戎士奎

(貴州師范學(xué)院　數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，貴州　貴陽　550003)

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(n2，(n+1)2)中至少有一個素數(shù)的證明

戎士奎

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)計算機科學(xué)學(xué)院，貴州貴陽550003)

摘要：證明(n2，(n+1)2)中至少有一個素數(shù)，是一個眾所周知的數(shù)論難題(華羅庚1979，(美)阿爾伯特· H·貝勒1998)。本文用篩法先證明一個叫做篩不完原理的定理，使用篩不完原理證明了(n2，(n+1)2)中至少有一個素數(shù)。還給出素數(shù)在自然數(shù)中的概率為0的一個新的證法。

關(guān)鍵詞：素數(shù)；(n2，(n+1)2)中的素數(shù)；s層篩法；s層篩法的余數(shù)矩陣；篩不完原理

1基本概念

定義1：用由小到大的前s個素數(shù)2、3、5、7、…、Ps劃掉自然數(shù)集N={1,2,…,n,…}中這些素數(shù)的倍數(shù)，叫做N的s層篩法，記作Rs。例如從N中劃去P1=2的倍數(shù)，得N1={1,3,5,7,…,2n+1,…}為N的第一層篩法，記為R1。用P1=2，P2=3劃去N中2、3的倍數(shù)，得N2={1,5,7,…,6n-1,6n+1…}為N的第二層篩法，記作R2…。N的s層篩法也說成用Rn去篩自然數(shù)集N或Rn篩N。

定義2：用素數(shù)Ps(s=1，2， …)去除N中各數(shù)，依次所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列As={1,2,…,Ps-1,0;1,2,…,Ps-1,0；…}叫做Ps的余數(shù)數(shù)列。

例如P1=2的余數(shù)數(shù)列A1={1,01,0,…1,0,…}，這是一個周期為2的周期數(shù)列。P2=3的余數(shù)數(shù)列A2={1,2,0,1,2,0…1,2,0…}，這是一個周期為3的周期數(shù)列。Ps的余數(shù)數(shù)列是周期為Ps的周期數(shù)列。

定義3：Rs篩N所得s個余數(shù)數(shù)列構(gòu)成的s行無窮列矩陣

是一個3×30的矩陣。

2引理

引理1：(n，2n)中至少有一個素數(shù)。

推論：第s+1個素數(shù)小于第s個素數(shù)的2倍，即Ps+1<2Ps。

引理2：Rs可篩光{2,3,4,…,Ps，Ps+1,…，Ps+1-1}。

證明：可篩光{2,3,4,…,Ps}是顯然的，而Ps+1，Ps+2,…,Ps+1-1都小于Ps+1，故都能被Rs篩光。

引理3：R3能篩掉n的充分必要條件是n的余數(shù)列向量中至少有一個數(shù)是0。

證明：若Rs能篩掉n，則有素數(shù)Pi(1≤i≤s)是n的因數(shù)，有n=0(modPi)，即n的余數(shù)列向量的第i個元素為0。反之，若n的余數(shù)列向量中第i元素為零，則n=0(modPi)，即Pi(1≤i≤s)可劃掉n，Rs能篩掉n。

引理1、4在數(shù)論的教科書中都有詳細(xì)證明，這里不需要再證。

33個定理

定義4：Rs篩去的最長區(qū)間長度叫做Rs的篩去長度。

定理1：Rs篩去長度為Ps+1-2。

證明：P1的余數(shù)列為A1={1,0,1,0,…1,0,…}，所以R1篩去的長度為1，而P2=3，P2-2=1結(jié)論成立。

R3的余數(shù)矩陣D3，{1,2,3,4,5,6,…30}能被R3篩光的最長連續(xù)段為{2,3,4,5,6}，長度為5。P4=7，P4-2=5結(jié)論也成立。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切自然數(shù)s，Rs的篩去長度都為Ps+1-2。

