柳軼彬，田銘興，趙茜茹，尹健寧

(蘭州交通大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

電氣化鐵道供電方式特殊，負(fù)荷運(yùn)行條件復(fù)雜，鐵道無(wú)功負(fù)荷變化范圍寬，波動(dòng)大，沖擊性與隨機(jī)性強(qiáng)[1-2]。近年來(lái)，我國(guó)高速電氣化鐵路的建設(shè)規(guī)模不斷擴(kuò)大，需要性能更高的無(wú)功補(bǔ)償裝置對(duì)牽引供電系統(tǒng)進(jìn)行無(wú)功補(bǔ)償以提高其功率因數(shù)[3-4]。傳統(tǒng)的固定電容器FC(Fixed Capacitor)、晶閘管投切電容器TSC (Thyristor Switched Capacitor)不能平滑調(diào)節(jié)輸出無(wú)功[5-6]；靜止同步補(bǔ)償器STATCOM(Static Synchronous Compensator)雖然調(diào)節(jié)性能良好，但維護(hù)困難、造價(jià)高[7]。相比之下，可控電抗器配合固定電容器[8]能平滑調(diào)節(jié)無(wú)功、響應(yīng)速度快、投資少、見效快、可靠性高，是電氣化鐵道中比較理想的無(wú)功補(bǔ)償方案；而選用性能良好的可控電抗器則是實(shí)施該方案的關(guān)鍵。目前電氣化鐵道無(wú)功補(bǔ)償中的可控電抗器主要采用晶閘管控制電抗器TCR(Thyristor Controlled Reactor)和磁飽和式可控電抗器MSCR(Magnetically Saturated Controllable Reactor)[9-10]，但二者的共同缺點(diǎn)是均會(huì)產(chǎn)生較大的諧波電流。

變壓器式可控電抗器CRT(Controllable Reactor of Transformer Type)是一種能大范圍快速平滑調(diào)節(jié)輸出功率的無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備[11]，特別適用于電氣化鐵道電力機(jī)車運(yùn)行方式多變、負(fù)荷變化快的特點(diǎn)；與MSCR相比，其響應(yīng)速度快且運(yùn)行時(shí)噪聲?。幌啾萒CR，其諧波含量較小；與STATCOM相比，其制造成本低而且運(yùn)行可靠，將其與固定電容器配合將是解決目前電氣化鐵道動(dòng)態(tài)無(wú)功補(bǔ)償問題的一個(gè)理想方案。

文獻(xiàn)[11-13]對(duì)CRT的基本理論問題進(jìn)行了詳細(xì)研究，文獻(xiàn)[14]對(duì)包括CRT在內(nèi)的多種可控電抗器進(jìn)行了系統(tǒng)地總結(jié)分析。但文獻(xiàn)[11-14]的分析均只限于一個(gè)控制繞組處于調(diào)節(jié)狀態(tài)。僅讓一個(gè)控制繞組處于調(diào)節(jié)狀態(tài)，控制策略簡(jiǎn)單，但其諧波含量不可控，而且在某些工況下仍然較大；事實(shí)上，CRT各控制繞組均可處于調(diào)節(jié)之中，滿足同一個(gè)輸出容量的觸發(fā)角組合遠(yuǎn)不止一種，而工作繞組的諧波電流在不同的組合下卻差異很大。因此，有必要研究CRT工作繞組電流的各次諧波有效值與各控制繞組的晶閘管觸發(fā)角之間的定量關(guān)系，這對(duì)于優(yōu)化CRT的諧波含量，提高其補(bǔ)償性能具有重要意義。

基于以上目的，本文定義觸發(fā)角向量，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)/非標(biāo)準(zhǔn)觸發(fā)次序，引出多繞組調(diào)節(jié)模式的概念。采用分段線性化的辦法求得CRT工作繞組電流在各時(shí)間段上的瞬時(shí)表達(dá)式。求出工作繞組電流各次諧波分量傅里葉系數(shù)與觸發(fā)角向量的多元非線性函數(shù)的矩陣表達(dá)通式，進(jìn)而給出基波與諧波電流有效值的計(jì)算公式。設(shè)計(jì)算例，驗(yàn)證了本文所給計(jì)算公式的正確性。

