康岳群，徐祖華，趙均，邵之江(浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，工業(yè)控制技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，浙江 杭州 310027)

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分布曲線對象的無偏模型預(yù)測控制算法

康岳群，徐祖華，趙均，邵之江
(浙江大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，工業(yè)控制技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，浙江 杭州 310027)

摘要：隨著系統(tǒng)總體性能要求的提高，分布曲線對象的控制問題成為研究熱點(diǎn)。分布曲線對象是通過宏觀的操作手段控制微觀的輸出曲線，不是任意形狀的目標(biāo)曲線都是能無偏跟蹤的。提出了一種分布曲線對象的無偏模型預(yù)測控制算法。該方法首先采用B樣條模型進(jìn)行分布曲線對象的描述，其次通過復(fù)合梯形方法對滾動優(yōu)化命題進(jìn)行離散化，最后采用二次規(guī)劃方法進(jìn)行無偏目標(biāo)曲線計算，以實現(xiàn)無偏控制。仿真結(jié)果表明了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：分布曲線對象；模型預(yù)測控制；無偏控制；優(yōu)化；數(shù)學(xué)模擬

2015-12-22收到初稿，2015-12-29收到修改稿。

聯(lián)系人：徐祖華。第一作者：康岳群(1991－)，男，碩士研究生。

引 言

在傳統(tǒng)的工業(yè)控制中，被控變量通常是n維空間中的的一個點(diǎn)。隨著控制系統(tǒng)性能要求的提高，面臨著曲線控制的需求，被控變量從n維空間的一個點(diǎn)過渡到n維空間中的一條曲線。例如對于聚合產(chǎn)品而言，高分子鏈和低分子鏈代表了不同的特性，在傳統(tǒng)工業(yè)過程控制中常采用平均分子量或者熔融指數(shù)等宏觀指標(biāo)作為被控目標(biāo)[1-3]，但是這些宏觀指標(biāo)無法反映出完整的分子結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致聚合產(chǎn)品性能如抗沖擊性能、熱力學(xué)性能等達(dá)不到預(yù)期的要求。因此為了滿足性能要求，提出對于反映完整分子結(jié)構(gòu)信息的分子量分布曲線的控制是十分必要的。分布曲線的控制不僅僅用于聚合反應(yīng)的分子量分布，還廣泛用于其他化工領(lǐng)域，如造紙過程紙張兩維質(zhì)量分布控制、燃燒過程溫度場分布控制等等。

分布曲線的控制在近十多年來得到了廣泛的關(guān)注，Wang[4]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立隨機(jī)分布模型，對靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)的建模和控制都進(jìn)行了研究，隨后為這種新型隨機(jī)系統(tǒng)設(shè)計魯棒控制[5]，自適應(yīng)控制和非線性控制算法[6]，解決了隨機(jī)系統(tǒng)的建模與控制問題，并且將所推導(dǎo)的控制算法成功運(yùn)用在造紙的生產(chǎn)過程中。張春雨[7]利用B樣條神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和線性遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法對管式聚合反應(yīng)的溫度分布進(jìn)行了建模，在此基礎(chǔ)上引入了實時模型誤差的策略，提出了擴(kuò)展的積分平方誤差控制指標(biāo)，解決了管式聚合反應(yīng)的溫度分布控制問題。吳海燕[8]提出當(dāng)分子量分布曲線采用離散正交多項式來描述時，權(quán)值和分子量分布的矩向量存在線性關(guān)系，并利用最優(yōu)算法實現(xiàn)了分子量分布的形狀控制。申珊華等[9]基于灰箱模型對分子量分布矩值設(shè)計預(yù)測控制器，利用分子量分布矩值可測的功能完成反饋校正的功能。