設(shè)s≤m-1時，R2的篩去長度都為Ps+1-2。當(dāng)s=m時，1)k=1,2,3,4,…，pm，…,pm+1-1，篩去的長度都不大于Pm+1-2，這是因為1和Pm+1都是Rm篩掉的數(shù)；2)設(shè)k≤M時，結(jié)論都成立，Rm篩不光{k,k+1,k+2,…,k+Pm+1,…,k+Pm+1-2}?？紤]Rm去篩

{M+1,M+2,…,M+Pm,M+Pm+1,…,M+Pm+1-2,M+Pm+1-1}的情況。如果對此段結(jié)論不成立，即Rm能篩掉此段中Pm+1-1個數(shù)，則Rm篩{M,M+1,M+2,…,M+Pm,M+Pm+1,…,M+Pm+1-2}時，只有M未被篩掉。

因為用Rm-1篩{M+1,M+2,…,M+Pm}至少有兩個數(shù)篩不掉(否則與歸納假設(shè)矛盾)，而Rm能篩光{M+1,M+2,…M+Pm}，故此段中至少有兩個數(shù)是Pm的倍數(shù)，這是不可能的。事實上，設(shè)：

M=0(modPm)則只有M+Pm被Rm篩掉；

M=r(modPm)，r>0時，只有M+Pm-r被Rm篩掉。

因此，k∈N時，

{k,k+1,k+2,…,k+Pm,k+Pm+1，…,k+Pm+1-2}

都不能被Rm篩光。又{2,3,5…，Pm+1-1}能被Rm篩光，所以Rm的篩去長度也是Pm+1-2。證畢。

定理2：Rs篩不完任何長為2Ps的連續(xù)自然數(shù)段{k+1,k+2,…,k+2Ps}。

證明：因為在(Ps,2Ps)中至少有一個素數(shù)，所以Ps+1<2Ps,2Ps>Ps+1-2。由定理1，Rs篩不完{k+1,l+2,…,k+2Ps}(k∈N)。

此定理稱篩不完原理，用它可證n2與(n+1)2之間至少有一個素數(shù)。

定理3：(n2,(n+1)2)中至少有一個素數(shù)。

證明：π(n)為不大于n的所有素數(shù)的個數(shù)，

(n2,(n+1)2)={n2+1,n2+2,…,n2+2n}，

2n>Pπ(n)+1。

用Rπ(n)去篩(n2,(n+1)2)，必有篩不掉的數(shù)n2+i，n2

4素數(shù)在自然數(shù)中的概率為0的一個新證法

定理4：素數(shù)在自然數(shù)中的概率為0。

參考文獻(xiàn)【REFERENCES】

[1]華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1997：90.

HUA L G.An introduction to the theory of numbers[M].Beijing：Science Press，Published in 1997：90.

[2](美)阿爾伯特· H·貝勒.數(shù)論妙趣[M].上海：上海教育出版社，1998：268.

Albert H B.Recreations of the theory of numbers[M].Shanghai：Shanghai education press，Published in 1998：268.

The proof of at least one of the prime numbers in(n2，(n+1)2)

RONG Shikui

(SchoolofMathematicsAndComputerScience，GuizhouEducationUniversity，Guiyang550018，China)

Abstract：In this paper，a well known problem that at least one of the prime numbers is in(n2，(n+1)2)(Hua Luo-geng 1979，[America]Albert H Beller 1998)has been proved.At first，the proof of the endless sieve theorem on the basis of sieve method was completed.And second，it proves that at least one of the prime numbers is in(n2，(n+1)2) on the basis of the endless sieve theorem.Then，a new proof method was given，in which the probability of prime number in natural number is 0.

Keywords：prime numbers；prime numbers in(n2，(n+1)2)；s- sieve method；remainder matrix of s- sieve method；endless sieve theorem

作者簡介：戎士奎(1940-)，安徽阜南人，貴州師范學(xué)院終身教授。研究方向：數(shù)論、密碼學(xué)。

收稿日期：2015-12-28；修回日期：

中圖分類號：015

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1003-6563(2016)01-0078-03