黃玲，楊鵬輝*，謝文，吳春艷

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；b.金融學(xué)院，安徽蚌埠　233030)

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基于曲線擬合法太陽影子定位技術(shù)的研究

黃玲a，楊鵬輝a*，謝文a，吳春艷b

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院；b.金融學(xué)院，安徽蚌埠233030)

[摘要]本文主要研究太陽影子定位技術(shù)，以太陽高度角為切入點(diǎn)，借助天文三角形知識(shí)，探究太陽高度角、太陽方位角、太陽時(shí)角、太陽赤緯與經(jīng)緯度、日期、地方時(shí)的關(guān)系，結(jié)合曲線擬合、聯(lián)立方程式的方法，建立太陽影子定位的優(yōu)化模型，運(yùn)用MATLAB、EXCEL軟件研究出太陽影子的變化規(guī)律、基于影子頂點(diǎn)坐標(biāo)條件下物體的定時(shí)、定位，并將研究結(jié)果推廣到視頻數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域?qū)σ曨l進(jìn)行定位、定時(shí).

[關(guān)鍵詞]太陽影子定位；太陽高度角；曲線擬合；視頻數(shù)據(jù)分析；MATLAB

0引言

太陽影子定位技術(shù)就是通過水平地面上物體太陽影子的長(zhǎng)短變化，確定物體所在的地點(diǎn).影長(zhǎng)與太陽高度角以及物體高度之間存在函數(shù)關(guān)系，太陽高度角[1]作為研究切入點(diǎn)，將影響太陽影子的因素主要細(xì)分為物體所在地的經(jīng)緯度以及影長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的日期與時(shí)刻.本文旨在探究物體影長(zhǎng)與其影響參數(shù)之間的關(guān)系，建立太陽影子定位模型，并將此模型應(yīng)用到視頻數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，根據(jù)視頻中某一物體的太陽影子變化，確定拍攝的地點(diǎn)與拍攝日期.

1數(shù)據(jù)的獲取與假設(shè)

本文中物體太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)以及視頻數(shù)據(jù)均來自2015年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模題A題[2].為了方便求解，提出以下五條假設(shè)：11假設(shè)采集影子頂點(diǎn)數(shù)據(jù)時(shí)，天氣晴朗，無惡劣天氣出現(xiàn)；22假設(shè)大氣對(duì)太陽光線的折射很小，太陽光線到達(dá)地球后依舊是平行的；33假設(shè)地球公轉(zhuǎn)的速度即太陽直射點(diǎn)在南北回歸線之間的移動(dòng)是勻速的；44假設(shè)附件所提供的數(shù)據(jù)均是真實(shí)測(cè)量的，不含人為修改的因素；55假設(shè)攝像機(jī)參數(shù)、攝像機(jī)的幾何畸變?cè)谔崛∫曨l中影子頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)產(chǎn)生的誤差可忽略不計(jì).

2影子長(zhǎng)度關(guān)于經(jīng)緯度、日期、時(shí)刻的變化規(guī)律

2.1研究思路

影子長(zhǎng)度等于直桿長(zhǎng)度與太陽高度角正弦值的比值，影子長(zhǎng)度、直桿高度、太陽高度角分別用L、H、h表示，太陽高度角作為本文研究的切入點(diǎn)，在天文三角形[3]中其大小由當(dāng)?shù)鼐暥圈?、?dāng)日的太陽赤緯[1]φ以及當(dāng)時(shí)的太陽時(shí)角[1]ω決定，

sinh=sinαsinφ+cosαcosφcosω[3]

(1)

圖1　影長(zhǎng)變化規(guī)律的研究思路圖　　圖2　天安門3米高直桿的太陽影子變化圖

2.2研究方法

本文通過影子長(zhǎng)度關(guān)于各影響參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，聯(lián)立方程組，建立影子長(zhǎng)度變化模型，進(jìn)而對(duì)其研究規(guī)律進(jìn)行探究；其中有關(guān)太陽時(shí)角大小的地方時(shí)t的計(jì)算，首先要選取一地為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，本文以北京時(shí)間T(東經(jīng)120°)為例,再根據(jù)計(jì)算得出的該地經(jīng)度與東經(jīng)120°的經(jīng)度差，得出地方時(shí)的計(jì)算模型，如下：

