安徽省合肥市第五十中學(xué)(西區(qū))　　胡志杰　　程海蘭　　(郵編：233000)

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在探究中學(xué)習(xí)新知在活動中收獲成功
——以《勾股定理》教學(xué)為例

安徽省合肥市第五十中學(xué)(西區(qū))胡志杰程海蘭(郵編：233000)

1教學(xué)背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)較《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗稿)與時俱進(jìn)地明確指出：通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗”.把數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”發(fā)展為“四基”,即除了“數(shù)學(xué)基本知識”和“數(shù)學(xué)基本技能”之外,增加了“數(shù)學(xué)基本思想”和“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”.把“雙基”改為“四基”，“數(shù)學(xué)基本思想”得到了突出，“基本活動經(jīng)驗”則把理性的與感性的、顯性的與隱性的學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)結(jié)果都概括了進(jìn)去.可見《標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程必須充分關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)、數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，也是數(shù)學(xué)課程生成和發(fā)展的基礎(chǔ).鑒于此，安徽省合肥市第五十中學(xué)(西區(qū))專門成立了以胡志杰校長和張化副校長為課題負(fù)責(zé)人的課題組，申報了安徽省教育科學(xué)規(guī)劃課題《初中生“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”積累的教學(xué)實踐研究》(課題批準(zhǔn)號：JG14178).

在省、市、區(qū)教育局領(lǐng)導(dǎo)和專家大力支持和指導(dǎo)下，課題于2015年2月4日順利開題.課題組查閱大量資料發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)關(guān)于“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的研究主要分布在其定義、分類等理論研究方面，而從實踐層面上去研究這些欄目在教學(xué)上的作用及意義的內(nèi)容則涉獵較少，特別是對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗評價的研究很少，實踐定量分析的研究更少.因此，本課題的研究具有一定的實際意義.課題組制定以下幾種方法來展開研究：(1)行動研究法：充分發(fā)揮課題組成員大多為一線骨干教師的優(yōu)勢，在教學(xué)中通過實驗者自身的實踐進(jìn)行實證性研究，具體分為以下幾個步驟：自主選題——確定主題——制訂活動計劃——活動展示——活動研討——總結(jié)經(jīng)驗——發(fā)現(xiàn)問題——尋找對策——驗證對策；(2)調(diào)查研究法：通過對當(dāng)前學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的調(diào)查分析(問卷調(diào)查、訪談)，發(fā)現(xiàn)問題，制定研究計劃，有針對性地開展案例分析研究；(3)案例研究法：基于真實的課堂教學(xué)案例的分析，形成高質(zhì)量的案例集.

根據(jù)課題組安排，由課題組成員周丹、邢麗娜老師開設(shè)了“PBP”(partner伙伴互助+back to back背靠背+polish反復(fù)打磨)教研模式下同課異構(gòu)的數(shù)學(xué)活動課——《勾股定理》的市級展示課，于2015年4月1日下午在合肥市第五十中學(xué)(西區(qū))八(3)班教室進(jìn)行.結(jié)合課題組前期的行動研究、理論提煉，這次展示課在數(shù)學(xué)活動設(shè)計上有所突破.在課后的評點中，得到了聽課專家的好評，給與會教師留下了深刻的印象.本文以邢麗娜老師的展示課為例，就“如何設(shè)計和組織數(shù)學(xué)活動，才能有利于學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”，談一點自己淺顯的看法，以供商榷.

2教材分析

2.1內(nèi)容簡析

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是前面所學(xué)“三角形三邊關(guān)系”的知識延伸，又為九年級學(xué)生學(xué)習(xí)“解直角三角形”奠定了基礎(chǔ).同時，勾股定理也是學(xué)生認(rèn)識無理數(shù)的基礎(chǔ)，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用.本節(jié)課是以探索直角三角形三邊關(guān)系為內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在整個中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中處于非常重要的地位.教科書上的設(shè)計重在引導(dǎo)學(xué)生“探索”，通過在方格紙上計算面積的方法探索勾股定理，同時又安排了用多種拼圖的方法驗證勾股定理，試圖讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展學(xué)生的探究能力、合情推理能力.

2.2目標(biāo)定位

(1)教學(xué)目標(biāo)

(i)利用測量和借助網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)勾股定理，能驗證勾股定理并應(yīng)用定理進(jìn)行簡單計算.