分布曲線對象是通過宏觀的操作手段控制微觀的輸出曲線，不是任意形狀的目標(biāo)曲線都是能無偏跟蹤的。在現(xiàn)有研究成果中，無偏控制問題仍然沒有很好地解決。模型預(yù)測控制由于其模型預(yù)測、滾動優(yōu)化、反饋校正的鮮明特點(diǎn)，使其成為目前公認(rèn)處理復(fù)雜過程約束控制的有效算法，在石油、化工等過程領(lǐng)域中得到成功應(yīng)用[10-13]。因此，本文在模型預(yù)測控制框架下進(jìn)行分布曲線對象的無偏控制研究，首先采用B樣條模型進(jìn)行分布曲線對象的描述，其次通過復(fù)合梯形方法對滾動優(yōu)化命題進(jìn)行離散化，最后通過二次規(guī)劃方法進(jìn)行無偏目標(biāo)曲線計算，以實現(xiàn)無偏控制。

1 分布曲線對象模型

本文采用如下模型進(jìn)行分布曲線描述

其中，v(k)=[v1(k),v2(k),…,vnv(k)]T為nv維權(quán)值向量，D(y)=[D1(y),D2(y),…,Dnv(y)]T為nv維B樣條基函數(shù)向量，xm(k)為nx維狀態(tài)向量，u(k)為nu維輸入向量，e(y)是不可測輸出擾動。

令Δxm(k)=xm(k)?xm(k?1)，η(k)=v(k)，Δu(k)=u(k)?u(k?1)，則式(2) 轉(zhuǎn)化為如下增量表示形式

令x(k)=[Δxm(k)Tη(k)T]T，則分布曲線對象模型可以用如下方程表示

2 面向分布曲線的模型預(yù)測控制

2.1 預(yù)測模型

令k時刻已經(jīng)得到狀態(tài)的估計值x(k|k)，因此，在M個連續(xù)的控制增量作用下，系統(tǒng)在未來P個時刻的權(quán)值預(yù)測如下所示

將上述推導(dǎo)整理成如下的預(yù)測方程

其中，各變量定義為

通過預(yù)測方程式(5)可以對未來P個時刻的曲線形狀進(jìn)行預(yù)測控制。

2.2 滾動優(yōu)化

在采樣時刻k，通過最小化性能指標(biāo)函數(shù)（7）確定最優(yōu)控制序列，使得未來預(yù)測輸出曲線盡可能接近期望的目標(biāo)曲線，同時對控制作用的大小加以約束，避免控制作用變化過于劇烈

其中，γtar(y)為期望的目標(biāo)曲線，γk+i(y)為k+i時刻的預(yù)測輸出曲線，qi(y)為k+i時刻輸出誤差加權(quán)函數(shù)，ri為k+i時刻控制增量加權(quán)系數(shù)，a和b分別為曲線的積分下限和積分上限。采用復(fù)合梯形方法對式(7)進(jìn)行積分離散化，把區(qū)間[a,b]進(jìn)行n等分，步長h=(b?a)/n，得到如下離散化公式

將預(yù)測方程式(6)代入上述優(yōu)化目標(biāo)，得到性能指標(biāo)函數(shù)

其中，Q和R均為加權(quán)矩陣，每一個對角陣Q(yj)對角線上的第i元素表示對未來的第i個時刻分布曲線上yj這一點(diǎn)的重視程度。rij表示對于第i個控制變量在未來的j時刻變化幅度的限制。

在不考慮輸入輸出約束的條件下，由極值必要條件?J/?ΔU=0求得如下最優(yōu)解

通過式(10)可以求解出未來M個時刻的控制增量，為了防止模型失配出現(xiàn)的偏差，每次只執(zhí)行第一個控制增量，到了下一個采樣時間點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化計算。