(2)

根據(jù)地方時(shí)的計(jì)算公式，將太陽時(shí)角的算法進(jìn)行改進(jìn)：

(3)

其中地方時(shí)t在計(jì)算時(shí)需注意，當(dāng)t<0時(shí)，地方時(shí)t加24，日期減一天；當(dāng)t>24時(shí)，地方時(shí)t減24，日期加一天.

聯(lián)合影子長(zhǎng)度、太陽高度角、太陽赤緯以及改進(jìn)的太陽時(shí)角的計(jì)算公式，影子長(zhǎng)度變化模型可表示如下：

(4)

2.3數(shù)據(jù)分析

利用MATLAB對(duì)模型進(jìn)行編程，以2015年10月22(d=295)日北京時(shí)間9：00(T=9)-15：00(T=15)之間天安門廣場(chǎng)(北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒)3米高的直桿為例，帶入模型研究其太陽影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律，求解出天安門廣場(chǎng)直桿影長(zhǎng)的結(jié)果如表1所示：

表1　天安門直桿影子長(zhǎng)度統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)不同時(shí)刻影子的長(zhǎng)度利用MATLAB軟解繪制直桿的太陽影子關(guān)于時(shí)間變化的圖，并結(jié)合Spline插值法繪制直桿的太陽影子關(guān)于時(shí)間變化的光滑曲線圖，結(jié)果如圖2所示：

由上述分析可知，固定桿太陽影子長(zhǎng)度的總體變化趨勢(shì)呈U型，從日出時(shí)刻開始到當(dāng)?shù)氐胤綍r(shí)為正午12點(diǎn)時(shí)，影子長(zhǎng)度逐漸減小，并在該地正午十二點(diǎn)時(shí)達(dá)到最小值；之后從正午十二點(diǎn)直到日落時(shí)刻，影子長(zhǎng)度逐漸增大并在日落時(shí)刻消失.

3基于日期、影子頂點(diǎn)坐標(biāo)條件下的太陽影子定位

3.1研究思路

以水平地面為空間xoy平面，物體底端中心為空間坐標(biāo)系原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)各個(gè)時(shí)刻下影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及數(shù)據(jù)記錄的日期確定物體所處的地點(diǎn).本文從兩個(gè)方面來考慮，一方面是對(duì)經(jīng)度進(jìn)行定位，需要根據(jù)物體所在地的地方時(shí)與北京時(shí)間的時(shí)差，利用改進(jìn)的太陽時(shí)角計(jì)算公式，確定物體所處地點(diǎn)的經(jīng)度值，對(duì)于時(shí)差的計(jì)算，我們將影長(zhǎng)數(shù)據(jù)與所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，推算出影子長(zhǎng)度達(dá)到最小也就是當(dāng)?shù)貢r(shí)間為正午十二點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間；另一方面是對(duì)緯度進(jìn)行定位，我們引進(jìn)太陽方位角[5]，其計(jì)算公式為：

(5)

3.2數(shù)據(jù)處理

利用2015年4月18日某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)(見表2)，分別對(duì)影子長(zhǎng)度與北京時(shí)間以及影子頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)進(jìn)行曲線擬合.

表22015年4月18日某固定桿太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)

1)影長(zhǎng)與北京時(shí)間的曲線擬合

運(yùn)用MATLAB軟件畫出影子長(zhǎng)關(guān)于北京時(shí)間的散點(diǎn)圖并利用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如圖3所示.

可得到影長(zhǎng)與北京時(shí)間之間的擬合函數(shù)L= 0.1489T2- 3.7519T+ 24.1275.

1)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)的曲線擬合

對(duì)表2中影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)用MATLAB軟件畫出散點(diǎn)圖并這些數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如圖4所示:

圖3　太陽影子長(zhǎng)度關(guān)于時(shí)間變化的擬合曲線　　圖4　影子頂點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)于橫坐標(biāo)的曲線擬合

可得到影子頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的擬合函數(shù)y=- 0.0258x2+ 0.2206x + 0.2965.