(ii)在發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程中經(jīng)歷“觀察—猜想—實驗—歸納”等活動，發(fā)展推理能力，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想.

(iii)了解勾股定理歷史,感受數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.

(2)教學(xué)重點

探索勾股定理.

(3)教學(xué)難點

勾股定理的探索過程.

突破難點方法：勾股定理的探究是通過圖形面積割補(bǔ)得到的，而課本中沒有專門講面積的理論，學(xué)生不易理解推理的依據(jù)，要根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系列出代數(shù)式，再利用代數(shù)式的變形得出結(jié)論，過程比較復(fù)雜.突破難點的關(guān)鍵是以啟發(fā)性的分析思路，讓學(xué)生主動探究，通過對圖形的割、補(bǔ)，熟悉面積說明問題的思路，通過動手操作、合作交流來解決問題.

2.3方法闡釋

本節(jié)內(nèi)容重在探索，教學(xué)中通過設(shè)計問題引導(dǎo)學(xué)生積極思考，動手操作，采用 “問題情境——建立模型——理解應(yīng)用與拓展”的模式展開.

3教學(xué)過程與評析

3.1活動一創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

首先創(chuàng)設(shè)這樣一個問題情境：如圖所示，強(qiáng)大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面4.5米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部6米處，請問旗桿折斷之前有多高？

圖1

教師引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊長，如何求第三邊”的問題.學(xué)生會感到困難，教師指出學(xué)習(xí)了今天這一課就有辦法解決了，從而自然引入新課．

評析以實際問題為切入點引入新課，不僅自然，而且反映了數(shù)學(xué)來源于實際生活，數(shù)學(xué)是從人們生活的需要中產(chǎn)生的基本觀點，同時也體現(xiàn)了知識的產(chǎn)生過程、解決問題的過程就是一個“數(shù)學(xué)化”的過程．問題設(shè)計具有一定的挑戰(zhàn)性，目的是激發(fā)學(xué)生的探究欲望，實踐證明，這樣處理能較好地調(diào)動學(xué)生的積極性，開啟學(xué)生的思維，快捷引入新課．

3.2活動二發(fā)現(xiàn)勾股定理

(1)實踐思考——直角三角形的三邊有怎樣的關(guān)系？

問題請同學(xué)們動手畫任意一個直角三角形，測量其三邊長度并計算，交流自己的發(fā)現(xiàn).學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：(1)斜邊大于直角邊;(2)兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.教師順勢追問：三邊之間是否存在等量關(guān)系？

圖2

評析追問三邊之間是否存在等量關(guān)系，指明學(xué)生探究的目的性．

(2)探索思考——借助網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊平方(即正方形A、正方形B和正方形C的面積)之間的關(guān)系．

(i)等腰直角三角形

觀察圖2，對于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和正方形C的面積填入下表，它們的面積之間有什么關(guān)系？

三角形的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積等腰直角三角形

結(jié)論正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

圖3

(ii)直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形

觀察圖3，對于直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面積又有什么關(guān)系呢？

三角形的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積一般直角三角形

結(jié)論正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

(3)觀察 驗證——借助幾何畫板驗證直角三角形三邊平方之間的關(guān)系．

教師改變直角三角形三邊a、b、c的長度,學(xué)生觀察兩條直角邊平方與斜邊平方間的數(shù)量關(guān)系的變化情況．結(jié)論仍然是：正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

再將直角三角形改為非直角三角形，通過幾何畫板的測量功能計算三邊的平方，觀察三者之間是否具有上述關(guān)系？結(jié)論：正方形A面積+正方形B面積不等于正方形C面積．

對比之后可知，上述關(guān)系是直角三角形所特有的性質(zhì)．

(4)得出猜想.

=在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，那么a2+b2=c2．評析本環(huán)節(jié)設(shè)計的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了四個活動過程：首先結(jié)合教科書中正方形的面積求法做出研究，讓學(xué)生進(jìn)行割、補(bǔ)、拼圖的數(shù)學(xué)探究活動，算出正方形面積，探究不同求法.這樣設(shè)計有利于突破難點，而且為歸納結(jié)論打下了基礎(chǔ)，讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納的過程和樂趣，也讓學(xué)生分析問題和解決問題的能力在過程中得到提高.這種活動經(jīng)驗的積累對后面的繼續(xù)學(xué)習(xí)有很重要的意義．其次，針對教科書中給出的探究題目，用前面總結(jié)歸納得到的方法來求以直角三角形三邊長為邊的三個正方形面積之間的關(guān)系，不難得出“正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積”的結(jié)論．而教科書中給的探索圖形，直角三角形三邊長度均為整數(shù)，這樣的正方形不具有一般性，對于邊長任意的正方形這個結(jié)論是否也成立呢？在這里，讓學(xué)生畫圖探討較為困難，因而可利用幾何畫板進(jìn)一步驗證上面的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討出本節(jié)課的重點——勾股定理．這樣由淺入深，充分地讓學(xué)生經(jīng)歷了探索解決問題的過程，積累了經(jīng)驗，較好地突出了重點，突破了難點．

