徐飛翔

摘 要：已知一個矢量的大小和方向及另一個矢量的大小，這類矢量的動態(tài)變化問題，常使學生感到困惑，不易解決。如能靈活運用矢量圓結合平行四邊形定則或三角形定則，會使問題化繁為簡，易于學生理解。這樣，既能使學生開闊思路和開拓視野，又能使學生加深對矢量問題的理解，提高他們運用數(shù)學知識分析、解決物理問題的能力。

關鍵詞：矢量；動態(tài)變化；矢量圓

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）23-0207-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.23.132

矢量既有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在一些問題中常會遇到矢量的動態(tài)變化問題。例如，已知一個矢量的大小，但是其方向不確定，我們姑且稱之為矢量的動態(tài)變化，由動態(tài)變化問題衍生出求矢量合成與分解中的極大值、極小值及多解等問題。這類問題常使學生一籌莫展，不知如何下手。對于已知一個矢量的大小和方向及另一個矢量的大小，但方向可變的問題，若能借助圓的半徑表示矢量的大小，以圓心向外的指向表示矢量的可能方向，建立一個“矢量圓”，用來表示物理學中的速度、力等矢量的變化，就能結合具體問題，使問題形象直觀，有效地化繁為簡，使學生易于接受，并能加深他們對矢量概念的理解。

一、“矢量圓”在運動的合成中的運用

小船渡河是典型的運動合成的問題，常作為重要模型考查學生對運動的合成的理解。求渡河最短時間及最短位移問題是常見題型，下面通過例題討論如何運用“矢量圓”解決問題。

例1：一條寬度為L的河流，水流速度為Vs，已知船在靜水中的速度為Vc，且Vc

分析：如果水流速度大于船在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游。怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖1所示，設船頭Vc與河岸成θ角，合速度V與河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以Vs的矢尖為圓心，以Vc為半徑畫圓，當V與圓相切時，α角最大，根據(jù)cosθ=，船頭與河岸的夾角應為：θ=arccos。

小結：本題中的水速大于船速，不能到達正對岸，但沿怎樣的方向航行才能使船的向下漂移的位移及渡河的位移最短呢？因船頭的方向有無數(shù)種可能，用平行四邊形定則進行處理過于復雜，學生也不具備這樣的數(shù)學能力，這里借助矢量圓使問題變得形象直觀，簡化運算的過程，學生易于接受。

二、“矢量圓”在力的分解中的運用

力是矢量，既有大小，又有方向。在已知一個力進行分解的時候，有無數(shù)種可能，如加上一定的約束條件，討論力的分解問題，求符合條件的解的個數(shù)。這類問題常使學生感到棘手，若能運用矢量圓結合平行四邊形定則進行處理，會使問題形象直觀、大頭簡化。

例2：如圖2所示，已知合力F大小方向，一個分力F1的大小和另一個分力F2的方向，討論解的個數(shù)。

分析：因為已知合力F的大小和方向，F(xiàn)2方向一定，可以畫出一條與F一定夾角α的直線表示F2的方向，因為F1的大小確定，方向有無數(shù)種可能，若能用矢量圓的半徑表示F1的大小，半徑從圓心向外的指向表示F1的可能方向，就以F的矢尖為圓心，以F1大小為半徑，作矢量圓，如圖2所示畫圓，結合三角形定則知道，若有解必會構成封閉的三角形，從而得出有無解及解的個數(shù)。

（1）F1小于Fsinα，圓與F2無交點，所以無解。

（2）F1等于Fsinα，圓與F2相切，所以有一個解。

（3）Fsinα

（4）F1>F，圓與F2也只能交一點，所以有一個解。

例3：把一個已知力F分解，要求其一個分力F1跟F成30°角，而大小未知，另一個分力F2=，但方向未知，則F1的大小可能為（ ）

分析：Fsinα

三、“矢量圓”在力的合成中的運用

運用矢量圓結合力的三角形定則可以分析動態(tài)平衡問題中的夾角的最大值問題。當已知合力F與其中一個分力F1的大小時，若F>F1，則另一個分力F2與合力F的方向間夾角有一最大值。如圖5所示，以F的矢端為圓心，以F1的大小為半徑作圓，當另一個分力F2與圓相切時，F(xiàn)2與合力F的方向間夾角有一最大值θ，滿足sinθ=。

例4：如圖6所示，重為G的小球，用一細線懸掛在點o處，現(xiàn)用一大小恒定的外力F（F

解析：如圖7所示以重力的矢端為圓心，表示外力F大小的線段長為半徑做一圓，根據(jù)力的合成，當繩的拉力和圓相切時，細線拉力的偏角最大如圖6所示，故最大的偏角為sinθ=。拉力的大小為FT=Gcosθ。

通過以上幾例可以看出，矢量問題靈活多變，對于這類問題，若能在解題中巧妙運用矢量圓進行分析，會使問題形象直觀，便于理解，學生易于接受，還能簡化解題過程，提高學生靈活分析和解決問題的能力。

[責任編輯 趙景霞]