2.3 反饋校正

由于模型失配、不可測干擾等因素存在，系統(tǒng)的實際運(yùn)行可能偏離理想的優(yōu)化結(jié)果，反饋校正策略必不可少，具體步驟如下。

（1）根據(jù)檢測儀表，得到分布曲線對象在[a,b]上的若干測量值，通過三次樣條插值方法，得到真實分布曲線γk(y)。

（2）通過真實分布曲線γk(y)與預(yù)測輸出曲線γk|k?1(y)，得到預(yù)測誤差曲線ek(y)。

（3）根據(jù)誤差曲線ek(y)計算所有的誤差向量，代入式(10)計算下一時刻的控制增量。

上述3步組成一次完整的校正，消除由于模型誤差以及不可測擾動所帶來的影響，使系統(tǒng)的實際運(yùn)行盡可能逼近理想的優(yōu)化結(jié)果。

3 無偏目標(biāo)曲線計算

以宏觀的控制變量控制微觀的分布曲線，由于對象特性本身的原因，不是任意形狀的目標(biāo)曲線都是可達(dá)的，特別是在執(zhí)行機(jī)構(gòu)有約束的情況下。比如對于分子量分布而言，進(jìn)料的流量、速率都是限定在一個范圍之內(nèi)，低分子比例與高分子比例不能任意變化。因此，有必要在控制分布曲線時根據(jù)對象特性對目標(biāo)曲線進(jìn)行分析，對不可達(dá)的目標(biāo)曲線做出調(diào)整，放棄部分性能要求，以實現(xiàn)無偏控制。

對于分布曲線對象，由式(3)通過推導(dǎo)可以得到分布曲線的穩(wěn)態(tài)模型

其中，vss是穩(wěn)態(tài)權(quán)值，γss(y)為穩(wěn)態(tài)分布曲線。在此基礎(chǔ)上，通過如下的積分誤差優(yōu)化命題，可以判斷出目標(biāo)分布曲線是否可達(dá)。

其中，qss(y)是加權(quán)函數(shù)，通常重要的微觀質(zhì)量部分權(quán)值設(shè)置較大，次要的微觀質(zhì)量部分權(quán)值設(shè)置較小。為了求解上述積分優(yōu)化問題，采用復(fù)合梯形公式進(jìn)行離散化。因此，可將目標(biāo)函數(shù)J劃分成常數(shù)項，一次項和二次項之和。

其中，

從而轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃命題進(jìn)行求解。如果穩(wěn)態(tài)誤差J*小于誤差容限ε，表示目標(biāo)曲線是可達(dá)的；如果穩(wěn)態(tài)誤差J*大于誤差容限ε，表示目標(biāo)曲線是不可達(dá)的，則通過如下計算公式，計算出一條可達(dá)的目標(biāo)曲線來進(jìn)行無偏控制。

綜上所述，分布曲線對象的無偏模型預(yù)測控制算法步驟如圖1所示。

圖1 無偏控制實施步驟Fig.1 Flow chart of offset-free control

4 仿真結(jié)果

本文針對如下的分布曲線對象設(shè)計控制器

其中，D(y)為3階B樣條基函數(shù)，按照如下遞推公式[14]

其中，x表示變量，q表示B樣條基函數(shù)的階次，j表示第j個基函數(shù)。

通常在預(yù)測控制中，優(yōu)化時域P，一般取近似于過程的上升時間，本文選擇P=6?？刂茣r域M的選擇應(yīng)當(dāng)兼顧快速性和穩(wěn)定性，本文選擇M=3。輸出偏差加權(quán)陣Q的大小反映了每個時刻對預(yù)測輸出曲線逼近給定曲線的重視程度，控制增量加權(quán)陣R是防止控制增量的劇烈變化，為了簡單起見這里Q 和R均選取單位陣。

4.1 仿真一

在本次仿真中，對象無模型失配，且目標(biāo)曲線為

γtar(y)=1.16D1(y)+0.31D2(y)+1.08D3(y) (18)

通過本文提出的無偏目標(biāo)曲線計算方法，該目標(biāo)曲線是可達(dá)的，穩(wěn)態(tài)誤差較小。仿真結(jié)果如圖2所示，經(jīng)過10個控制周期，輸出曲線已經(jīng)跟蹤上目標(biāo)曲線。

圖2 仿真一控制效果圖Fig.2 Closed-loop response of MPC(simulation 1)

