馬麗杰

摘 要 本文給出常見的一元函數(shù)求導(dǎo)方法，以便于一些初學(xué)者學(xué)習(xí)領(lǐng)會。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 極限 求導(dǎo)法則

中圖分類號：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

一元函數(shù)求導(dǎo)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，有很多求解的方法和技巧。本文總結(jié)了幾個(gè)常見的求導(dǎo)方法希望對大家有一定的啟示。

1定義法

一些分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要借助于導(dǎo)數(shù)的定義去求解。

例1：求分段函數(shù)在點(diǎn)時(shí)的導(dǎo)數(shù)。

解：因?yàn)辄c(diǎn)x=1是分段函數(shù)的分界點(diǎn)，所以要借助于單側(cè)導(dǎo)數(shù)去求解；

所以-（1）≠+（1），故函數(shù) （x）在點(diǎn)x=1處不可導(dǎo)。

注：設(shè)函數(shù)y= （x）在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)，且（x0）=A的充分必要條件是： （x）在點(diǎn)x=x0處既是左可導(dǎo)的，又是右可導(dǎo)的，且-（x0）=+（x0）=A。

2隱函數(shù)求導(dǎo)法

一般說來，如果在x，y的二元方程中，當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任意值時(shí)，相應(yīng)的總有滿足該方程的一個(gè)值與之對應(yīng)，那么就說該方程確定了y是x的函數(shù)。這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。

例2：求由方程xey y+1=0所確定的隱函數(shù)y=y（x）的一階導(dǎo)數(shù)。

解：方程兩邊對求x導(dǎo)，得：

解出y'，得：

3對數(shù)求導(dǎo)法

對函數(shù)先取自然對數(shù)，通過對數(shù)運(yùn)算法則化簡后，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種求導(dǎo)方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法。

例3：設(shè)y=x3，求y'。

解：先在兩邊取對數(shù)，得：

然后將上式兩邊對x求導(dǎo)，得：

解出y'，便得：

注：冪指函數(shù)的一般形式為y=[u（x）]v（x）（其中，u（x）>0）。若函數(shù)u（x）和v（x）都具有導(dǎo)數(shù)，則可利用對數(shù)求導(dǎo)法來求導(dǎo)。另外，對數(shù)求導(dǎo)法對于由乘、除、開方構(gòu)成的函數(shù)也適用，可簡化求導(dǎo)運(yùn)算。

4參數(shù)方程求導(dǎo)法

一般地，參數(shù)方程可以確定y是x的函數(shù)，就稱作為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。下面我們就推導(dǎo)其導(dǎo)數(shù)公式。

在上式中，如果x= （t）都具有導(dǎo)數(shù)，且 '（t）≠0，x= （t）具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t= -1（x），y是x的復(fù)合函數(shù)，即y= （t），t= -1（x），則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和反函數(shù)求導(dǎo)法則，可得

例4：已知橢圓的參數(shù)方程為，求橢圓在t=處所對應(yīng)的點(diǎn)的切線方程。

解：當(dāng)t=時(shí)，橢圓上相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)是

則在點(diǎn)M處的切線斜率為

因此，切線方程為

對于不同的函數(shù)求導(dǎo)，我們應(yīng)結(jié)合其本身的特點(diǎn)采用合理的方法求解。只有把一元函數(shù)求導(dǎo)的方法靈活掌握才能更好地學(xué)習(xí)后繼的多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊（第二版）[M].北京：同濟(jì)大學(xué)出版社，2014.

[2] 全國高等教育自學(xué)考試指導(dǎo)委員會.高等數(shù)學(xué)（一）[M].北京：高等教育出版社，2013.