3.3研究方法

已知當(dāng)某地的直桿的太陽影子長(zhǎng)度L達(dá)到最小值時(shí)，該地地方時(shí)為正午十二點(diǎn)，我們根據(jù)影長(zhǎng)與北京時(shí)間擬合的二次函數(shù)L= 0.1489T2- 3.7519T+ 24.1275，求出影長(zhǎng)的最小值以及該點(diǎn)多對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間T，再根據(jù)北京時(shí)間T與地方時(shí)t之間的時(shí)差，通過地方時(shí)計(jì)算模型求解得出該地的經(jīng)度β.

由于太陽方位角滿足tanA=y/x公式，結(jié)合影子頂點(diǎn)坐標(biāo)的曲線擬合結(jié)果，并通過影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算影子長(zhǎng)度L2=x2+y2，聯(lián)立方程組，建立任意影長(zhǎng)下的太陽方位角的計(jì)算模型：

“公共法律服務(wù)智能化建設(shè)不僅有效提升服務(wù)均等化水平，還具有社會(huì)治理的深遠(yuǎn)意義，技術(shù)變遷再次成為影響社會(huì)治理變遷的重要因素。?黃東東：《公共法律服務(wù)與信息技術(shù)：域外經(jīng)驗(yàn)與中國問題——以法律援助為例》，《電子政務(wù)》，2017年第1期?！彪S著不同形態(tài)樣式智能化產(chǎn)品應(yīng)用在公共法律服務(wù)項(xiàng)目中，公共法律服務(wù)智能化成為一個(gè)不斷發(fā)展演進(jìn)的概念。特別是在共享經(jīng)濟(jì)背景下，公共法律服務(wù)智能化模式以服務(wù)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開發(fā)利用為主線，并輔以視頻技術(shù)、人工智能技術(shù)等信息技術(shù)支持，構(gòu)建出新型的公共法律服務(wù)體系。

(6)

(7)

我們聯(lián)合正午時(shí)刻的太陽方位角與正午太陽高度角建立緯度定位模型：

(8)

3.4結(jié)果分析

根據(jù)上述所建模型，利用MATLAB編程進(jìn)行求解，通過二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出影子長(zhǎng)度最低時(shí)對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間，結(jié)果如下：

T= 3.75192×0.1489=12.6, Lmin=0.493

(9)

即當(dāng)時(shí)北京時(shí)間為12：36，帶入經(jīng)度定位模型

(10)

求解結(jié)果得出該地經(jīng)度為東經(jīng)111度.

結(jié)合經(jīng)度、緯度求解結(jié)果，該直桿所在位置有兩個(gè)其一是我國海南省(18.49°N,111°E),其二是在印度尼西亞(4.38°N,111°N).

4基于影子頂點(diǎn)坐標(biāo)條件下的定時(shí)、定位

4.1研究思路

根據(jù)物體太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，以及該數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間，對(duì)該物體所在地點(diǎn)進(jìn)行定位，并確定當(dāng)天的日期，這是在基于日期、影子頂點(diǎn)坐標(biāo)條件下的太陽影子定位研究上的進(jìn)一步深入.在上述研究分析中可以看出，經(jīng)度的確定于日期無關(guān)，所以在此問題上，本文只需進(jìn)一步研究在沒有日期這一條件下如何確定緯度值，并分析數(shù)據(jù)記錄的日期.

4.2研究方法

(11)

其中太陽時(shí)角又可以表示如下：

(12)

帶入上述模型，綜合可得：

(13)

4.3數(shù)據(jù)處理

利用某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)(見表3)

表3某固定直桿太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)

根據(jù)所建模型可知表3中每3次記錄數(shù)據(jù)可得出一組解，本文利用MATLAB軟件將數(shù)據(jù)帶入模型進(jìn)行求解，求解結(jié)果如表4所示：

表4　結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

由于三組求解結(jié)果相差甚微，本文為減小誤差，將三組數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，利用太陽赤緯與日期的關(guān)系：

φ=23.45°sin360°(284+d)/365求解得到d=84，故當(dāng)天日期應(yīng)該為3月25日；利用太陽高度角的計(jì)算公式sinh=sinαsinφ+cosαcosφcosω求解得到α=43.8°N.

