虞泓波,馮大政,解 虎

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

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采用序列二次規(guī)劃求解的穩(wěn)健波束形成新算法

虞泓波,馮大政,解 虎

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

摘要:利用盡可能少的先驗(yàn)信息進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì)的穩(wěn)健波束形成方法利用半正定松弛算法求解,面臨可能存在性能損失、計(jì)算復(fù)雜度高的問題,針對該問題提出一種采用序列二次規(guī)劃求解的新算法.首先利用一階泰勒級數(shù)將原始模型線性近似為凸優(yōu)化問題,然后對該子凸優(yōu)化問題進(jìn)行迭代求解.此外,還考慮了協(xié)方差矩陣失配問題,提出最壞情況性能最優(yōu)的序列二次規(guī)劃算法提高序列二次規(guī)劃算法的性能.理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明,序列二次規(guī)劃算法收斂速度較快,收斂點(diǎn)逼近原始問題最優(yōu)解,與現(xiàn)有半正定松弛算法相比,能夠有效降低計(jì)算量,該算法在小參數(shù)值時(shí)即可有效改進(jìn)序列二次規(guī)劃算法的性能.

關(guān)鍵詞:導(dǎo)向矢量估計(jì);穩(wěn)健波束形成;序列二次規(guī)劃;線性近似;最壞情況性能最優(yōu)

自適應(yīng)波束形成是陣列信號處理中的一項(xiàng)重要任務(wù),為了提高波束形成器的性能,近年來穩(wěn)健的波束形成方法得到深入研究.文獻(xiàn)[1]提出了基于最壞情況性能最優(yōu)(Worst-Case)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法;文獻(xiàn)[2]針對非相干散射信號源穩(wěn)健波束形成問題,提出了一種均勻線陣下通用信號模型穩(wěn)健波束形成算法;文獻(xiàn)[3]基于導(dǎo)向矢量失配模型,提出一種迭代求解算法,以估計(jì)期望信號導(dǎo)向矢量;文獻(xiàn)[4-5]提出了基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成方法,通過重構(gòu)干擾和噪聲協(xié)方差矩陣提高了協(xié)方差矩陣的有效性,但這類算法目前計(jì)算量很大,需要進(jìn)一步研究降低計(jì)算量的方法;文獻(xiàn)[6]對文獻(xiàn)[3]中的算法進(jìn)行改進(jìn),提出一種半正定松弛(Semi-Definite Relaxation,SDR)算法進(jìn)行導(dǎo)向矢量估計(jì),與文獻(xiàn)[3]中的算法相比,增大了系統(tǒng)自由度,因而具有更高的輸出信干噪比(Signal to Interference and Noise Ratio,SINR);文獻(xiàn)[6-7]指出SDR算法的先驗(yàn)信息依賴性低于傳統(tǒng)的穩(wěn)健波束形成算法(如文獻(xiàn)[1-2]中的算法).

然而,利用SDR算法求解依然面臨一些問題.首先,只有當(dāng)原始問題的解惟一時(shí),松弛后的問題才總會(huì)有秩1的最優(yōu)解[6],但原始問題最優(yōu)解的惟一性不一定總是成立,這樣采用SDR算法求解有可能會(huì)造成性能損失;其次,經(jīng)過松弛后需要對N階矩陣變量進(jìn)行凸優(yōu)化,計(jì)算復(fù)雜度很高,不利于工程實(shí)際應(yīng)用.文中提出采用序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming,SQP)對原始問題進(jìn)行求解,首先利用一階泰勒公式將原始問題線性近似為一個(gè)子二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Programming,SOCP)問題,然后迭代求解子SOCP問題,此外,還考慮了協(xié)方差矩陣失配問題,提出最壞情況性能最優(yōu)的序列二次規(guī)劃(SQP-WC)算法來提高SQP算法的性能.

1 采用SQP求解的穩(wěn)健波束形成

1.1 SQP算法

假設(shè)一個(gè)陣列包含N個(gè)陣元,空間遠(yuǎn)場處有P個(gè)信號源,則陣列的接收數(shù)據(jù)矢量可以表示為

將ck+δ代入代價(jià)函數(shù)式(3)中,并結(jié)合式(4)可以得到代價(jià)函數(shù),即增加變量δ的模約束,是為了使得每次更新的δ不至于過大.容易看出,代價(jià)函數(shù)式(5)為一個(gè)SOCP問題,利用內(nèi)點(diǎn)法容易求解.因此,假設(shè)經(jīng)過k次迭代得到ck后,可以利用代價(jià)函數(shù)式(5)求解增量δ,然后將ck+1= ck+δ作為新的初值進(jìn)行求解.綜上所述,文中所提SQP算法的計(jì)算步驟可以概括為:

(1)給定初值c0及迭代停止參數(shù)β,0＜β?1;

(2)將ck-1代入代價(jià)函數(shù)式(5),求解凸優(yōu)化問題式(5),得到最優(yōu)解δk;

繼續(xù)執(zhí)行步驟(2)至(3).

