尹　晨，周海銀，何章鳴

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

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異結(jié)構(gòu)不等精度測量的融合估計(jì)分析

尹晨，周海銀，何章鳴

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

摘要：融合估計(jì)是提高參數(shù)估計(jì)精度的有效手段.針對(duì)異結(jié)構(gòu)和不等精度測量條件，利用合同變換、跡函數(shù)和矩陣微分等數(shù)學(xué)工具，分析了融合估計(jì)問題.分析表明：第一，單設(shè)備估計(jì)、最優(yōu)融合估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)都是融合估計(jì)的特例；第二，聯(lián)合估計(jì)的精度高于低精度單設(shè)備估計(jì)的精度；第三，最優(yōu)估計(jì)的精度高于高精度單設(shè)備估計(jì)的精度，而且總是高于聯(lián)合估計(jì)的精度；第四，只有滿足一定條件，聯(lián)合估計(jì)的精度才高于高精度單設(shè)備估計(jì)的精度.上述理論在V2導(dǎo)彈參數(shù)融合估計(jì)的仿真中得到了驗(yàn)證.

關(guān)鍵詞：參數(shù)估計(jì)；融合估計(jì)；聯(lián)合估計(jì)；最優(yōu)融合估計(jì)；合同變換；跡函數(shù)；矩陣微分

在眾多參數(shù)估計(jì)領(lǐng)域中，融合估計(jì)是提高參數(shù)估計(jì)精度的有效手段[1-3].在實(shí)際靶場數(shù)據(jù)處理中，往往存在多臺(tái)測量設(shè)備，不同設(shè)備的觀測幾何往往是不同的，即所謂的異結(jié)構(gòu)測量；同時(shí)，不同設(shè)備的測量精度也是不同，即所謂的不等精度測量.由于設(shè)備的類型不同、采樣周期的差異、設(shè)備位置的站址不同、周圍氣象的差異等原因，造成了設(shè)備的觀測幾何的差異，這個(gè)差異往往表現(xiàn)在設(shè)計(jì)矩陣上.異結(jié)構(gòu)測量條件下，不同設(shè)備對(duì)應(yīng)的基函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都不同，因而對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣也不同.單測量設(shè)備精度差異主要是由設(shè)備的制造工藝的差別和設(shè)備測量人員的調(diào)校差異引起的.融合估計(jì)理論對(duì)靶場數(shù)據(jù)融合處理具有重要指導(dǎo)意義，為其提供了理論支撐[4,5].對(duì)于線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)，Gauss-Markov定理給出了不等精度測量數(shù)據(jù)的最優(yōu)融合估計(jì)的加權(quán)因子計(jì)算方法[6].Gauss-Markov假設(shè)下，觀測數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差是獨(dú)立同分布[7-12]，然而不等精度測量條件下，不同設(shè)備的測量精度往往是不同的，而且這些精度參數(shù)往往是未知的，因此在實(shí)際數(shù)據(jù)處理過程中，難以得到最優(yōu)融合估計(jì)[11,12,14-18]，從而經(jīng)常用到的是聯(lián)合估計(jì)(即等權(quán)估計(jì)).本文關(guān)注下面幾個(gè)問題：第一，如何用統(tǒng)一的公式概括單設(shè)備估計(jì)、最優(yōu)融合估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)？第二，單設(shè)備估計(jì)、最優(yōu)融合估計(jì)和聯(lián)合估計(jì)的估計(jì)精度存在什么關(guān)系？第三，在什么條件下，聯(lián)合估計(jì)的估計(jì)精度高于單設(shè)備估計(jì)的精度？

1參數(shù)估計(jì)和精度分析

1.1線性模型和參數(shù)估計(jì)

考慮如下線性測量模型：

y=Xβ+e

(1)

模型(1)中參數(shù)β的最小二乘估計(jì)，如下：

(2)

(3)

(4)

在靶場數(shù)據(jù)處理中，往往會(huì)出動(dòng)多臺(tái)設(shè)備對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測，本文不妨假設(shè)有兩臺(tái)設(shè)備，如下：

(5)

如果只使用其中的一臺(tái)設(shè)備數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，那么單設(shè)備的參數(shù)估計(jì)的精度分別為：

(6)

記

(7)

其中λ稱為測量精度比，下文總是假定：

(8)

1.2融合估計(jì)

若依據(jù)下述準(zhǔn)則估計(jì)參數(shù)

(9)

(10)

參數(shù)的融合估計(jì)如下：

(11)

容易驗(yàn)證

(12)

(13)

(14)

1.3特殊的融合估計(jì)

1.3.1單設(shè)備估計(jì)

若在優(yōu)化準(zhǔn)則(9)中ρ=1或者ρ=0，則融合估計(jì)轉(zhuǎn)化為單設(shè)備參數(shù)估計(jì).

依據(jù)附錄A，可以證明

(15)

即融合估計(jì)的精度總是比低精度單臺(tái)設(shè)備估計(jì)的精度高.

1.3.2最優(yōu)融合估計(jì)

(16)

(17)

依據(jù)附錄A，可以證明

(18)

即多臺(tái)設(shè)備的最優(yōu)估計(jì)的精度總是高于單臺(tái)設(shè)備估計(jì)的精度，甚至比高精度單臺(tái)設(shè)備估計(jì)的精度還要高.從信息論的觀點(diǎn)來看，所有設(shè)備都蘊(yùn)含了對(duì)參數(shù)估計(jì)有用的信息，因此，只要方法合適，就可以通過增加測量設(shè)備的方法提高參數(shù)估計(jì)的精度，即使增加的設(shè)備測量精度很低，也可以提高參數(shù)估計(jì)的精度.