4.4結(jié)果分析

綜合上述分析結(jié)果，該固定直桿所在地點(diǎn)在我國新疆維吾爾自治區(qū)的烏魯木齊市(43.8°N,87.74°E)，當(dāng)天日期為3月25日.

5太陽影子定位技術(shù)在視頻數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的推廣

5.1研究思路

如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，通過本文的研究，可以根據(jù)視頻中物體的太陽影子變化，利用視頻圖像信息的量化處理技術(shù)將圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)，得出視頻中太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)帶入上述研究所建模型確定視頻的拍攝地點(diǎn)與日期，本文將以2015高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題A題的視頻附件為例.

5.2研究方法

首先將視頻文件導(dǎo)入MATLAB中，每三分鐘提取視頻一幀，得到20組視頻截圖，以直桿的底端中心為原點(diǎn)，直桿所在方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上提取影子的頂點(diǎn)像素坐標(biāo)數(shù)據(jù)；

接著，根據(jù)針孔攝像機(jī)成像原理，將圖片中的圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為實(shí)際坐標(biāo)，得出直桿影子頂點(diǎn)變化的實(shí)際空間坐標(biāo)值，數(shù)據(jù)整理表5所示：

表5　視頻中直桿影子頂點(diǎn)坐標(biāo)

5.3 結(jié)果分析

已知視頻的拍攝時(shí)期為2015年7月13日，將表5中整理的影子點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)利用MATLAB軟件帶入第二節(jié)所建模型進(jìn)行求解，結(jié)果表明拍攝地點(diǎn)可能是在我國黑龍江省境內(nèi)(47.8°N,133°E)；剔除拍攝日期這一已知條件，將數(shù)據(jù)帶入第三節(jié)的模型中進(jìn)行求解，結(jié)果表明拍攝日期為2015年3月31日前后，拍攝地點(diǎn)在我國釣魚島附近(37.32°N,133°E).

6總結(jié)

本文通過對(duì)太陽影子的變化規(guī)律、根據(jù)太陽影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)對(duì)物體進(jìn)行定位、定時(shí)的逐步探究，研究出太陽影子定位技術(shù)，并結(jié)合視頻信息的量化處理方法，將此項(xiàng)技術(shù)運(yùn)用到視頻數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域，確定視頻的拍攝地點(diǎn)與日期.

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[責(zé)任編輯：房永磊]

The Study of Positioning Technology of the Model of Sun's Shadow Based on the Curve Fitting

HUANG Linga，YANG Peng-huia，XIE Wena，WU Chun-yanb

(Anhui University of Finance and Economics ,a. School of Statistics and Applied Math；b. School of Finance,Bengbu 233030,China)

Abstract:The thesis majors in the positioning of sun's shadow, in our study, solar height angle is breakthrough, by means of the knowledge of the astronomical triangle, we analysed the quantitative relationship between sun elevation angle, solar azimuth, solar hour, solar declination angle and longitude, latitude, date, local time. Combining with the method of curve fitting and simultaneous equations, we set up the sun’s shadow positioning optimizing model. By using MATLAB and EXCEL software, we worked out the laws for the change of sun’s shadow, and ascertained the location and date. Finally we promoted our research result to the field of video data analysis.

Key words:sun’s shadow positioning; sun elevation angle; curve fitting; video data analysis; MATLAB

[中圖分類號(hào)]O185.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1004-7077(2016)02-0041-07

[作者簡(jiǎn)介]楊鵬輝(1981-)，女，安徽淮南人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士，主要從事圖論與組合優(yōu)化研究.

[基金項(xiàng)目]國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：11301001).

[收稿日期]2016-01-21