呂健威

[摘 要]算術(shù)思維是代數(shù)思維的基礎(chǔ)，算術(shù)思維發(fā)展到一定程度后必然向代數(shù)思維過渡。所以，教師應(yīng)想方設(shè)法在低年級的算術(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，使學(xué)生與代數(shù)思維同步發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]低年級 算術(shù)教學(xué) 代數(shù)思維 培養(yǎng) 數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）12-029

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“數(shù)和代數(shù)”放在一起敘述，足見算術(shù)思維和代數(shù)思維是一個不可分割的整體，且低年級數(shù)學(xué)知識中存在許多算術(shù)思維和代數(shù)思維的銜接點。因此，在低年級算術(shù)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，使學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得更好的發(fā)展。

一、啟蒙：等號作為代數(shù)思維的理解

等號，學(xué)生一般都認(rèn)為它像一個從左向右的單向箭頭，就在確信相等之前要進行計算。如學(xué)生看到6-5時，常常條件反射地寫上等號，這個等號被理解成執(zhí)行四則運算的標(biāo)志，意為“得到”。于是，在低年級學(xué)生作業(yè)中就會出現(xiàn)2+3=5×4=20+6=26之類的錯誤，他們總認(rèn)為等號后面是前一個算式的得數(shù)。這反映了學(xué)生在算術(shù)中只關(guān)注等號的程序性質(zhì)，忽視或無視等號的關(guān)系性質(zhì)。而卡彭特等人認(rèn)為：“從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)換標(biāo)志之一，是從等號的程序觀念到等號的關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變?！币虼耍谡n堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把等號理解成表示相等且左右相等的符號。如49+36與轉(zhuǎn)化成的50+35，它們之間仍然是相等的，可以用等號連接；而2+3=5×4=20+6=26中卻不存在相等關(guān)系，應(yīng)改為5×4+6=20+6=26。

從低年級起，教師可以結(jié)合運算律的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將得數(shù)相等的算式用等號連接起來，如3+2=2+3、（13×5）×8=13×（5×8）等，促進學(xué)生對相等關(guān)系的理解。教師還應(yīng)通過39+36=40+（ ）、13+（ ）=15+（ ）、8×（ ）=6×（ ）等式子，促進學(xué)生靈活運用思維，識別出算式中隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系。同時，教師可設(shè)計30=2×3×5、30=13+（ ）=90÷（ ）等式子，讓“=”在學(xué)生頭腦中變成雙向的箭頭，并要求他們做出清晰的左右相等關(guān)系的解釋。這樣教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，又使他們對等號關(guān)系性特點的認(rèn)識更深入。

二、實踐：數(shù)形結(jié)合的代數(shù)思維特征

數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)與“形”的幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是等價的。數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形、抽象思維和形象思維相結(jié)合。另外，數(shù)形結(jié)合還是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想。在低年級數(shù)學(xué)教材中經(jīng)常見到數(shù)形結(jié)合的例子，如以數(shù)輔形和以形助數(shù)等。

1.以數(shù)輔形

題目：計劃植樹60棵，今天已植樹20棵，余下的在4天完成，余下的平均每天植樹多少棵？

這道題本來定位為算術(shù)問題，當(dāng)用線段圖來表示時，數(shù)和形之間就存在對應(yīng)關(guān)系，促使學(xué)生運用代數(shù)思維解決問題。另外，有了圖形，數(shù)學(xué)問題就變得直觀；有了數(shù)量，圖形才成為線段圖。

2.以形助數(shù)

如教學(xué)“認(rèn)識厘米”一課時，教師設(shè)計以下活動：（1）看一看：1厘米有多長？（2）摸尺子：從0刻度到1刻度之間的長度就是1厘米。（3）找一找：從自己的尺子上找到其他的1厘米。（4）比一比：在老師身邊或者同學(xué)身上，哪些物體的長度大約是1厘米？同時，教師出示如下的練習(xí)題：“畫一個長5厘米、寬3厘米的長方形。”這個5厘米、3厘米以及所畫的長方形都是抽象的，它們不僅是已知與結(jié)果的關(guān)系，而且存在相互依存的關(guān)系，需要學(xué)生運用代數(shù)思維予以解決。

數(shù)學(xué)課堂中，對于線段圖、幾何圖形及韋恩圖等，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過已知條件，適當(dāng)借助數(shù)與形（圖）的關(guān)系來幫助理解，從而實現(xiàn)知識的建構(gòu)。

