周云澤，趙應(yīng)龍（1. 海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，湖北　武漢 430033；2. 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北　武漢 430033）

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簡支截頂圓錐殼固有振動(dòng)特性分析及仿真驗(yàn)證

周云澤1,2，趙應(yīng)龍1,2
（1. 海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，湖北武漢 430033；2. 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430033）

摘要:采用 Donnell 運(yùn)動(dòng)方程和冪級(jí)數(shù)法，計(jì)算兩端簡支的截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下的前 2 階固有頻率，通過數(shù)值計(jì)算和有限元仿真對(duì)比，研究冪級(jí)數(shù)法計(jì)算圓錐殼固有頻率的收斂性和準(zhǔn)確性。此外，分析了殼體參數(shù)對(duì)前 2 階固有頻率的影響。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)法；圓錐殼；固有振動(dòng)特性；仿真

0　引　言

圓錐殼是水下航行器尾部的主要結(jié)構(gòu)形式，對(duì)于圓錐殼振動(dòng)的研究有利于減小水下航行器振動(dòng)和噪聲。L.Tong[1]提出一種冪級(jí)數(shù)的方法，給出各向同性和各項(xiàng)異性圓錐殼的自由振動(dòng)解析解。Mauro Caresta[2]以冪級(jí)數(shù)法為基礎(chǔ)，分析在低頻范圍內(nèi)，截頂圓錐殼在流體負(fù)載條件下的振動(dòng)特性。駱東平等[3]采用遷移矩陣法分析了環(huán)肋圓錐殼的自由振動(dòng)特性。陳美霞[4]分析加肋的圓錐殼在水中的振動(dòng)特性。朱顯明等[5]通過模型試驗(yàn)的方法研究截頂圓錐殼的自由振動(dòng)特性，并綜合相關(guān)文獻(xiàn)，分析殼體參數(shù)改變對(duì)殼體固有頻率的影響。

對(duì)截頂圓錐殼固有振動(dòng)特性的研究，可以了解水下航行器尾部的振動(dòng)模式。本文通過數(shù)值計(jì)算研究了冪級(jí)數(shù)法計(jì)算截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下前兩階固有頻率的收斂性和準(zhǔn)確性，并采用有限元法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。進(jìn)一步討論了殼厚、半錐角以及軸向長度等參數(shù)對(duì)圓錐殼振動(dòng)特性的影響。

1　基本理論

1.1圓錐殼振動(dòng)方程

如圖1 所示，引入（x，θ）坐標(biāo)系，U，V和W 分別表示殼體3個(gè)方向振動(dòng)的位移；圓錐殼小端中面半徑R1；大端中面半徑 R2；軸線方向長度 L；R0為殼體平均半徑；R0處為（x，θ）坐標(biāo)系原點(diǎn)，殼體任一位置處半徑可表達(dá)為

圖1　截頂圓錐殼模型Fig. 1　Truncated conical shell model

由 Donnell 殼體理論，圓錐殼振動(dòng)方程可以表示為[6]

式中：ρ為殼體密度；h為殼厚；ω為殼體振動(dòng)角頻率；Lij為偏微分算子[1]。

由冪級(jí)數(shù)法，可以將方程（2）的解表示為

其中：

n 為殼體周向模態(tài)，am，bm和cm為相應(yīng)的冪級(jí)數(shù)系數(shù)。將式（3）代入式（2）中，根據(jù) x 的同次冪系數(shù)相等，可得到相應(yīng)的遞推公式。由此，冪級(jí)數(shù)的未知系數(shù) am，bm(m ≥ 2) 和 cm(m ≥ 4) 可用8個(gè)系數(shù) a0，a1，b0，b1，c0，c1，c2，c3表示，如式（4）所示。

式（4）中的系數(shù) A(1～8)，B(1～7)和 C(1～15)由殼體參數(shù)和固有頻率所組成[2]。

1.2邊界條件

本文考慮簡支邊界條件，即 V = W = Nx= Mx= 0，其中 Nx為殼體母線方向的薄膜力，Mx為彎矩。

以 X = [a0，a1，b0，b1，c0，c1，c2，c3]T作為待求向量，可以得到形如 DX = 0 的矩陣方程，其中 D 為系數(shù)矩陣，令系數(shù)矩陣的行列式為 0，可得到固有頻