1.3.3聯(lián)合估計(jì)

(19)

(20)

依據(jù)附錄B，可以證明

(21)

即多臺(tái)設(shè)備的最優(yōu)估計(jì)的精度總是高于多臺(tái)設(shè)備的聯(lián)合估計(jì)的精度，而且聯(lián)合估計(jì)的精度總是高于低精度單臺(tái)設(shè)備估計(jì)的精度，但是不一定高于高精度單臺(tái)設(shè)備估計(jì)的精度，即下式成立需要一定的條件：

(22)

如果(22)式不成立，則說明低精度設(shè)備的參與使得參數(shù)估計(jì)的精度變差了，這意味著聯(lián)合估計(jì)不如用單臺(tái)高精度設(shè)備，下一節(jié)分析(22)式成立的條件.

2聯(lián)合估計(jì)分析

若第一臺(tái)設(shè)備的估計(jì)方差更小，即

(23)

由公式(6)、(7)、(20)可知，公式(22)與下式等價(jià)：

(24)

(25)

由公式(6)、(7)、(20)可知，公式(22)與下式等價(jià)：

(26)

2.1觀測幾何相同

如果兩臺(tái)設(shè)備的觀測幾何相同，即A=B，那么，公式(24)和(26)分別等價(jià)于

(27)

和

(28)

綜上，若以下公式成立，則公式(22)成立

(29)

2.2觀測幾何不相同

如果兩臺(tái)設(shè)備的觀測幾何不相同，即A≠B，那么分兩種情況討論：

第一種情況下：公式(24)成立，則依據(jù)附錄A，必然存在可逆矩陣P使得

(30)

(31)

即

(32)

第二種情況下：公式(25)成立，則依據(jù)附錄A，必然存在可逆矩陣P使得

(33)

所以，若以下公式成立，則公式(24)成立

(34)

即

(35)

綜合公式(32)和(35)得公式(24)成立的充分條件：

(36)

3仿真分析

本文以著名的德國V2彈道導(dǎo)彈為仿真對(duì)象，V2導(dǎo)彈垂直上升到24km～29km后，在發(fā)動(dòng)機(jī)噴口燃?xì)舛娴淖饔孟乱?0度的傾角彈道上升，一分鐘后導(dǎo)彈飛到48km高度，速度達(dá)到5796km/h，發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)閉，火箭靠慣性繼續(xù)上升到97km，然后以3542km/h的速度大致沿拋物線自由下落，大約2.5分鐘后擊中目標(biāo).其中重力加速度為g=9.7ms-2.

4種融合估計(jì)策略下的參數(shù)估計(jì)方差見表1和圖1.可以得到如下結(jié)論：

表1　四種融合估計(jì)的比較

圖1　融合方差與加權(quán)因子關(guān)系

4結(jié)論

由于本文沒有考慮系統(tǒng)建模誤差，所以本文的理論還有待改進(jìn).比如，因?yàn)榇嬖诳諝庾枇?、重力加速度變化和彈體自身抖動(dòng)，致使導(dǎo)彈自由下落段的軌跡不是嚴(yán)格的拋物線.如果選用二次多項(xiàng)式基函數(shù)建模，必然存在系統(tǒng)建模誤差.系統(tǒng)誤差是如何影響融合估計(jì)的，尤其是如何影響聯(lián)合估計(jì)的，是未來要研究的問題.

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附錄

附錄A

已知：已知A和B都是n階方陣，而且都是正定矩陣.

求證：tr(A+B)-1

證明：

第三步：因?yàn)?A+B)-1

附錄B

已知：已知A和B都是n階正定矩陣，λ>0.

求證：

tr(A+λ-1B)-1≤tr(A+λB)(A+B)-2

≤max{tr(A-1),λtr(B-1)}

證明：

第二步：記融合估計(jì)的方差為：

tr(ρ)

=tr(ρ2A+λ(1-ρ)2B)(ρA+(1-ρ)B)-2

顯然有：

tr(ρ)

=trPT(ρ2I+(1-ρ)2λΛ)(ρI+(1-ρ)Λ)-2P-1

可知命題成立.

(責(zé)任編校：晴川)

Fusion Analysis on Estimation of Multi-structure and Unequal-precision

YIN Chen, ZHOU Haiyin, HE Zhangming

(College of Science, National University of Defense Technology, Changsha Hunan 410073, China)

Abstract：Fusion estimation is an effective measure to improve the precision of parameters estimation. In this paper, the fusion estimation problem is analyzed for the measurement conditions with multi-structures and unequal-precisions, using the tools of congruent transformation, trace function and matrix differential. Analysis shows that: Firstly, the single equipment estimation, the optimal fusion estimation and the joint estimation are some special cases of the fusion estimation; Secondly, the precision of the joint estimation is higher than that of the single equipment estimation with smaller random error; Thirdly, the precision of the optimal estimation is higher than that of the single equipment estimation with bigger random error, and is always higher than that of the joint estimation; Forthly, the precision of the joint estimation is higher than that of the single equipment estimation with bigger random error if certain conditions are satisfied. The fusion estimation theories results are validated by the simulation of the V2 missile.

Key Words：parameter estimation; fusion estimation; joint estimation; optimal fusion estimation; congruent transformation; trace function; matrix differential

中圖分類號(hào):O29

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-4681(2016)02-0009-04

作者簡介：尹晨(1992— )，女，湖南衡陽人，國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院碩士生.研究方向：數(shù)據(jù)融合理論及應(yīng)用、故障診斷理論及應(yīng)用.

基金項(xiàng)目：國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：613156030103)；國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：61304119)資助項(xiàng)目；國防科大科研基金(批準(zhǔn)號(hào)：JC14-09-01)資助項(xiàng)目.

收稿日期：2015-11-20