三、滲透：式子作為一個數(shù)的代數(shù)思想

代數(shù)式可以是一個數(shù)、一個字母或一個式子，而在沒有出現(xiàn)字母表示數(shù)之前，出現(xiàn)的式子一般都是可以算出一個具體的數(shù)（得數(shù)）的。如：“電腦小組共有24人，如果3人合用一臺電腦，需要幾臺？”學(xué)生用24÷3這個算式來解決問題，得到結(jié)果是“8臺”，此“8臺”也是教師需要的答案，若用24÷3來表示結(jié)果，那學(xué)生肯定認(rèn)為不行。這樣，學(xué)生形成了算式與一個數(shù)是不一樣的思想，而不去想它們之間的聯(lián)系。學(xué)生受算式表示具體數(shù)的影響，在學(xué)習(xí)代數(shù)初步知識時，對形如a-1的式子可以表示一個數(shù)量難以理解。因此，在這之前，教師在教學(xué)中應(yīng)該滲透一個式子可以表示一個數(shù)的思想。

在學(xué)生理解一個算式可以表示一個數(shù)后，教師教學(xué)時就可以進一步抽象，強調(diào)列綜合算式解題，為提高學(xué)生的抽象思維能力創(chuàng)造了條件。如有這樣一道練習(xí)題：“老師一共要烤90個面包，已經(jīng)烤了36個。每次烤9個，剩下的還要烤幾次？”同時，教師予以解釋：“‘剩下的面包數(shù)÷9=還要烤幾次，這里的‘剩下的面包數(shù)就是90與36的差，列成綜合算式應(yīng)該是‘總數(shù)與烤好的數(shù)的差除以9，即（90-36）÷9?！边@里，教師引導(dǎo)學(xué)生把90-36這個算式理解為一個數(shù)，參與到列式過程中，使學(xué)生理解了算式與數(shù)的關(guān)系，懂得了添括號的必要性，為以后理解代數(shù)式做好準(zhǔn)備。

四、堅決：低年級教學(xué)必須培養(yǎng)代數(shù)思維

1.對算術(shù)思維與代數(shù)思維的初步理解

算術(shù)思維是利用數(shù)量計算出答案及得到答案的過程，此過程具有情境性、特殊性、計算性等特點。代數(shù)思維是一種形式的符號操作，它的運算過程具有結(jié)構(gòu)性等特點，側(cè)重的是關(guān)系的符號化及其運算，是無法依賴直觀運作的。此外，算術(shù)思維發(fā)展到一定程度之后，必然向代數(shù)思維過渡。在實際教學(xué)中，不少教師提起代數(shù)思維，首先想到的是正式學(xué)習(xí)代數(shù)的起步內(nèi)容“用字母表示數(shù)”，這是膚淺的認(rèn)識，而有的教師明明在低年級教學(xué)時運用了代數(shù)思維進行指導(dǎo)，但他全然不知這是代數(shù)思維。而且，不少教師對代數(shù)思維的認(rèn)識是模糊的，更別提培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維了。

2.代數(shù)思維的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)成績密切相關(guān)

有的家長發(fā)現(xiàn)自己的孩子在第一學(xué)段成績非常好，但到第二學(xué)段后成績卻有所下降，造成這種現(xiàn)象的主要原因之一就是教師在第一學(xué)段對代數(shù)思想方法的滲透不到位，只是過分強調(diào)算術(shù)思維的訓(xùn)練。事實證明，教師不能無視算術(shù)教學(xué)中學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)。因此，教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，以此提高課堂教學(xué)質(zhì)量。其實，代數(shù)思維是數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)、核心，雖然低年級數(shù)學(xué)以算術(shù)思維為基礎(chǔ)，但現(xiàn)代教育理論認(rèn)為代數(shù)思維對低年級數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升有明顯的促進作用。

3.培養(yǎng)代數(shù)思維必須從一年級開始

代數(shù)思維的培養(yǎng)并不是一個經(jīng)歷足夠多的練習(xí)便可跨越的量變過程，而是必須經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換才能實現(xiàn)的質(zhì)變過程。學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過渡需要孕伏，可這樣的任務(wù)不能只靠學(xué)生主動開展、單獨面對，也不應(yīng)該僅僅是高年級教師的教學(xué)任務(wù)。教師與其著眼于小學(xué)和初中代數(shù)知識的銜接，不如重視小學(xué)第一、第二學(xué)段代數(shù)思維的銜接。因此，低年級教師應(yīng)該善于捕捉恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，尋找恰當(dāng)?shù)臅r機，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞?，及時培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

代數(shù)思維應(yīng)自低年級、在不同知識領(lǐng)域循序漸進地進行培養(yǎng)，貫穿在整個數(shù)學(xué)教學(xué)中。由于小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是邊適時孕伏，邊適當(dāng)培養(yǎng)代數(shù)思維和意識，因此教師不能過早地引入抽象的代數(shù)符號和不必要的術(shù)語，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

（責(zé)編 杜 華）