率[7–8]。

2　數(shù)值計(jì)算和有限元仿真

本文的圓錐殼模型參數(shù)如下：大端中面半徑 R2= 0.548 m；小端中面半徑 R1= 0.233 m；殼厚 h = 0.002 m；軸線方向長度 L = 1 m；楊氏模量 E = 2.1 × 1011N/m2；泊松比 μ = 0.3；密度 ρ = 7 800 kg/m3。

2.1數(shù)值計(jì)算

通過 Matlab 編制程序，計(jì)算以上模型在不同周向模態(tài) n 下的前兩階固有頻率，m 取不同值時(shí)，計(jì)算結(jié)果如表 1和表 2所示。

表1　各階周向模態(tài)下第 1 階固有頻率（Hz）Tab. 1　The first natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

m 值越大，冪級(jí)數(shù)法計(jì)算的固有頻率值越準(zhǔn)確[1]，為確定得到足夠精度結(jié)果時(shí) m 的最小值，對(duì)各階周向模態(tài) n 下，不同 m 值的固有頻率值做多項(xiàng)式擬合，擬合曲線在 m 處的斜率為 k(n,j,m)，其中 n = 1～Nj為周向模態(tài)數(shù)，j = 1，2 為前 2 階固有頻率。其均方根 Δk為

在 m = 11 時(shí)，Δk= 0.8，可見此時(shí)各條曲線斜率已近似為0，表明結(jié)果已收斂。為方便計(jì)算，本文引入不同周向模態(tài) n 下相鄰 m 值的固有頻率之差的均方根Δ，即

表2　各階周向模態(tài)下第二階固有頻率（Hz）Tab. 2　The second natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

其中 x(n,j,m)為周向模態(tài) n 下第 j 階固有頻率在 m 處的值，m = 0，1，2，…

Δk和 Δ 正相關(guān)，以均方根 Δ 判斷計(jì)算結(jié)果的收斂性。在 m = 11 時(shí)，均方根 Δ = 16.5，因此，若均方根 Δ ≤16.5 時(shí)，計(jì)算結(jié)果可達(dá)到收斂。

2.2有限元仿真

有限元仿真過程，在 Ansys 軟件中采用 shell63 單元建立圓錐殼模型，劃分網(wǎng)格后，進(jìn)行模態(tài)分析。前2階固有頻率仿真結(jié)果見表 3。圖2 和圖3 分別給出了周向模態(tài) n = 3 和 n = 5 時(shí)的前 2 階模態(tài)結(jié)果。

圖4 是 m = 11 時(shí)固有頻率的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果對(duì)比圖，從圖4 中可以看出兩者十分接近。此時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果的均方根為 16.5。

表3　各階周向模態(tài)下前兩階固有頻率仿真結(jié)果（Hz）Tab. 3　The simulation results of the first two natural frequencies under each circumferential mode number（Hz）

由此可見，冪級(jí)數(shù)法計(jì)算簡支截頂圓錐殼各階周向模態(tài)下前 2 階固有頻率，在均方根小于 16.5 時(shí)其結(jié)果比較準(zhǔn)確。下文均以此作為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)。

圖2　周向模態(tài) n = 3 時(shí)模態(tài)Fig. 2　Mode of circumferential mode number n = 3

圖3　周向模態(tài) n = 5 時(shí)模態(tài)Fig. 3　Mode of circumferential mode number n = 5

圖4　數(shù)值仿真與有限元仿真結(jié)果對(duì)比Fig. 4　Contrastingresults of numerical calculation and the finite element simulation

3　殼體參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

本文考慮了殼厚、半錐角以及軸向長度等因素對(duì)圓錐殼固有頻率的影響。

3.1殼厚對(duì)固有頻率的影響

如圖5（a）所示，考慮殼厚對(duì)固有頻率的影響。m = 11，Δ = 23.5；m = 12，Δ = 13.6。可見 m = 12 時(shí)結(jié)果已收斂。如圖6 所示，殼厚增大，簡支圓錐殼的前2階固有頻率總體表現(xiàn)為增大。周向模態(tài) n = 1～3 時(shí)，殼厚對(duì)前2階固有頻率影響不大，周向模態(tài) n = 4～9時(shí)，殼厚越大，對(duì)固有頻率的影響越大。

