淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　　張　昆　　(郵編：235000)

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論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的心理取向

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院張昆(郵編：235000)

依照自由主義思想，人都是理性與經(jīng)濟(jì)的，時(shí)時(shí)處處為自已著想，由此，自我意識(shí)、本體思想充斥人的內(nèi)心中.由于邏輯思維方式是數(shù)學(xué)的本質(zhì)性思維方式，數(shù)學(xué)教科書的部分編者與全體數(shù)學(xué)教師在入職前都受到了邏輯思維的長(zhǎng)期訓(xùn)練，他們已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯發(fā)生了若指掌.因此，他們?cè)谔幚斫滩呐c學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的關(guān)系時(shí)，就有可能形成教師“自我中心”的偏向：重視數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯過程，輕視學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理過程.“自我中心”意指一個(gè)人只從自己所處的位置來看世界，唐納德遜指出：“對(duì)一件事情知道得越清楚，那么根據(jù)自己的知識(shí)而自我中心地行動(dòng)的危險(xiǎn)性也就越大.因此，至少在這方面，教師與學(xué)生之間的差距越大，教學(xué)就越難適應(yīng)于學(xué)生心理需求”.[1]本文對(duì)此加以分析.

1教師“自我中心”對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的影響

教師的“自我中心”傾向，造成了實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向基本上偏向了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯過程，而避離了學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理過程.如此，許多教育工作者(也包括非教育工作者)長(zhǎng)期受到這種觀念的“濡化”，使數(shù)學(xué)教育過分強(qiáng)調(diào)客觀知識(shí)的力量，誤以為：通過教育，客觀邏輯化了的數(shù)學(xué)知識(shí)最終可以轉(zhuǎn)化為受教育者個(gè)性的優(yōu)良行為與崇高品德，都可以轉(zhuǎn)化為提升受教育者精神境界與思維的創(chuàng)造性，都可以轉(zhuǎn)化為促進(jìn)個(gè)體對(duì)自己與社會(huì)的責(zé)任感與使命感等內(nèi)隱層面上的數(shù)學(xué)教育目標(biāo).

這種觀念的蔓延對(duì)數(shù)學(xué)教育價(jià)值的發(fā)揮極其不利，它把知識(shí)的發(fā)生與主體的心理發(fā)展割裂開來，認(rèn)為只要將知識(shí)裝入主體的這層“皮囊”，就能提升他們的精神品格.要突破這種觀念的束縛，就要認(rèn)識(shí)到客觀知識(shí)促人發(fā)展的有用性是有條件的，這些條件在于如何通過數(shù)學(xué)教育，將這種客觀知識(shí)作用于人的精神結(jié)構(gòu)，深入到人的心靈深處，從而對(duì)人的一系列的心理特征萌生與發(fā)展施加積極影響.這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，有意識(shí)地選擇合理的設(shè)計(jì)路線.對(duì)于此，我們研究的結(jié)果是：依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯線索，偏向于重視主體數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的心理過程，將二者進(jìn)行整合，形成教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)，促成數(shù)學(xué)教育高層次目標(biāo)的發(fā)生.

數(shù)學(xué)教育的高層次目標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須要作用于學(xué)生的心靈：完善意識(shí)結(jié)構(gòu)，提升精神品格.這一切，要求學(xué)生伴隨著發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的同時(shí)，心理的某些優(yōu)秀特質(zhì)得以不斷地生長(zhǎng)與磨礪，組織這些特質(zhì)解決問題的動(dòng)態(tài)性經(jīng)驗(yàn)不斷得以積累與綜合，經(jīng)由這些特質(zhì)的連結(jié)與組合而生成的觀念不斷得以運(yùn)動(dòng)與重組，并在這觀念的運(yùn)動(dòng)與重組的過程中吸納新材料形成再生性的觀念.奧古斯丁說：“精神存在的持續(xù)寓于意識(shí)的內(nèi)容總體或可再生的觀念之中；觀念所帶動(dòng)的精神運(yùn)動(dòng)和精神活力體現(xiàn)于這些因素在判斷時(shí)進(jìn)行結(jié)合與分離的過程中”.[2]正是這種“再生性”觀念真正使學(xué)生的精神資質(zhì)得以運(yùn)動(dòng)與協(xié)調(diào)，意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造性得以生成與發(fā)展，“思維的能產(chǎn)性”[3]得以形成與發(fā)展.