1.2 SQP-WC算法

假設(shè)R是真實(shí)協(xié)方差矩陣,那么采樣協(xié)方差矩陣與真實(shí)協(xié)方差矩陣的失配關(guān)系可以描述為[8]

其中,I為N階單位矩陣.觀察式(8)容易發(fā)現(xiàn),由于R與^R均為Hermit矩陣,令Δ1= -R-1Δ^R-1,則逆矩陣失配量Δ1必為Hermit矩陣,根據(jù)Cauchy-Schwartz不等式,有

這里利用了R為固定值這一信息.類似于文獻(xiàn)[8],最壞情況性能最優(yōu)的導(dǎo)向矢量估計(jì)方法可以寫為

利用文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果,最壞情況性能最優(yōu)序列二次規(guī)劃算法(SQP-WC)經(jīng)過k次迭代后的線性近似為

2 初始值的選取

從第1節(jié)模型推導(dǎo)過程中可以看出,初始值離最優(yōu)解越近,在一定的增量模上限下其收斂速度會(huì)越快.雖然假定導(dǎo)向矢量與真實(shí)導(dǎo)向矢量之間存在失配,但通常考慮的失配量相對較小,因此假定導(dǎo)向矢量已經(jīng)比較接近真實(shí)的導(dǎo)向矢量,由此,代價(jià)函數(shù)式(5)與式(11)的一個(gè)較好的初值可以由假定導(dǎo)向矢量ˉa得到,即

所以文中SQP與SQP-WC算法中,可以將假定的導(dǎo)向矢量分別作為兩種算法的初值.

3 收斂性說明及計(jì)算復(fù)雜度分析

需要說明的是,由于文中算法是對約束中的非凸約束進(jìn)行線性逼近,因此,會(huì)收斂到一個(gè)局部最優(yōu)解[8],但從第4節(jié)的系列仿真實(shí)驗(yàn)可以看出,文中方法求得的解非常接近文獻(xiàn)[6]中SDR方法的解.從仿真實(shí)驗(yàn)可以看出,經(jīng)過6步左右,文中方法即可收斂,這樣,SQP算法的計(jì)算復(fù)雜度將遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[6]中的SDR算法.由文獻(xiàn)[9]可知,SDR算法的計(jì)算復(fù)雜度為O( N4.5log(1/ε)),其中ε＞0,為求解精度,而文獻(xiàn)[10]綜合考慮求解精度的影響,認(rèn)為SDR算法的計(jì)算復(fù)雜度甚至高達(dá)O(N6),如此高的計(jì)算復(fù)雜度限制了SDR算法在實(shí)際工程中的應(yīng)用.文中算法的計(jì)算復(fù)雜度主要在于每次迭代需要求解的子SOCP問題,文獻(xiàn)[11]指出求解SOCP的計(jì)算復(fù)雜度為O(N3.5),那么,文中方法的計(jì)算復(fù)雜度為O(6N3.5),顯然有

由式(13)可知,SQP及SQP-WC算法相對于SDR算法能夠有效降低計(jì)算復(fù)雜度、提高計(jì)算效率.

4 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

仿真實(shí)驗(yàn)考慮10個(gè)陣元的均勻線陣,陣元間距均為半個(gè)波長.假設(shè)空間遠(yuǎn)場處存在兩個(gè)點(diǎn)干擾,分別位于30°與50°,干噪比(Interference and Noise Ratio,INR)均為30 dB,按照文獻(xiàn)[8]中方法,加載因子根據(jù)=進(jìn)行設(shè)置,其中u稱為相對調(diào)整因子,符號tr{·}表示求矩陣的跡.仿真實(shí)驗(yàn)中將主要考慮兩種導(dǎo)向矢量失配場景,一種是波達(dá)方向失配,一種是局部相干散射引起的導(dǎo)向矢量失配,由于在實(shí)際應(yīng)用中陣元幅相誤差難以避免,因此,在兩種場景中都考慮了陣元幅相誤差,假設(shè)各個(gè)陣元幅相誤差均服從零均值高斯分布,方差均為0.01.實(shí)驗(yàn)中采用100個(gè)樣本來估計(jì)協(xié)方差矩陣,除圖2和圖3外,其余仿真圖均為100次實(shí)驗(yàn)取平均值的結(jié)果.文中所提SQP與SQP-WC算法中增量δ的模上限均設(shè)為μ=0.3(對于模增量上限的選取參考了文獻(xiàn)[8],在此不作過多討論),迭代停止參數(shù)設(shè)為β=0.001.