1 多繞組調(diào)節(jié)模式

CRT是一種對(duì)外等效電抗能在大范圍內(nèi)快速平滑調(diào)節(jié)的可控電抗器，將其與FC并聯(lián)于牽引變壓器的二次側(cè)便可對(duì)牽引供電系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)無(wú)功補(bǔ)償，其基本原理如圖1所示。

圖1 CRT與FC的綜合無(wú)功補(bǔ)償示意圖

圖1中FC由若干個(gè)電容支路并聯(lián)而成，且每條支路還串聯(lián)一特定取值的電感，通過諧振可濾除特定次諧波電流(以抑制奇次諧波為主，主要為3、5、7頻次諧波)。總體來(lái)看，F(xiàn)C能產(chǎn)生固定大小的容性無(wú)功；而CRT可發(fā)出介于其空載與滿載之間的任意大小的感性無(wú)功；牽引負(fù)荷無(wú)功一般呈感性，其變化范圍較大。因此，若采用合理的控制策略，在機(jī)車運(yùn)行時(shí)的任一工況下，通過對(duì)CRT各控制繞組晶閘管觸發(fā)脈沖的相位進(jìn)行控制，使其產(chǎn)生的感性無(wú)功總能與FC發(fā)出的容性無(wú)功及牽引負(fù)荷無(wú)功相平衡，即三者之和始終接近于0，整個(gè)牽引供電系統(tǒng)的功率因數(shù)便能始終維持在接近于1的水平，可以提高機(jī)車的運(yùn)行效率。

以上內(nèi)容說明了CRT進(jìn)行無(wú)功補(bǔ)償時(shí)的應(yīng)用環(huán)境，接下來(lái)，介紹CRT的工作原理，并引出多繞組調(diào)節(jié)模式的相關(guān)定義。CRT的電路原理如圖2所示，圖中W1表示工作繞組，與固定電容器一起并接在牽引變壓器的二次側(cè)；W2，W3，…，Wn為n-1個(gè)低壓控制繞組；u1為W1的端口瞬時(shí)電壓。

圖2所示CRT為一臺(tái)各低壓控制繞組均串聯(lián)了TCR的高漏抗多繞組降壓變壓器，其中T2，T3，…，Tn及X2，X3，…，Xn分別為各TCR所對(duì)應(yīng)的反并聯(lián)晶閘管及串聯(lián)電抗(本文中稱為限流電抗)。CRT采用高漏抗降壓變壓器，一方面具有降壓隔離的作用，相比直接將TCR并聯(lián)在高壓牽引母線上，不僅可降低各反并聯(lián)晶閘管的耐壓等級(jí)，而且能隔離牽引母線的故障，提高設(shè)備可靠性；另一方面，各繞組較高的漏電抗可直接充當(dāng)電感元件進(jìn)行無(wú)功補(bǔ)償，能減小各繞組所匹配的限流電感。

圖2 CRT工作原理圖

(1)α1≡0，表示工作繞組W1的觸發(fā)角始終為0。雖然實(shí)際CRT的工作繞組W1中并沒有串聯(lián)晶閘管，但這里假想給工作繞組也串聯(lián)了一個(gè)始終全導(dǎo)通的反并聯(lián)晶閘管。這種處理并不改變CRT原有的工作原理，卻非常有利于后文中公式的統(tǒng)一表示。

(2)除α1的下標(biāo)始終是W1的編號(hào)外，αn其余各元素的下標(biāo)不一定是圖2中剩余各繞組的編號(hào)。αk(2≤k≤h≤n)對(duì)應(yīng)第k-1個(gè)導(dǎo)通的控制繞組而不一定對(duì)應(yīng)Wk，也就是說αn各元素下標(biāo)代表的是相應(yīng)控制繞組的觸發(fā)次序，下標(biāo)越小說明相應(yīng)的控制繞組越先導(dǎo)通。