2探究發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理過程

思維活動(dòng)經(jīng)歷了怎樣的活動(dòng)過程，從解決數(shù)學(xué)問題中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的呢？我們經(jīng)過反思自己發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的過程，獲得這樣的啟示：當(dāng)面臨數(shù)學(xué)問題時(shí)，問題所提供的一鱗半爪的孤立信息可能對(duì)問題的解決幫助甚微，這就需要將這些分散的信息組織起來使其形成關(guān)聯(lián).在形成關(guān)聯(lián)的過程中，又絕非問題所提供的這些外在信息在心里進(jìn)行粗放式疊加，而必須深入到主體思維活動(dòng)中，經(jīng)由意識(shí)機(jī)能的“工作臺(tái)”進(jìn)行鍛造，給外在的具體材料打上“人”的精神的印記，由此來組織、調(diào)整、重組，甚至于進(jìn)行構(gòu)造等活動(dòng)，主體思維在這種探究的過程獲得了磨練.此時(shí)，精神活動(dòng)的載體——數(shù)學(xué)觀念在組織外在問題所提供的信息過程中，發(fā)揮的作用中至關(guān)重要，它是作用于意識(shí)之外的物質(zhì)性材料(而非經(jīng)由邏輯加工好了的材料)的“工作臺(tái)”，它整合著面臨的各種數(shù)學(xué)問題信息.

這種整合的過程可以如此近似地描述：主體已經(jīng)預(yù)先(通過遺傳或者先前的學(xué)習(xí)，柏拉圖在《枚農(nóng)》篇中，通過蘇格拉底與牧農(nóng)的對(duì)話，認(rèn)為許多知識(shí)是與生俱來的[4])掌握了不少數(shù)學(xué)知識(shí)，并形成了它們各自的結(jié)構(gòu)框架，這些結(jié)構(gòu)框架構(gòu)成了組織新信息的“凝聚核”，從而形成了解決新的數(shù)學(xué)問題的工具.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)就是不斷地在意識(shí)結(jié)構(gòu)中增加這些工具，作為觀念儲(chǔ)存在我們的記憶庫(kù)中.但僅有這些工具還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，更為重要的是，對(duì)具體數(shù)學(xué)問題，如果意識(shí)結(jié)構(gòu)中沒有信手拈來的整理外在信息的“凝聚核”時(shí)，如何改造記憶庫(kù)中已經(jīng)存儲(chǔ)的離套用外在信息較遠(yuǎn)的“凝聚核”，或者干脆制造出新的“凝聚核”作成框架來作用于面臨的外在信息？這就促成意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造性，形成“思維的能產(chǎn)性”的關(guān)鍵所在.

當(dāng)我們面臨數(shù)學(xué)問題時(shí)，一般情況下，對(duì)于受教育者而言，相對(duì)來說問題所提供的信息雜亂無章，不是輕而易舉就能理出頭緒的.于是，要達(dá)到真正地解決問題，就必須經(jīng)由意識(shí)機(jī)能的過濾、比較、辨別，從中選擇出一項(xiàng)，或幾項(xiàng)的關(guān)聯(lián)作為支點(diǎn)信息，并且依據(jù)這一支點(diǎn)信息，在記憶庫(kù)的眾多知識(shí)框架中大致地選擇出某一“知識(shí)框架”作為套用支點(diǎn)式信息的“凝聚核”，將其他諸多信息吸附到這個(gè)“凝聚核”的周圍，意識(shí)機(jī)能再對(duì)其進(jìn)行調(diào)整與排列等運(yùn)作，使外在于主體的信息構(gòu)成一種不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)輪廓.意識(shí)機(jī)能又通過自己的監(jiān)控系統(tǒng)，對(duì)由于自己的工作所選擇出來的結(jié)構(gòu)輪廓進(jìn)行評(píng)價(jià)、判斷，最終將外在問題提供的支點(diǎn)信息生成的結(jié)構(gòu)輪廓，與主體所選擇出作為“凝聚核”的記憶庫(kù)知識(shí)框架之間的相關(guān)元素進(jìn)行對(duì)比、比較，試圖匹配(如圖1所示).