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)真實(shí)目標(biāo)信號方向?yàn)?°,而假定目標(biāo)信號方向?yàn)?°,也就是說導(dǎo)向矢量存在3°失配.文中算法、SDR算法均選取期望信號角域Θ=[θt-5°,θt+5°]=[-2°,8°].如第3節(jié)所述,文中算法的初始值選取為3°時(shí)的目標(biāo)信號導(dǎo)向矢量.

圖1給出了4種算法輸出SINR隨輸入信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)變化曲線,其中加入經(jīng)典的Worst-Case[1]算法與對角加載算法(加載采樣矩陣求逆(Loading Sample Matrix Inversion,LSMI))進(jìn)行性能對比,Worst-Case算法的誤差界設(shè)為εw=0.3N=3,LSMI算法加載量為噪聲功率的10倍.從圖1可以看出,提出的SQP算法與SDR算法性能曲線幾乎吻合,這說明了SQP算法求解原始問題的有效性.圖2給出了SQP算法在信噪比為10 dB時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化曲線,從圖中可以看出,經(jīng)過5～6步迭代SQP算法開始收斂,這說明SQP算法求解原始問題需求解較少個(gè)數(shù)的SOCP問題,相對于SDR算法有效提高了計(jì)算效率.

圖1 輸出SINR隨輸入SNR變化曲線(實(shí)驗(yàn)1)

圖2 SQP算法收斂曲線,SNR為10 dB(實(shí)驗(yàn)1)

圖3給出了SQP-WC算法在參數(shù)u取不同值時(shí)的性能曲線,從圖中可以看出,參數(shù)u在取得較小值的情況下就可以對SQP算法的性能有一定的改進(jìn),在參數(shù)u的值較大時(shí)SQP-WC算法的性能相當(dāng),可以看出,在u=0.5與u=1時(shí),兩條曲線幾乎吻合.

圖4給出了SNR為10 d B時(shí),4種算法輸出SINR隨樣本數(shù)變化曲線,樣本數(shù)變化范圍為10到200.從圖5可以看出,在整個(gè)樣本數(shù)區(qū)間,SQP算法與SDR算法樣本收斂曲線幾乎重疊,這說明了文中SQP算法收斂點(diǎn)逼近原始問題最優(yōu)解的特性不隨樣本數(shù)而變化.

圖3 SQP-WC算法在不同參數(shù)u下的性能(實(shí)驗(yàn)1)

圖4 4種算法輸出SINR隨樣本變化曲線(實(shí)驗(yàn)1)

實(shí)驗(yàn)2 考慮由局部相干散射引起的失配問題,真實(shí)的導(dǎo)向矢量由5個(gè)信號路徑構(gòu)成,即

其中,a(θ0)表示主路徑導(dǎo)向矢量,θ0=3°,a(θi)表示相干散射路徑導(dǎo)向矢量,θi,i=1,2,3,4,均在區(qū)間[0°,6°]內(nèi)服從均勻分布,φi,i=1,2,3,4,相互獨(dú)立且均服從[0,2π]內(nèi)均勻分布.文中算法與SDR算法的期望信號角域選取如同實(shí)驗(yàn)1.圖5給出了SQP算法的迭代收斂曲線,從圖中可以看出,經(jīng)過6步迭代算法收斂.圖6給出了4種算法輸出SINR隨輸入SNR變化曲線,從圖中可以看出,文中SQP算法與SDR算法的曲線幾乎重疊,這說明了SQP算法的收斂點(diǎn)逼近原始問題的最優(yōu)解.圖7給出了SQP-WC算法在參數(shù)u不同取值情況下的性能,從圖中可以看出,u設(shè)置為較小值時(shí)即可有效改進(jìn)SQP算法的性能,在u=0.5與u=1時(shí),兩條曲線幾乎吻合,說明在u取值較大時(shí),SQP-WC算法性能相當(dāng).

