李魯淼

摘 要：帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一般比較復(fù)雜，高中階段能夠定量處理的一般僅限于勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其中，以與磁場(chǎng)垂直的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)最為常見(jiàn)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=。而處理曲線運(yùn)動(dòng)，基本方法是分解運(yùn)動(dòng)。以下就要借此方法，合理地分解運(yùn)動(dòng)，巧妙處理帶電粒子在電磁場(chǎng)中復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)。

關(guān)鍵詞：分解運(yùn)動(dòng)；軌跡；曲率半徑

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）4-0045-4

1 帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

若初速度方向與磁場(chǎng)方向斜交，如圖1所示，可以把v分解為與B垂直分量v⊥及與B平行分量v//。

v⊥=vsinθ，v//=vcosθ。

v⊥使帶電粒子受洛倫茲力的作用，在垂直于B的平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑R和周期T分別為R=，T=。

v//使粒子平行于B的方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成為等距螺旋線，螺距h= v//T。若以出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，B方向?yàn)閦軸，圓周運(yùn)動(dòng)平面為xOy平面，圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω=Bq/m，其軌跡方程為：

應(yīng)用此結(jié)論可以求解一般等距螺旋運(yùn)動(dòng)的曲率半徑。設(shè)軌道圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，圓周運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，螺距為h，如圖2所示。

如圖3所示，若磁場(chǎng)方向沿y軸正方向，速度方向與xOz平面夾角為θ，仍可將速度分解，仍然以v//沿y軸勻速運(yùn)動(dòng)，以v⊥做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡仍為等距螺旋線。

2 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

關(guān)于帶電粒子在速度選擇器中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可總結(jié)為：

如圖4，若電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁場(chǎng)強(qiáng)度為B，帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，方向水平向右。

當(dāng)速度v=時(shí)，向上的洛倫茲力與向下的電場(chǎng)力平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，軌跡為Ⅰ。

當(dāng)速度v<時(shí)，向上的洛倫茲力小于向下的電場(chǎng)力，帶電粒子向下偏轉(zhuǎn)，軌跡為Ⅱ。

當(dāng)速度v>時(shí)，向上的洛倫茲力大于向下的電場(chǎng)力，帶電粒子向上偏轉(zhuǎn)，軌跡為Ⅲ。

下面來(lái)討論軌跡Ⅱ、Ⅲ。借助軌跡Ⅰ的特點(diǎn)，可以把初速度v分解為v1與v2，其中，v1=，v2=v-v1，v1方向與v方向相同，其產(chǎn)生的洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，粒子以v1做勻速直線運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，以v2為線速度在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子實(shí)際運(yùn)動(dòng)是由兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成，其軌跡是一個(gè)旋輪線。粒子運(yùn)動(dòng)具有周期性，豎直方向一個(gè)周期后回到原來(lái)的位置，粒子離開(kāi)初速度方向垂直距離最大值d=2R=2。

①若初速度v<，則速度可以分解如圖5所示， v1=方向水平向右；v2=v1-v，方向水平向左。粒子的軌跡為圖5中的實(shí)曲線部分，最低點(diǎn)的速度方向水平向右，大小v1+v2。

當(dāng)v1

2008年江蘇卷第14題。在場(chǎng)強(qiáng)為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶正電q的小球在O點(diǎn)靜止釋放，小球的運(yùn)動(dòng)曲線如圖9所示。已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，重力加速度為g。求：（1）小球運(yùn)動(dòng)到任意位置P（x，y）處的速率v；（2）小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中第一次下降的最大距離ym。（3）當(dāng)在上述磁場(chǎng)中加一豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E（E>）的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率 vm。

其中，小球受到的重力充當(dāng)原來(lái)的電場(chǎng)力，小球的出發(fā)點(diǎn)即為上述v1=v2情況的最高點(diǎn)。所以，可以假設(shè)小球出發(fā)時(shí)，存在兩個(gè)大小相等、方向相反的速度，速度大小均為。其中，曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的2倍，即為此種情況的結(jié)論，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律就與v1=v2情況相同了。

若初速度的方向與水平方向成θ，如圖10所示?？梢詫⑺俣葀分解為v1與v2，其中由v1產(chǎn)生的安培力仍與電場(chǎng)力平衡，以v2為線速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若初速度的方向與紙面不共面，同樣可以將速度分解為v1與v2，其中v1產(chǎn)生的洛倫茲力仍與電場(chǎng)力平衡，在此方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而v2使粒子做等距的螺旋運(yùn)動(dòng)，粒子同時(shí)參與了這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)。

通過(guò)上述問(wèn)題的探討，告訴我們應(yīng)該要善于利用已有知識(shí)來(lái)處理新的問(wèn)題，既鞏固和強(qiáng)化已有知識(shí)的體系，又加深對(duì)新知識(shí)的理解與應(yīng)用，真正做到學(xué)以致用。

（欄目編輯 陳 潔）