圖1　數(shù)學(xué)思維活動(dòng)框架圖

由此可知，數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性在于它提供了解決問題的框架——組織外在信息的“凝聚核”——解決問題的工具.但是，我們知道，工具是客觀的、物質(zhì)性的材料，它不能自行地直接作用于問題.這些可套用外在信息的知識(shí)框架的“凝聚核”是人的意識(shí)機(jī)能的產(chǎn)物，就是說，在解決面臨的數(shù)學(xué)問題時(shí)，意識(shí)機(jī)能始終處于激活的狀態(tài)，具有能動(dòng)性的一面，它不斷地對(duì)已經(jīng)具有的工具進(jìn)行組合、調(diào)整與重組，使之變成適應(yīng)性更廣泛，使用更方便，或者直接創(chuàng)造出全新的工具.例如，加羅華引進(jìn)了“置換群(加羅華群)”這一工具徹底解決了高次(五次或五次以上)方程根式解不存在的論斷，這完全是意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造性發(fā)揮的產(chǎn)物，并不是加羅華對(duì)前人所獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)的累加而自然產(chǎn)生了這一論斷.

數(shù)學(xué)教學(xué)正是在主體的精神資質(zhì)的創(chuàng)造性獲得套用外在信息的“知識(shí)框架”過程中，促成了數(shù)學(xué)教育高層次目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).就是說，經(jīng)由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，活化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，發(fā)揮意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造性，實(shí)現(xiàn)“思維的能產(chǎn)性”，提升學(xué)生的精神品格，即在改造客觀世界的同時(shí)，也改造著主觀世界.

嚴(yán)群如此論述心物二元性之間的關(guān)系，“心好比工匠，物好比材料，材料是已有的，工匠用他心中的計(jì)劃，把材料組織起來而成器皿；有工匠，無材料，工匠莫能施其計(jì)，有材料，無工匠，材料不能自成器皿，所以雜亂無章，混然一團(tuán)的物種必須有心把它們整理起來，才成宇宙萬物，心也必須有物種，才能實(shí)現(xiàn)它的條理與功用”.[5]人通過發(fā)揮自己的意識(shí)機(jī)能，或思維能力揭示出了物質(zhì)內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)掘了物質(zhì)的有用性.也正是在這種創(chuàng)活動(dòng)之中，激活了精神本體潛存的優(yōu)秀特質(zhì)，提升了自己的精神品格.而就數(shù)學(xué)教育意義而言，這種追求物質(zhì)的有用性至多只是一種副產(chǎn)品，更為重要的結(jié)果是促成主體的意識(shí)結(jié)構(gòu)自身的優(yōu)化.

我們觀察數(shù)學(xué)史中所出現(xiàn)的事實(shí)：“圓錐曲線的發(fā)明為的是要解決祈禱神壇的加倍問題，結(jié)果卻變成了諸行星繞太陽環(huán)行的軌道.卡爾丹和邦別利所發(fā)明的虛數(shù)數(shù)量，能夠奇怪地描繪出交流電的特點(diǎn).黎曼的幻想所產(chǎn)生出來的絕對(duì)微積分，變成了相對(duì)論的數(shù)學(xué)方法.而在凱雷和西爾維斯特時(shí)代完全是抽象的矩陣，卻可驚奇地適用于由量子論所揭示出的原子的奇異位置.”[6]這些都是先在數(shù)學(xué)家的意識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能中進(jìn)行了形式化的創(chuàng)造，再將其應(yīng)用到了具體的物理實(shí)踐中去，這就是數(shù)學(xué)家在無意識(shí)中所創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)模式給探究客觀世界提供了框架，突出了數(shù)學(xué)的有用性層次.

數(shù)學(xué)家承認(rèn)，他的行業(yè)根基的獨(dú)創(chuàng)技能，來源于感覺印象，他把這種感覺印象等同于原始實(shí)在，當(dāng)他有時(shí)發(fā)現(xiàn)這些技能和產(chǎn)生此技能的實(shí)在十分吻合時(shí)，他并不感到奇怪.但是，數(shù)學(xué)家拒絕承認(rèn)用這種吻合作為其成就的判斷準(zhǔn)則：從他的創(chuàng)造性想象中跳出來的東西，其價(jià)值是不能在物理實(shí)在性中使用程度的有效性來衡量的.雖然如此，形成的令人驚奇的事實(shí)是，盡管數(shù)學(xué)知識(shí)純粹為精神的創(chuàng)造物，為什么卻是如此地富有成效？盡管數(shù)學(xué)具有建構(gòu)的特性，這可能成為不合理性產(chǎn)生的根源，但為什么數(shù)學(xué)仍然具有必然性從而保證著恒常的嚴(yán)格性呢？盡管數(shù)學(xué)只有演繹的性質(zhì)，那為什么卻跟經(jīng)驗(yàn)或物理現(xiàn)實(shí)是一致的呢[7](讀者注意后文有黑格爾與謝林的解釋)？

