟是T.

Step 2計算實際輸出和適應度值.依據定義2將隨機選取的初始后件中心連接權值WP[0]代入式(2)計算實際輸出值,再根據式(3)計算適應度函數值E(Wp[0]).

Step 3更新熒光素值.如果發(fā)現某個螢火蟲鄰近的螢火蟲熒光素比自己更亮,則要根據式(4)設置常數ρ和γ,并重新計算自身的熒光素值.

Step 4更新螢火蟲位置.當第i個螢火蟲找到第j個螢火蟲時,且兩者之間的距離小于決策半徑,則螢火蟲i將按式(5)的概率向螢火蟲j移動,具體計算公式如下:

其中,lbp[t]是螢火蟲自身達到的最佳位置,而abp[t]是群體達到的最佳位置,Wp[t+1]表示產生的新位置,i,j,p∈{1,2,…,n0},i≠j≠p,且rp∈[-1,1],φ∈[0,1].

Step 5更新決策半徑.當螢火蟲向熒光素亮的螢火蟲移動時會使自身亮度增強,從而使決策半徑發(fā)生變化.此時,可依式(6)設置感知半徑Rs和參數β,以便隨時更新決策半徑.

Step 6判斷輸出后件中心權值參數向量Wp(t+1)中每2n+2個參數是否滿足由小到大次序,若滿足則直接轉Step 6;否則,將這2n+2個參數由小到大重新排序后再轉Step 6.

Step 7若迭代超過最大步次數T或達到設定精度ε,則退出操作;否則,返回執(zhí)行Step 2.

Step 8輸出螢火蟲的最佳位置參數Wp.

注2Step 4中移動方案采用了人工蜂群算法[6],但由于本文針對n-折線模糊中2n+2個正有序實數進行優(yōu)化,故其優(yōu)化步驟要有別于常規(guī)神經網絡的優(yōu)化算法.為此,將被優(yōu)化的參數組成一個多維向量,考慮這2n+2個正實數的有序性,因此算法Step 6中須將次序調整為由小到大排列.

4模擬實例

本節(jié)將通過一個雙輸入單輸出折線Mamdnai模糊系統(tǒng)例子來驗證優(yōu)化權值參數的有效性.

設熒光蟲的初始熒光素為

Lp(0)=(l1p,l2p,…,lsp),

其中,lip∈[0,5].現給定計算熒光素和決策半徑的實參數分別為:ρ=0.8,γ=0.05,β=0.65.再設d=2,n=3,給定精度ε=0.001,規(guī)則庫由L(=2)條規(guī)則組成,其中每條規(guī)則的形式如下：

根據式(2)折線Mamdnai模糊系統(tǒng)的實際輸出表達為

(7)

其中,?x=(x1，x2)∈(R+)2.

3-折線模糊數A11(0.00,0.21,1.17,1.22,1.70,1.85,3.30,3.58)A12(1.98,2.20,2.95,3.25,4.20,5.50,5.95,6.10)w1(0.11,0.13,0.17,0.22,0.30,0.35,1.30,1.88)

3-折線模糊數A21(0.00,0.31,1.34,1.42,1.70,2.85,3.30,3.85)A22(1.48,1.55,2.85,3.25,3.55,3.78,4.05,5.15)w2(0.38,0.40,1.25,1.85,2.20,2.50,2.65,3.10)

依據表1與2的數據給出2個訓練模式對的3-折線模糊數的隸屬函數圖像如圖3～5所示.按螢火蟲優(yōu)化算法可獲得優(yōu)化的后件中心連接權、系統(tǒng)實際輸出和期望輸出的圖像如圖6～8所示.

圖3　前件和的隸屬函數圖像Fig. 3　The membership function of

圖4　前件和的隸屬函數圖像Fig. 4　The membership function of

圖5　后件中心連接權1和2的圖像Fig. 5　Centre connection weights 2

圖6　優(yōu)化的后件中心連接權圖像Fig. 6　Connection weights of consequent centre

圖7　系統(tǒng)的實際輸出圖像Fig. 7　The actual output of the

圖8　系統(tǒng)的期望輸出圖像Fig. 8　The expected output of the

再將后件中心連接權組成一個多維向量,按照螢火蟲優(yōu)化算法1～8步及題設參數，優(yōu)化的后件中心連接權值參數、系統(tǒng)實際輸出和期望輸出的數據值如表3與4.

表3　優(yōu)化后系統(tǒng)的后件中心連接權值

表4　折線Mamdnai模糊系統(tǒng)實際和期望輸出

在上述系統(tǒng)的優(yōu)化過程中,涉及計算的次數比較多,因此可以利用MATLAB軟件計算獲得螢火蟲優(yōu)化算法的迭代次數與誤差變化的誤差迭代圖(見圖9).

圖9　總誤查變化迭代圖Fig. 9　The change of the total error

從圖9不難看出，螢火蟲優(yōu)化算法大約50步前誤差相對偏高,之后大幅降低,直至迭代120步時誤差趨于平穩(wěn),從而達到所給精度.

5結論

基于后件中心連接權取值為n-折線模糊數引入了折線Mamdnai模糊系統(tǒng),設計了螢火蟲算法來優(yōu)化該系統(tǒng)的后件中心連接權.由仿真實例不難看出，該螢火蟲優(yōu)化算法在迭代次數不是很高的情況下就能達到低精度.但由于折線Mamdnai模糊系統(tǒng)主要依賴于n-折線模糊數的運算,涉及的參數較多,而且隨著該系統(tǒng)調節(jié)參數的不斷增多，可能會使計算機記憶溢出或出現延遲現象.因此,如何克服該算法的這些缺陷需進一步探索.

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Polygonal Mamdnai fuzzy system and the firefly optimization algorithm of its weight parameters. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):149-155

Abstract:The polygonal Mamadnai fuzzy system is a model based on the linear operation of polygonal fuzzy numbers, and its main characteristic is that the antecedent fuzzy sets and consequent centre connection weights are decided by finite points of a polygonal fuzzy number. In this paper, a polygonal Mamdnai fuzzy system is constructed by some polygonal fuzzy rules, and a firefly optimization algorithm for the weigh parameters is designed based on the fitness function, fluorescein and decision radius. Therefore, the consequent centre connection weights of this system are optimized. Finally, through a double input and single output simulation instance, we verify the effectiveness of the firefly optimization algorithm.

Key Words:polygonal fuzzy numbers; polygonal Mamadnai fuzzy system; consequent centre connection weights; firefly optimization algorithm

中圖分類號：TP 183;O 159

文獻標志碼：A

文章編號：1008-9497(2016)02-149-07

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.005

作者簡介：索春鳳(1990-),ORCID:http://orcid.org/000-0001-7082-8151,女,碩士研究生,主要從事模糊神經網絡與模糊系統(tǒng)研究，E-mail:1242362420@qq.com.*通信作者， E-mail:tjwgj@126.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61374009).

收稿日期：2015-06-08.