3.3活動三證明勾股定理

圖4

教師為每個學(xué)習(xí)小組提供四個全等的直角三角形硬紙片，直角邊長是a、b，斜邊長c．

提出問題：你能用四個全等的直角三角形拼成一個什么樣的正方形？拼出的正方形的面積怎么表示？

各個小組利用集體的智慧一起拼圖并計算面積．拼圖游戲結(jié)束后，學(xué)生代表分別上臺展示拼圖(圖4、圖5)和不同方法計算所拼正方形的面積，從而得出a2+b2=c2的結(jié)論．

學(xué)生代表我們組還想到了一種可以得出a2+b2=c2的拼圖方法(圖6)，只需要將兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形．

教師結(jié)合學(xué)生的拼圖及證明介紹數(shù)學(xué)史：趙爽的弦圖及總統(tǒng)證法，得出勾股定理：

勾股定理

圖5

圖6

在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，那么a2+b2=c2

教師介紹定理名稱的由來：人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，所以我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.因此就把這一定理稱為勾股定理.我國早在三千多年就知道了這個定理，國外稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.

由此延伸，開始介紹數(shù)學(xué)史．

評析因為勾股定理的面積法證明的構(gòu)造性已超出學(xué)生的能力范圍，所以教師直接引導(dǎo)學(xué)生用四個全等的直角三角形拼成一個正方形，再讓學(xué)生用不同的方法表示拼成的正方形的面積，從而得出的結(jié)論．在小組合作探究活動中發(fā)現(xiàn)不同的思路，并面向全體學(xué)生做適當(dāng)?shù)谋容^和討論，有利于開闊學(xué)生的視野，增強(qiáng)論證的趣味性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣和掌握數(shù)學(xué)證明方法的信心，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高思維水平．大量數(shù)學(xué)史實的介紹，可增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，提升學(xué)生的愛國主義情懷．

3.4活動四鞏固應(yīng)用

回顧開頭情境中的問題，利用勾股定理解決實際問題．

評析首尾呼應(yīng)，解決問題.讓學(xué)生在熟悉定理、運用定理的同時，再次體會到數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活．

3.5活動五課堂總結(jié) 課外延伸

(1)該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？

(2)在探索和驗證定理的過程中，我們運用了哪些方法？

(3)這節(jié)課中你還有什么收獲？

(4)你還有哪些不懂的，或是還想要繼續(xù)探索的？

課后作業(yè)：

搜集有關(guān)勾股定理的資料和其他的驗證方法，下節(jié)課交流．

評析圍繞四個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的收獲．教師從知識內(nèi)容、應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想方法、獲取知識的途徑等方面引導(dǎo)學(xué)生多角度地進(jìn)行歸納總結(jié)，感悟點滴，將知識系統(tǒng)化，有利于提高學(xué)生素質(zhì)，鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)及語言表達(dá)能力．將作業(yè)延伸到課外，拓展了學(xué)生視野．

4總評

縱觀邢麗娜老師的這節(jié)展示課，以問題為載體，數(shù)學(xué)活動為主線，教師的啟發(fā)引導(dǎo)與學(xué)生的思維同步，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一次發(fā)現(xiàn)和驗證勾股定理的過程．全程滲透數(shù)學(xué)思想及方法，使學(xué)生的活動充滿了探索和創(chuàng)造，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，并積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．總之，這節(jié)課中組織學(xué)生活動的形式有很多值得我們學(xué)習(xí)和借鑒的，現(xiàn)舉一二．

4. 1通過數(shù)學(xué)活動，注重教學(xué)目標(biāo)的整體實現(xiàn)