這就充分證實(shí)了我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)的，就教育意義而言，數(shù)學(xué)知識(shí)只是利用其作為優(yōu)化意識(shí)機(jī)能，發(fā)展思維能力，進(jìn)而提升學(xué)生的精神品格的物質(zhì)性載體.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的要旨在于，如何通過數(shù)學(xué)知識(shí)的這種載體，拔高人的精神資質(zhì)的創(chuàng)造性，追求人的心靈的完整，達(dá)成由人的軀體所承載的精神與外在于精神的物質(zhì)這兩者之間的協(xié)調(diào)與和諧，從而洞明作為個(gè)體對(duì)自然與社會(huì)的責(zé)任感與使命感，進(jìn)而形成高尚的人格與崇高的品德.這些高層次數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)都是數(shù)學(xué)教育義不容辭的責(zé)任，數(shù)學(xué)教育工作者自身必須要提升自己的精神境界，才能適應(yīng)數(shù)學(xué)教育的這種高層次目標(biāo)的需要，而不僅僅只是傳授數(shù)學(xué)客觀知識(shí)的邏輯過程.

為了比較清楚地說明數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的內(nèi)在精神過程，依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯發(fā)生的過程，通過數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)達(dá)到促進(jìn)學(xué)生精神資質(zhì)的創(chuàng)造性，我們舉一個(gè)具體的例子(僅僅只是為了說明問題的例子)加以說明：

①

②

這里的關(guān)系式②就形成了套用恒等式①左邊的知識(shí)框架，它是解決這一問題的有效工具.它的得來是在主體已經(jīng)形成數(shù)列概念的作用下(讀者注意后面進(jìn)一步的說明)，抓住了①式的左邊所有項(xiàng)的相似結(jié)構(gòu)的外在信息，決定將通項(xiàng)進(jìn)行變換，獲得了公式②這一“凝聚核”，以此套用到恒等式①左邊的所有項(xiàng)中去，構(gòu)造出了利于計(jì)算的一種新結(jié)構(gòu)解決問題.

由于主體懷有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的不同，對(duì)于這種知識(shí)結(jié)構(gòu)與性質(zhì)的解釋也不相同，形成了主體的數(shù)學(xué)觀念的多樣性，這種多樣性對(duì)主體解決問題時(shí)意識(shí)技能的活動(dòng)提出了較高的要求，它在面臨問題時(shí)，必須要經(jīng)由選擇的“凝聚核”，以此來生成外在信息的結(jié)構(gòu)輪廓，而不存在唯一的放之四海而皆準(zhǔn)的“知識(shí)框架”，形成了由觀念所組織成的結(jié)構(gòu)輪廓的不穩(wěn)定性，即作成結(jié)構(gòu)輪廓的支點(diǎn)信息可以調(diào)整與更換.如果結(jié)構(gòu)輪廓與知識(shí)框架匹配不成功，就應(yīng)該更換支點(diǎn)信息，重新選擇新的知識(shí)框架，又由于觀念使用的是表征實(shí)體性的符號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行整理材料的運(yùn)作，這就是觀念的去實(shí)體性(物質(zhì)虛空性)——只是利用物質(zhì)的符號(hào)所形成的概念進(jìn)行(非實(shí)體)的精神活動(dòng)，而摒棄了外在物質(zhì)性實(shí)體設(shè)置在我們的感官面前的重重障礙.于是，外在信息在觀念這一“工作臺(tái)”中就極容易通過想象、聯(lián)想等意識(shí)機(jī)能的發(fā)揮，比較自由地進(jìn)行組合，調(diào)整與重組，將外在信息構(gòu)成新的結(jié)構(gòu)輪廓，進(jìn)行新一輪的運(yùn)轉(zhuǎn)，以此循環(huán)往復(fù)，直到知識(shí)結(jié)構(gòu)框架對(duì)外在問題信息在觀念提供的“凝聚核”中所作成的結(jié)構(gòu)輪廓的適應(yīng)為止.對(duì)于數(shù)學(xué)觀念的作用，讓我們體會(huì)黑格爾與謝林的精辟論述.