(3)αh之后再?zèng)]有晶閘管導(dǎo)通，即αh+1=αh+2=…=αn=π/2。也就是說，共有h個(gè)繞組(包括工作繞組)在該工頻周期里參與了運(yùn)行，而另外n-h個(gè)(控制)繞組則始終處于截止?fàn)顟B(tài)。

按照上述規(guī)定，在CRT從計(jì)時(shí)零點(diǎn)算起的任意一個(gè)工頻周期里，任何一個(gè)控制繞組均有可能處于調(diào)節(jié)之中，處于調(diào)節(jié)狀態(tài)的控制繞組的個(gè)數(shù)可以超過一個(gè)，可將其稱為多繞組調(diào)節(jié)模式。

2 工作繞組瞬時(shí)電流分段表達(dá)式

為方便公式推導(dǎo)，對(duì)后文將會(huì)出現(xiàn)的各物理量進(jìn)行說明(如無(wú)特殊說明，后文各物理量的下標(biāo)意義均以此為標(biāo)準(zhǔn))。

Lk(1≤k≤h≤n)表示αn的元素αk對(duì)應(yīng)的繞組(不一定是Wk)的自感系數(shù)，Mkq表示αn的元素αk和αq(1≤q≤h≤n)對(duì)應(yīng)兩個(gè)繞組間的互感系數(shù)。Lxk為αk對(duì)應(yīng)的繞組所串聯(lián)的限流電抗器的電感系數(shù)(工作繞組沒有串聯(lián)限流電抗器，因此Lx1≡0)，ik表示αk對(duì)應(yīng)繞組的電流瞬時(shí)值。忽略鐵芯飽和引起的非線性及所有電阻。

由于CRT工作繞組電流波形在正半周期里關(guān)于ωt=π/2對(duì)稱，因此只須計(jì)算[0，π/2]時(shí)段上的電流表達(dá)式即可知道正半周期的電流波形。

按照第1章中關(guān)于多繞組調(diào)節(jié)模式的一系列規(guī)定，在[0，π/2]上，參與調(diào)節(jié)的h個(gè)繞組將按照αn中各自觸發(fā)角的大小依次導(dǎo)通，因此，CRT的電路結(jié)構(gòu)會(huì)隨著各晶閘管的順次導(dǎo)通而發(fā)生變化，也就是說，在[0，π/2]時(shí)段上，CRT的電路拓?fù)涫欠蔷€性的；但是在相鄰兩個(gè)觸發(fā)時(shí)刻所形成的小時(shí)段內(nèi)，CRT的電路結(jié)構(gòu)則是確定的線性電路。

根據(jù)以上分析，可以采用分段線性化的辦法，將[0，π/2]時(shí)段按照當(dāng)前周期的觸發(fā)角向量的觸發(fā)次序分成h個(gè)小時(shí)段，逐段求解，便可得到CRT工作繞組的瞬時(shí)電流在[0，π/2]上的表達(dá)式。

根據(jù)αn的定義，在第s(1≤s≤h≤n)個(gè)時(shí)段(αs，αs+1]上，總共有s個(gè)繞組在該時(shí)段上是導(dǎo)通的，于是有如下微分方程組成立

Ls(pis)=us

(1)

式中：p=d/dt；is=[i1si2s…iks…iss]T，其中iks(1≤k≤s)表示ik在(αs，αs+1]時(shí)段上的瞬時(shí)值；us=[u10 … 0 … 0]T；Ls為L(zhǎng)n的前s行s列子矩陣，而Ln是一個(gè)由CRT各繞組間的自、互電感及限流電感共同來(lái)決定的n階方陣，稱為綜合電感矩陣，矩陣中各電感的下標(biāo)意義與本章開始所述保持一致，Ln可以表示為

(2)

由式(1)可得

(3)

(4)