結(jié)合本課例目標(biāo)，邢老師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的情況設(shè)置的四個教學(xué)活動圍繞教學(xué)目標(biāo)，重點突出，難點分解．學(xué)生經(jīng)歷了將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，主動參與拼圖、數(shù)據(jù)測量計算的操作活動，經(jīng)歷了從特殊到一般的猜想和驗證，并在實踐中探索并發(fā)現(xiàn)新知識，運用新知識解決實際問題．

4.2巧用生活情境，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力

本課例首先提出一個問題情境，要想解決這個實際問題需要先將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊長，如何求第三邊”的問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是從人們的生活需要中產(chǎn)生的基本觀點，同時讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生過程、解決問題的過程，感受“數(shù)學(xué)化”的過程．學(xué)生在課堂上積累的活動經(jīng)驗，可以啟發(fā)學(xué)生在實際生活中找到數(shù)學(xué)原理的原型，并通過實際操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律．當(dāng)學(xué)生掌握了勾股定理的數(shù)量關(guān)系后，遇到相關(guān)問題時就會自然而然地聯(lián)想到構(gòu)建直角三角形模型，從而運用勾股定理去求解．

4.3經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

章建躍教授在《數(shù)學(xué)教育之取勢明道優(yōu)術(shù)》一文中指出：“教好數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵應(yīng)該是“為學(xué)生建構(gòu)前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考” ．?dāng)?shù)學(xué)活動經(jīng)驗是一種過程性知識，是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動過程中內(nèi)化了的數(shù)學(xué)知識、技能及情感體驗，既包括學(xué)生的日常生活經(jīng)驗，又包括學(xué)生在學(xué)校數(shù)學(xué)課程中獲得的經(jīng)驗．幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果．本課例從解決實際問題引發(fā)認(rèn)知沖突開始，激發(fā)學(xué)生探索直角三角形三邊之間關(guān)系的欲望．設(shè)置幾個由淺入深的探索性活動讓學(xué)生在“做”的過程和“思考”的過程中體會直角三角形三邊的關(guān)系，從等腰直角三角形到非等腰直角三角形，從整數(shù)邊直角三角形到任意邊長直角三角形，逐漸從特殊歸納出一般猜想，再有目的地去證明猜想，得出勾股定理，最后解決開始的沖突．這一完整的過程不僅可以完成勾股定理的學(xué)習(xí)，也能幫助學(xué)生積淀學(xué)習(xí)其他幾何定理學(xué)習(xí)的基本經(jīng)驗．

4.4感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)能力

勾股定理的面積法證明不同于其他幾何命題的證明，其構(gòu)造性已超出學(xué)生的能力范圍，所以教師直接引導(dǎo)學(xué)生做拼圖游戲，用四個全等的直角三角形拼成一個正方形，并讓學(xué)生用不同的方法表示拼成的正方形的面積，從而得出a2+b2=c2.學(xué)生在操作活動中嘗試找出勾股定理的證明方法，再次加深對勾股定理的理解．學(xué)生在這一探究活動中充分體會數(shù)形結(jié)合思想，感受幾何證明的新方法，豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力．

5結(jié)束語

綜上所述，學(xué)生不是從老師那里獲取知識，而是在數(shù)學(xué)活動的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、積累經(jīng)驗．我們的一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動都應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生的成長與發(fā)展，應(yīng)該以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為目的．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)活動的設(shè)置要圍繞教學(xué)目標(biāo)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行有效的思考，使學(xué)生在動手操作的實踐基礎(chǔ)上，探索數(shù)學(xué)知識的規(guī)律，從而建立數(shù)學(xué)模型，更應(yīng)該尊重學(xué)生各自的知識經(jīng)驗、思維方式和習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生用思維的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，使學(xué)生的感性認(rèn)識通過實際操作上升為理性的思維認(rèn)識．同時要求教師在教學(xué)活動中應(yīng)是一個促進(jìn)者、協(xié)作者、組織者，要善于做點燃學(xué)生探究欲望和智慧火花的人，要善于讓學(xué)生說教師要說的話，做教師想做的事．問題的設(shè)置，要注意其層次性，使問題的提出由淺入深、由簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，滿足不同層次學(xué)生求知探索的欲望，從而獲得直接經(jīng)驗的體驗和理論知識的收獲，在實際的應(yīng)用中不斷地培養(yǎng)學(xué)生的動手驗證意識和創(chuàng)新精神．

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(收稿日期：2016-01-25)