黑格爾說：“在意識(shí)里發(fā)生于自我的對(duì)象的實(shí)體之間的非同一性, 就是它們兩者的差別，一般的否定性.我們可以把否定性視為兩者的缺陷，但它實(shí)在是兩者的靈魂和推動(dòng)者.正是因?yàn)檫@個(gè)理由，有些古代哲學(xué)家曾把空虛理解為推動(dòng)者，他們誠(chéng)然已經(jīng)知道推動(dòng)者是否定的東西，但還沒有了解它就是自身.如果這個(gè)否定性首先只表現(xiàn)為自我與對(duì)象之間的非同一性，那么它也是實(shí)體對(duì)它自己的非同一性.看起來似乎是在實(shí)體以外進(jìn)行的，似乎是一種指向?qū)嶓w的活動(dòng), 事實(shí)上就是實(shí)體自己的行動(dòng)，實(shí)體因此表明它自己本質(zhì)上就是主體.當(dāng)實(shí)體已完全表明自己就是主體的時(shí)候，精神也就使它的具體存在與它的本質(zhì)相同一了，它既是它自己又是它的對(duì)象，而知識(shí)與真實(shí)性之間的直接性和分裂性，使已經(jīng)具有了的那種抽象因素被克服了.存在于是排除掉了絕對(duì)的中介而成了實(shí)體性的內(nèi)容，它同樣是自我的財(cái)產(chǎn)，是自身性的，或者說，就是概念”[9].

謝林更辨證地指出，“觀念的活動(dòng)是作為什么被固定下來.就觀念活動(dòng)一般地被固定下來而言，它就不再是純粹的活動(dòng).它在統(tǒng)一行動(dòng)內(nèi)是同那種在界限以內(nèi)受到阻滯的活動(dòng)對(duì)立起來，因此就被理解為被固定下來的活動(dòng)，不過是被理解為和現(xiàn)實(shí)的自我對(duì)立的活動(dòng).就觀念活動(dòng)被理解為被固定下來的而言，它就得到了一個(gè)觀念的基礎(chǔ)，就其被理解為是和現(xiàn)實(shí)的自我對(duì)立的活動(dòng)而言，它本身就成了現(xiàn)實(shí)的活動(dòng)，成了某種同現(xiàn)實(shí)的自我現(xiàn)實(shí)地對(duì)立的東西的活動(dòng)”[10].

這說明數(shù)學(xué)所構(gòu)成的模式對(duì)物理世界構(gòu)成如此的有效性的原因，那就是觀念活動(dòng)與現(xiàn)實(shí)活動(dòng)是同構(gòu)的，兩者其實(shí)是同一的，而由于觀念剝離了事實(shí)特性的重重障礙，更易于促成精神資質(zhì)(想象，聯(lián)想，直覺等)創(chuàng)造性作用的發(fā)揮，因?yàn)樗窃跊]有任何阻礙的、虛空的精神空間中進(jìn)行自由的結(jié)合與離散，從而獲得了極大的自由.彭加勒說：“在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少，人類精神所起的作用，或者只是自行起作用和按照自己的意志起作用”[11].這也說明數(shù)學(xué)教育對(duì)主體的意識(shí)機(jī)能發(fā)展，人性能力展開的作用巨大.

如在問題1中，對(duì)于恒等式①的證明，有的同學(xué)在試圖處理通項(xiàng)過程中，出現(xiàn)了麻煩，他們一時(shí)沒有得到公式②這種“凝聚核”，就不能將外在信息構(gòu)建成有效的結(jié)構(gòu)輪廓.他的意識(shí)機(jī)能中的監(jiān)控結(jié)構(gòu)要求他停止進(jìn)一步的試探，同時(shí)，選擇與調(diào)用其他的觀念：如他可能得到的“凝聚核”是與“正整數(shù)”有關(guān)的命題的解法的觀念，他就會(huì)試圖采用“數(shù)學(xué)歸納法”來解題，于是，“數(shù)學(xué)歸納法”就構(gòu)成了組織問題所提供的信息，證明恒等式①的“凝聚核”.