要求解式(4)，須給定當(dāng)前時(shí)段的初值，而當(dāng)前時(shí)段的初值是上個(gè)時(shí)段的終值，由于第一個(gè)時(shí)段(α1，α2]的初值總是已知的(i11|ωt=α1=0)，因此采用遞推的辦法便可求得[0，π/2]上任意(αs，αs+1](1≤s≤h≤n)時(shí)段上工作繞組電流的瞬時(shí)表達(dá)式，整理化簡(jiǎn)后，可將其表示為

(5)

式中：Vs=(0，E)-(E，0)，其中E為s階單位矩陣，0為s×1零向量；Cs=[x(α1)x(α2) …x(αs)x(ωt)]T，其中x( )=sin( )；ys=[1/L1，11/L1，2… 1/L1，s]。

由于式(1)中的Ls(1≤s≤h≤n)是取Ln的前s行s列的子矩陣，而當(dāng)觸發(fā)次序確定之后Ln就是確定的，因此，各個(gè)小時(shí)段所對(duì)應(yīng)的Ls總是確定的，從而各個(gè)小時(shí)段上CRT工作繞組電流的瞬時(shí)表達(dá)式便是唯一的。

式(5)給出了CRT工作繞組電流在任意(αs，αs+1]上的瞬時(shí)表達(dá)式，形式簡(jiǎn)單，便于后續(xù)公式推導(dǎo)，但并不直觀。通過式(5)的展開式可知，CRT工作繞組電流在任意(αs，αs+1]上的瞬時(shí)表達(dá)式為

(6)

(7)

(8)

式(6)說明CRT工作繞組在任意(αs，αs+1)上的電流波形可由第s級(jí)臨界波形直接平移而來(lái)，而平移的距離等于第1～s級(jí)差距之和。因此，當(dāng)某個(gè)周期里各控制繞組的實(shí)際觸發(fā)角確定之后，可確定各級(jí)臨界波形以及各級(jí)差距，將相應(yīng)的臨界波形進(jìn)行特定平移來(lái)逐段確定CRT工作繞組的電流波形，而無(wú)需重新分段計(jì)算。

(9)

式中：Q為n階方陣。若用qij表示其第i行第j列的元素，則qij的取值為

(10)

由此可見，對(duì)于任何觸發(fā)次序，上述計(jì)算辦法總是適用的，也就是說相控觸發(fā)方式下CRT的任何調(diào)節(jié)模式均可以在多繞組調(diào)節(jié)模式下統(tǒng)一分析。

3 諧波分析

結(jié)合CRT工作原理可知，i1的波形符合1/4周期對(duì)稱[15]，其中只含基波和奇次諧波中的正弦項(xiàng)，可分解為如下形式的傅里葉級(jí)數(shù)

(11)

(12)

按照第2章推理，i1在[0，π/2]上是由h個(gè)分段表達(dá)式構(gòu)成的，其形式由式(5)統(tǒng)一表示，將式(5)所示的h個(gè)分段表達(dá)式代入式(12)中進(jìn)行分段積分并整理化簡(jiǎn)，便可求得工作繞組電流的2m-1(m=1，2，3，…)次諧波分量的傅里葉系數(shù)與αn之間的多元函數(shù)關(guān)系式，通過進(jìn)一步化簡(jiǎn)，所得結(jié)果可表示為

(13)

(14)

工作繞組電流基波及各次諧波分量有效值為

(15)

文獻(xiàn)[11]提出了CRT的3種調(diào)節(jié)模式：順次單支路(逐級(jí)短路)、固定單支路和轉(zhuǎn)移單支路調(diào)節(jié)模式。就處于部分時(shí)段導(dǎo)通狀態(tài)的繞組個(gè)數(shù)來(lái)說，這3種調(diào)節(jié)模式始終只有1個(gè)，可稱之為單繞組調(diào)節(jié)模式。本文分析的多繞組調(diào)節(jié)模式包括了單繞組調(diào)節(jié)模式。事實(shí)上，對(duì)于單繞組調(diào)節(jié)模式，就是令α2=α3=…=αh-1=0，0≤αh≤π/2，αh+1=αh+2=…=αn=π/2，于是便可由式(14)和式(15)得到工作繞組電流的2m-1(m=1，2，3，…)次諧波電流(m=1時(shí)為基波)的有效值為