3.2半錐角及軸向長度對(duì)固有頻率的影響

如圖5（b）所示，考慮半錐角對(duì)固有頻率的影響。m = 11，Δ = 27.0；m = 12，Δ = 11.3。可見 m = 12時(shí)結(jié)果已收斂。從圖7 中可以看出，隨半錐角減小，固有頻率增大，并且在周向模態(tài)數(shù)較低時(shí)，半錐角對(duì)固有頻率的影響比較明顯。

圖5　殼體參數(shù)改變圖Fig. 5　The diagram of shell parameters change

圖6　殼厚對(duì)固有頻率的影響Fig. 6　The effects ofthickness on the natural frequencies

圖7　半錐角對(duì)固有頻率影響Fig. 7　The effects of semi-cone angle on the natural frequencies

如圖5（c）所示，考慮軸向長度對(duì)固有頻率的影響。m = 12，Δ = 19.8；m = 13，Δ = 12.0。可見 m = 13時(shí)結(jié)果已收斂。從圖8 中可以看出，隨軸向長度減小，固有頻率增大，并且與圖7 情況類似，在周向模態(tài)數(shù)較低時(shí)，軸向長度對(duì)固有頻率的影響比較明顯。

如圖5（d）所示，同時(shí)考慮半錐角和軸向長度的影響。m = 11，Δ = 29.2；m = 12，Δ = 14.2?？梢?m = 12 時(shí)結(jié)果已收斂。如圖9 所示，從圖中可以看出，當(dāng)半錐角 α 增大，殼體軸向長度 L 減小時(shí)，前2階固有頻率整體表現(xiàn)為增大，可見該過程中，與半錐角的影響相比較，軸向長度對(duì)固有頻率的影響更大。另外，與圖7 和圖8 的情況類似，在周向模態(tài)數(shù) n 較小時(shí)，兩者對(duì)固有頻率的影響較大。

圖8　軸向長度對(duì)固有頻率影響Fig. 8　The effects of axial length on the natural frequencies

圖9　半錐角及軸向長度對(duì)固有頻率影響Fig. 9　The effects ofsemi-cone angle andaxial length of conical shells on the natural frequencies

4　結(jié)　語

本文為研究冪級(jí)數(shù)法計(jì)算簡支截頂圓錐殼前2階固有頻率，得到準(zhǔn)確結(jié)果時(shí)，m 取的最小值，提出以均方根作為收斂性的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。進(jìn)一步研究了殼體參數(shù)對(duì)固有頻率的影響。均方根標(biāo)準(zhǔn)的提出，在保證準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)上，減少了計(jì)算固有頻率的時(shí)間，提高了效率。分析殼體參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，可指導(dǎo)殼體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，避免殼體發(fā)生共振。

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The natural vibrational characteristics of simply supported truncatedconical shells and the simulation verification

ZHOU Yun-ze1,2, ZHAO Ying-long1,2
(1. Institute of Noise and Vibration, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. National Key Laboratory on Ship Vibration and Noise, Wuhan 430033, China)

Abstract:With Donnell equations of motion and power series method applied, the first two natural frequencies of the truncated conical shells simply supported at its ends under each circum ferential mode number are calculated. By contrasting results of numerical calculation and the finite element simulation, the convergence and accuracy of power series method are investigated in calculating natural frequencies of the conical shells. In addition, the effects of parameters of conical shells on the first two natural frequencies are analyzed.

Key words:power series；conical shells；natural vibrational characteristics；simulation

作者簡介：周云澤(1990–)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)檎駝?dòng)與噪聲控制。

基金項(xiàng)目：海軍工程大學(xué)自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(HGDKYJGZX15021)

收稿日期：2015–06–03； 修回日期：2015–06–12

文章編號(hào)：1672–7619(2016)03–0045–05

doi：10.3404/j.issn.1672–7619.2016.03.010

中圖分類號(hào)：U661.44；O327

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A