那么，在意識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能中，這種“凝聚核”的知識(shí)框架究竟起源于何處？設(shè)若這種知識(shí)結(jié)構(gòu)框架所形成的鏈條無限后退，結(jié)果就必然要有一個(gè)最初的知識(shí)框架(“凝聚核”)來套用他所面臨的最初的問題，這個(gè)最初的“凝聚核”從何而來？是先天賦予的，還是后天習(xí)得的？它已經(jīng)涉及到了一個(gè)很深的哲學(xué)問題，通俗地說，這就是“先有雞還是先有蛋？”的問題.這個(gè)哲學(xué)問題就是橫貫古今的知識(shí)發(fā)生，即主體知性產(chǎn)生的“兩難問題”.對(duì)于現(xiàn)代人來說，柏拉圖對(duì)知識(shí)發(fā)生“兩難問題”的解決似乎太富幻想性，而顯得難于接受，但是，他用以逃避循環(huán)論證的原則至今仍然有效.他所采取的原則是：“知識(shí)是天賦的，當(dāng)人誕生時(shí)，知識(shí)已經(jīng)被安置在人的心靈之中了”(或請(qǐng)讀者閱讀引文[4])[12].

3數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)心理取向及其實(shí)現(xiàn)

我們不去討論是我們遺傳基因提供了先天的知識(shí)框架(“凝聚核”)呢？還是感官的通道對(duì)外在的知覺的不斷積累，經(jīng)由意識(shí)機(jī)能長(zhǎng)期醞釀而得到了這一框架呢？重要的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，當(dāng)學(xué)生面臨數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果他找不到現(xiàn)成的、可套用外在信息的知識(shí)框架，那么，是教師將這種作為“凝聚核”的知識(shí)框架直接提供給學(xué)生呢？還是讓學(xué)生從自己意識(shí)機(jī)能中創(chuàng)造性地構(gòu)建出知識(shí)框架，以此來套用問題提供的信息，從而使那些問題所設(shè)定的分散的信息構(gòu)成相對(duì)有序的結(jié)構(gòu)輪廓呢？如何回答這一問題，對(duì)能否發(fā)揮利用數(shù)學(xué)資源的教育價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育高層次目標(biāo)影響巨大且至關(guān)重要.例如，對(duì)于問題1所提供的邏輯過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師如何處理好關(guān)系式②，是將其直接給予學(xué)生呢？還是讓學(xué)生通過運(yùn)作自己的精神資質(zhì)自行地創(chuàng)造出來呢？

從教育的本質(zhì)要義上說肯定是選擇后者(數(shù)學(xué)新課程理念也是如此)，因?yàn)?，它是真正的發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程，也是發(fā)揮意識(shí)機(jī)能創(chuàng)造性的緊要之處，只有如此，才能使數(shù)學(xué)教育資源深入到主體的精神層次，觸及到學(xué)生的靈魂.然而，在實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)中，如果對(duì)于每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都讓學(xué)生如此創(chuàng)造性地生成，既不現(xiàn)實(shí)，也無必要.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何既使數(shù)學(xué)知識(shí)自主流暢地發(fā)生，即在課堂教學(xué)中，講究知識(shí)發(fā)生的效率，同時(shí)，教師又不至于直接將這種組織外在信息的知識(shí)框架直接“奉獻(xiàn)”給學(xué)生，在知識(shí)發(fā)生的主體部分上促進(jìn)學(xué)生意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造性呢？這就要在教學(xué)設(shè)計(jì)中，處理好邏輯取向與心理取向的關(guān)系，使它們兩者之間達(dá)到一種平衡.