4.2 仿真二

在本次仿真中，對象無模型失配，且目標(biāo)曲線為

通過本文提出的無偏目標(biāo)曲線計算方法，該目標(biāo)曲線是不可達(dá)的，穩(wěn)態(tài)誤差較大。選取qss(y)常值函數(shù)，計算出穩(wěn)態(tài)誤差最小的可達(dá)目標(biāo)曲線，如圖3虛線所示。

圖3 目標(biāo)形狀的無偏性分析Fig.3 Offset-free analysis of target curve

對于新給定的目標(biāo)曲線，控制效果如圖4所示。

圖4 仿真二控制效果圖Fig.4 Closed-loop response of MPC(simulation 2)

由仿真結(jié)果可知，輸出分布曲線經(jīng)過10個控制周期達(dá)到了新的目標(biāo)曲線，為了區(qū)分不同區(qū)間的重要性，可以修改穩(wěn)態(tài)誤差的權(quán)值函數(shù)qss(y)。

4.3 仿真三

在本次仿真中，對象存在模型失配，目標(biāo)曲線可達(dá)，在模型存在誤差的情況下需要使用反饋校正逼近理想的優(yōu)化效果。在本例中模型失配是由于模型的基函數(shù)數(shù)目少于真實對象的數(shù)目，導(dǎo)致動態(tài)特性與靜態(tài)特性都存在失配。

基函數(shù)如圖5所示。

圖5 模型失配Fig.5 Model-plant mismatch

從如下仿真結(jié)果（圖6）中看出，反饋矯正可以針對模型失配進(jìn)行矯正，到達(dá)理想的優(yōu)化效果。

圖6 模型失配控制效果圖Fig.6 Closed-loop response of MPC with model-plant mismatch

5 結(jié) 論

本文首先采用B樣條基函數(shù)的描述方式，將曲線控制的動態(tài)過程用狀態(tài)空間來描述，其次利用模型設(shè)計預(yù)測控制器，使得輸出曲線盡可能逼近目標(biāo)曲線，最后為了分析目標(biāo)曲線的可達(dá)性，推導(dǎo)出模型的穩(wěn)態(tài)表達(dá)式，利用二次規(guī)劃進(jìn)行求解，解決了分布曲線控制的無偏性問題，下一步工作是針對變形過程開展多分辨率控制。

符 號 說 明

A,B,C——分別為增量模型的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣

D(y) ——B樣條基函數(shù)向量

M ——預(yù)測控制控制時域

P ——預(yù)測控制優(yōu)化時域Q ——誤差加權(quán)矩陣

R ——控制增量加權(quán)矩陣

v(k) ——B樣條基函數(shù)對應(yīng)的權(quán)值向量

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研究論文

Received date: 2015-12-22.

Foundation item: supported by the National High Technology Research and Development Program of China(2014AA041802) and the National Natural Science Foundation of China(U1509209,61273145,61273146).

Offset-free model-predictive control algorithm of distribution process

KANG Yuequn, XU Zuhua, ZHAO Jun, SHAO Zhijiang
(State Key Laboratory of Industrial Control Technology, College of Control Science and Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, Zhejiang, China)

Abstract:With the improvement of overall system performance requirements, control problems in distribution process has already become the current research focus. The output of the object of microscopic distribution process are controlled by macro way, not can arbitrary shaped curves track with offset-free. This paper propose an offset-free model predictive control algorithm of controlling the distribution process. First, the method describe the distribution process with B-splines. Second, using composite trapezoidal rule for discretizing proposition of rolling optimization. Finally, using the quadratic programming method to calculate the offset-free target to achieve offset-free control. It proved well performed at simulation experiment.

Key words:distribution process; model-predictive control; offset-free control; optimization; mathematical modeling

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151946

中圖分類號：TP 13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：0438—1157（2016）03—0701—06

基金項目：國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃項目(2014AA041802)；國家自然科學(xué)基金項目(U1509209, 61273145, 61273146)。

Corresponding author:Prof. XU Zuhua, xuzh@iipc.zju.edu.cn