(16)

由式(16)可得工作繞組電流的2m-1次諧波電流系數(shù)(諧波含有率[11])為

(17)

特別的，在順次單支路模式下有

(18)

式(18)中，βh就是文獻(xiàn)[11，13]中所說的級(jí)間容量遞增系數(shù)，式(18)中的第2式則將級(jí)間容量遞增系數(shù)與CRT的結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系在了一起，這對(duì)指導(dǎo)CRT設(shè)計(jì)具有重要意義。聯(lián)立式(14)對(duì)式(18)進(jìn)行化簡(jiǎn)發(fā)現(xiàn)式(18)與文獻(xiàn)[13]中的式(13)是一致的。

雖然在形式上其余兩種模式的諧波含有率也能表示成式(18)，但此時(shí)，βh=L1，h-1/L1，h沒有具體意義，代表的不是級(jí)間容量遞增系數(shù)。

以上分析說明，本文推導(dǎo)的多繞組調(diào)節(jié)模式下工作繞組瞬時(shí)電流分段表達(dá)式及諧波電流的計(jì)算公式可以完全用于單繞組調(diào)節(jié)模式的分析計(jì)算，單繞組調(diào)節(jié)模式可以看作多繞組調(diào)節(jié)模式的一個(gè)特例。

按照本文的推理，對(duì)于任意結(jié)構(gòu)的CRT，只要能給出其各繞組間的自、互電感及限流電感的值，根據(jù)式(6)～式(8)就可以得到任意觸發(fā)角組合下CRT工作繞組電流的瞬時(shí)表達(dá)式，而根據(jù)式(13)～式(15)可以求得任意觸發(fā)角組合下CRT工作繞組電流的各次諧波分量有效值。

4 算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所給計(jì)算方法與推理過程的正確性，本文以文獻(xiàn)[11]中提供的CRT模型參數(shù)為例進(jìn)行分析計(jì)算，并與文獻(xiàn)[11]中提供的CRT等值電路仿真模型的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

設(shè)電力牽引母線的額定電壓為UN=27.5 kV，文獻(xiàn)[11]給出了一個(gè)6繞組CRT，并求出了各繞組之間的自、互阻抗矩陣(各繞組的匝數(shù)和所有物理量均已歸算到了高壓側(cè))，將阻抗矩陣轉(zhuǎn)化為自、互電感矩陣(用M表示，M的每行(每列)元素對(duì)應(yīng)的實(shí)際繞組編號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)排列)，結(jié)果(單位：H)如下

M=

文獻(xiàn)[11]的算例是針對(duì)順次單支路模式(逐級(jí)短路調(diào)節(jié)模式)來(lái)設(shè)計(jì)的，當(dāng)M矩陣確定之后，采用文獻(xiàn)[11]給出的遞推算法便可算出對(duì)應(yīng)于W2、W3、W4、W5、W6的限流電感系數(shù)，用向量Lx表示(單位：H)，結(jié)果如下

Lx=[85.66 71.64 29.91 10.22 1.26]

L6=

按照第2節(jié)的推理過程，可得y6為

y6=[0.00221 0.0324 0.0436 0.0524

0.109 0.226]

利用y6中的參數(shù)，根據(jù)式(6)～式(8)及工作繞組電流波形的對(duì)稱性可繪出工作繞組電流在[0，π]上的波形。

文獻(xiàn)[11]建立了CRT的等效電路仿真模型，如圖3所示，其核心部分為多繞組變壓器的多邊形等效電路。本例中的CRT共有6個(gè)繞組，該6繞組變壓器的等效電路如圖3中的正6邊形所示。