我們的長(zhǎng)期教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo)應(yīng)該設(shè)置成借助于數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯線索，導(dǎo)向于學(xué)生知識(shí)發(fā)生的心理過程，將這兩者結(jié)合起來，既講究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率，又不失通過課堂教學(xué)促進(jìn)意識(shí)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)造性.如此，就要求教師在教學(xué)中與學(xué)生進(jìn)行“心理換位”.所謂“心理換位”，就是教師對(duì)學(xué)生的知識(shí)發(fā)生心理過程感同身受，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)身處地地站在學(xué)生的立場(chǎng)上，摹仿學(xué)生的心理去探尋與獲取知識(shí).教師把自己設(shè)想成學(xué)生，體會(huì)學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，現(xiàn)實(shí)思考問題的方式、解決問題的能力，處理問題的心理活動(dòng)意向等等.教師要將自己在施教某一知識(shí)之后所獲得的東西(知識(shí)、思維能力、心理意向等)假想成一無所知，以此來揣摩學(xué)生知識(shí)的心理發(fā)生過程.如此，就會(huì)深切體會(huì)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)的心理過程，即深切體會(huì)選擇或構(gòu)建知識(shí)框架時(shí)的深陷重圍的痛楚，舉步維艱的困惑，欲行又止的難局，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)出利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).

如果教師不能與學(xué)生進(jìn)行“心理換位”，不設(shè)身處地地置于學(xué)生的心理立場(chǎng)上思考問題，就有可能只關(guān)注知識(shí)的邏輯發(fā)生過程，而忽略學(xué)生知識(shí)發(fā)生的心理過程.在實(shí)際教學(xué)中，我們常常經(jīng)歷到如此場(chǎng)景：教師講得神采飛揚(yáng)，學(xué)生聽得愁眉苦臉，這就是出于教師只講知識(shí)的邏輯程序，而沒有考慮到學(xué)生的心理需求.這種課堂教學(xué)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的根源在于，教師只見知識(shí)不見“人”，他把構(gòu)建外在信息的“凝聚核”的意識(shí)機(jī)能的創(chuàng)造過程完全舍棄了，而是將知識(shí)發(fā)生過程中整理好的邏輯捷徑“下載”給學(xué)生，這就迫使學(xué)生通過記憶與機(jī)械訓(xùn)練來發(fā)生知識(shí)，而這種發(fā)生知識(shí)的方式只要求學(xué)生的感官的介入，就能解決問題.使得數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程觸及不到學(xué)生的靈魂深處.

還是以問題1為例，我們給出的恒等式①的證明過程就是典型的知識(shí)邏輯發(fā)生的過程，如此設(shè)計(jì)，就是教師將關(guān)系式②這種外在信息的“凝聚核”直接地“奉獻(xiàn)”給學(xué)生.于是，通過教師的教學(xué)，學(xué)生只是記住了這種數(shù)學(xué)知識(shí)，而非從心理上發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí).因?yàn)椋鉀Q問題的過程沒有經(jīng)過意識(shí)機(jī)能的“工作臺(tái)”的鍛造，即學(xué)生意識(shí)結(jié)構(gòu)的深層次功能在問題解決中沒有發(fā)生作用，達(dá)不到優(yōu)化學(xué)生意識(shí)結(jié)構(gòu)的目的.

要知道，“邏輯是論題的一種屬性，并非精神過程的屬性，而猜測(cè)與探究不論在心算中還是在創(chuàng)造性思維中都是最本質(zhì)的東西”.[13]于是，這種教學(xué)失去了磨練意識(shí)機(jī)能創(chuàng)造性的機(jī)會(huì)，就摒棄了數(shù)學(xué)教育的本真意義.對(duì)此，我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，作怎樣的處理才能使數(shù)學(xué)知識(shí)的高層次教育價(jià)值得到體現(xiàn)，這就要考慮對(duì)公式②的得來作出符合學(xué)生知識(shí)發(fā)生的心理意義上的解釋，這是教師處理數(shù)學(xué)知識(shí)的能力所在，也是教師教學(xué)的創(chuàng)造性所在，他要求從知識(shí)的邏輯發(fā)生過程中，模擬出知識(shí)發(fā)生的心理過程，即將數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯過程賦予以可操作的物性序列，以此給數(shù)學(xué)知識(shí)賦予學(xué)生可以理解的心理意義.

這給數(shù)學(xué)教師提出了極高的要求，課堂教學(xué)時(shí)間有限，教師不能讓學(xué)生無時(shí)間限制地去獨(dú)立構(gòu)造這種套用問題提供的信息的“知識(shí)框架”，因?yàn)?，許多學(xué)生終其一生也未必能夠構(gòu)造出一種某一具體問題的“知識(shí)框架”.這就形成了一種“兩難處境”，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師如何求得“供給”與“創(chuàng)造”這兩者的平衡，這已經(jīng)成了一個(gè)新的課題，它沒有固定的方法，只有教師仔細(xì)分析數(shù)學(xué)知識(shí)特性，準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，特別是保持對(duì)后者的警惕，將這兩者有效地結(jié)合起來，針對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題，開拓出具體的方法.