圖5 SQP算法收斂曲線,SNR為10 dB(實(shí)驗(yàn)2)

圖6 輸出SINR隨輸入SNR變化曲線(實(shí)驗(yàn)2)

圖7 SQP-WC算法在不同參數(shù)u下的性能(實(shí)驗(yàn)2)

5 結(jié)束語

筆者針對傳統(tǒng)SDR算法可能存在性能損失及計(jì)算復(fù)雜度高的問題,提出一種SQP算法來求解原始非凸問題.通過將原始問題中等式非凸約束線性化進(jìn)而將原始問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)SOCP問題,然后采用迭代求解子SOCP問題來逼近原始問題最優(yōu)解,從而降低了SDR算法的計(jì)算復(fù)雜度,更利于工程應(yīng)用,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了SQP算法的有效性.此外,文中還考慮了協(xié)方差矩陣失配問題,提出另一種SQP-WC算法進(jìn)一步改進(jìn)SQP算法的性能.仿真實(shí)驗(yàn)說明,在加載參數(shù)較小時(shí),即可有效改善SQP算法的性能.

參考文獻(xiàn):

[1]VOROBYOV S A,GERSHMAN A B,LUO Z Q.Robust Adaptive Beamforming Using Worst-Case Performance Optimization:a Solution to the Signal Mismatch Problem[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2003,51(2): 313-324.

[2]劉成城,丁永超,趙擁軍,等.均勻直線陣下通用信號模型穩(wěn)健波束形成算法[J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2014,41 (5):166-172.LIU Chengcheng,DING Yongchao,ZHAO Yongjun,et al.Robust Beamforming Algorithm for General Signal Models Based on the ULA[J].Journal of Xidian University,2014,41(5):166-172.

[3]HASSANIEN A,VOROBYOV S A,WONG K M.Robust Adaptive Beamforming using Sequential Quadratic Programming: An Iterative Solution to the Mismatch Problem[J].IEEE Signal Processing Letters,2008(15):733-736.

[4]GU Y J,GOODMAN N A,HONG S H,et al.Robust Adaptive Beamforming Based on Interference Covariance Matrix Sparse Reconstruction[J].Signal Processing,2014,96(PART B):375-381.

[5]LI J,WEI G,DING Y H.Adaptive Beamforming Based on Covariance Matrix Reconstruction by Exploiting Interferences’Cyclostationarity[J].Signal Processing,2013,93(9):2543-2547.

[6]KHABBAZIBASMENJ A,VOROBYOV S A,ABOULNASR H.Robust Adaptive Beamforming Based on Steering Vector Estimation With as Little as Possible Prior Information[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60 (6):2974-2978.

[7]VOROBYOV S A.Principles of Minimum Variance Robust Adaptive Beamforming Design[J].Signal Processing,2013,93(12):3264-3277.

[8]LIAO B,TSUI K M,CHAN S C.Robust Beamforming with Magnitude Response Constraints Using Iterative Secondorder Cone Programming[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation,2012,59(9):3477-3482.

[9]LUO Z Q,WONG K M,SO A M C,et al.Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):20-34.

[10]李杰.穩(wěn)健波束形成與稀疏空間譜估計(jì)技術(shù)研究[D].廣州:華南理工大學(xué),2013.

[11]ZHANG W,WANG J,WU S L.Robust Capon Beamforming against Large DOA Mismatch[J].Signal Processing,2013,93(4):804-810.

(編輯:王 瑞)

Novel robust beamforming algorithm using sequential quadratic programming

YU Hongbo,FENG Dazheng,XIE Hu
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Abstract:Aiming at the probably existing performance loss and high computational complexity of the robust beamforming based on steering vector estimation with as little prior information as possible which is solved by the semi-definite relaxation(SDR)approach,a novel robust beamforming algorithm using sequential quadratic programming (SQP)is proposed.The original non-convex problem is linearly approximated to a convex subproblem using the first order Taylor’s series,and the optimal solution is found out by solving the convex subproblem iteratively.Moreover,considering the mismatch of the sample covariance matrix,the SQP-WC method based on worst-case performance optimization is presented to improve the performance of the proposed SQP method.Theoretical analysis and simulation results show that the proposed SQP algorithm can converge fast and its convergence point approximates the optimal solution to the original problem,which indicates that the SQP method can effectively reduce the computational complexity compared with the SDR method,and furthermore,the SQP-WC method can effectively improve the performance of the SQP method with a small parameter.

Key Words:steering vector estimation;robust beamforming;SQP;linear approximation;worst-case performance optimization

作者簡介:虞泓波(1988-),男,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:beyond_hongbo@126.com.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271293)

收稿日期:2014-09-25 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.008

中圖分類號:TN958.92

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號:1001-2400(2016)02-0041-05

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.005.html