圖3 CRT等效電路

按照文獻(xiàn)[11]所給的詳細(xì)計(jì)算流程，圖3中的6邊形等值電路各支路的等效電感參數(shù)可由CRT的自、互電感(M矩)求得，本文只列出其最終結(jié)果(用矩陣l表示)，其詳細(xì)過程可參考文獻(xiàn)[11]，此處不再重復(fù)。需要說明的是l的各行號(hào)與列號(hào)分別對(duì)應(yīng)于等值電路的6個(gè)節(jié)點(diǎn)，主對(duì)角線上的元素“-”表示無(wú)效，l中各電感參數(shù)具有等效的性質(zhì)，出現(xiàn)負(fù)值時(shí)只有數(shù)學(xué)意義，并不具有物理意義。

圖3中的lij(1≤i，j≤6)是矩陣l的第i行第j列元素，lxi(2≤i≤6)為L(zhǎng)x的第i-1個(gè)元素，即與繞組Wi串聯(lián)的限流電抗的電感大小。

將采用該仿真模型得到的波形與使用本文計(jì)算公式繪出的波形進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖4 工作繞組電流波形

從圖4可以看出，計(jì)算所得波形與仿真波形基本重合，從而說明本文所得的計(jì)算工作繞組電流瞬時(shí)值的分段矩陣表達(dá)式是正確的。

根據(jù)式(13)～式(15)，基于本例中所給的各繞組的實(shí)際觸發(fā)角便可求出工作繞組電流基波與各次諧波分量有效值，見表1。

表1 基波與諧波分量有效值 A

表1顯示計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合，說明本文所給出的求算工作繞組基波及各次諧波電流有效值的計(jì)算公式是正確的。

如前文所述，滿足同一輸出容量的觸發(fā)角組合有很多組，現(xiàn)任意給出兩組能保證相同基波電流有效值的實(shí)際觸發(fā)角組合，比較其諧波含量的差異。

第一組：W2、W3、W4、W5、W6對(duì)應(yīng)的觸發(fā)角依次為0、0、0、0、π/32。

第二組：W2、W3、W4、W5、W6對(duì)應(yīng)的觸發(fā)角依次為π/2、3π/8、7π/16、2π/13、0。

圖5所示為上述兩組觸發(fā)角組合對(duì)應(yīng)的工作繞組電流在[0，π]上的波形。上述兩組觸發(fā)角組合對(duì)應(yīng)的CRT工作繞組基波及各次諧波電流有效值見表2。

圖5 兩組不同觸發(fā)角組合下的工作繞組電流波形

表2 兩組不同觸發(fā)角組合下的基波與諧波有效值 A

圖5所示的兩電流波形的基波電流有效值均為18.51 A。第二組組合屬于多繞組調(diào)節(jié)模式，而第一組為單繞組調(diào)節(jié)模式，從表2可以看出，第二組組合對(duì)應(yīng)的工作繞組電流的各次諧波明顯小于第一組，這說明讓CRT按照多繞組調(diào)節(jié)模式運(yùn)行有可能進(jìn)一步減小其諧波含量。

5 結(jié)論

(1)多繞組調(diào)節(jié)模式下，CRT工作繞組電流在各個(gè)時(shí)段上的波形可通過對(duì)相應(yīng)臨界波形進(jìn)行平移而直接得到。

(2)多繞組調(diào)節(jié)模式下，CRT工作繞組電流各次諧波分量有效值與各個(gè)觸發(fā)角之間的多元函數(shù)表達(dá)式是若干個(gè)相同形式的關(guān)于觸發(fā)角的一元函數(shù)的線性組合。

(3)多繞組調(diào)節(jié)模式能夠涵蓋相控觸發(fā)方式下CRT所有的調(diào)節(jié)模式，文獻(xiàn)[11]中所述的單繞組調(diào)節(jié)模式是多繞組調(diào)節(jié)模式的特例，本文給出的多繞組調(diào)節(jié)模式的工作繞組瞬時(shí)電流分段表達(dá)式和諧波電流計(jì)算公式更具有一般性。

(4)本文的計(jì)算結(jié)果與采用文獻(xiàn)[11]中的CRT等值電路模型得到的仿真結(jié)果基本吻合，說明本文的分析方法和計(jì)算公式是正確的。

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