作者從學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)出發(fā)，提供針對(duì)問題1在安徽省廬江中學(xué)所上的一節(jié)示范課的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的片段實(shí)錄(這是廬江二中艾學(xué)宏老師所作的記錄，進(jìn)入本文時(shí)，作者進(jìn)行了整理)，以期拋磚引玉，求教于同行.

生：議論紛紛(提出了許多方案，但大多數(shù)都是直接給出了恒等式②，在學(xué)生所給的這些方案中，教師沒有尋找出一種合理的、有利于構(gòu)造知識(shí)“凝聚核”的心理解釋).

師(給出一種合理的心理解釋，當(dāng)然還可以有其他的心理解釋，不同的教師可以有不同設(shè)計(jì))：③式的分母為(2n-1)(2n+1),是一個(gè)以n為參數(shù)的變量；分子1是一個(gè)常量.分子與分母不成對(duì)等的關(guān)系(分子與分母應(yīng)該具有對(duì)等結(jié)構(gòu)，筆者在②前的教學(xué)中已經(jīng)鄭重地滲透了這樣的觀念)，我們先試探可否使分子與分母統(tǒng)一起來，形成對(duì)等的結(jié)構(gòu)？

生甲：(板書)因(2n+1)-(2n-1)=2,

師：非常好！生甲可否解釋你的想法的產(chǎn)生？

生甲：分母是一個(gè)變量，將它變成常量是辦不到的.由分子與分母的對(duì)等性，我們可以將分子1轉(zhuǎn)換成一種含有變量n的組合，這樣做的目的是使③式的分子與分母從都是變量的角度和諧與統(tǒng)一起來.

這種教學(xué)設(shè)計(jì)，我們沒有給許多課堂上的珍貴時(shí)間讓學(xué)生自己去構(gòu)造這種套用問題信息的“知識(shí)框架”的“凝聚核”，也沒有將公式②直接地“奉獻(xiàn)”給了學(xué)生，而是將知識(shí)產(chǎn)生的邏輯過程(論題的過程)利用了一種學(xué)生已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)觀念，即分式的分子與分母的“對(duì)等”觀念，賦予了知識(shí)的邏輯過程的一種可操作的心理活動(dòng)程序，這就是對(duì)邏輯過程進(jìn)行了一種心理解釋.

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言，這種解釋極有意義，他要從自己的意識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能出發(fā)，通過艱苦的探究活動(dòng)，生成了觀念——心理意義的解釋，觀念的形成就使這種邏輯過程轉(zhuǎn)化為意識(shí)機(jī)能中的一個(gè)項(xiàng)目，增加了精神資質(zhì)中的活性因素，為“觀念的再生”創(chuàng)造了條件，于是，它變成了干預(yù)新的客觀數(shù)學(xué)活動(dòng)(設(shè)計(jì)操作程序)的因素.這種解釋活化了意識(shí)結(jié)構(gòu)與機(jī)能，促進(jìn)了的“思維的能產(chǎn)性”的發(fā)生，我們有研究顯示出這種“對(duì)等”觀念的大范圍遷移的運(yùn)用，這里不再贅述.

就數(shù)學(xué)教育(不是科學(xué)上的)意義而言，數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)物理世界中的應(yīng)用只是它低層次的副產(chǎn)品，數(shù)學(xué)知識(shí)的最為重要的價(jià)值與作用在于促進(jìn)人的意識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能的創(chuàng)造性的發(fā)生，使主體把所擁有的精神資質(zhì)形成人性能力，從而，達(dá)成優(yōu)化人的意識(shí)結(jié)構(gòu)，提升人的精神品格的目的.如此說來，在教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，參照數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯發(fā)生線索，適應(yīng)學(xué)生知識(shí)心理發(fā)生過程，整合這兩者的優(yōu)勢(shì)，是發(fā)揮數(shù)學(xué)資源教育價(jià)值的前提，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育高層次目標(biāo)的保證，由此達(dá)成利用數(shù)學(xué)資源提升學(xué)生品格的本質(zhì)訴求.

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(收稿日期：2016-02-16)