張廣韜，吳俊勇，李 揚(yáng)，郝亮亮

（北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)的不斷發(fā)展，人們對(duì)同步發(fā)電機(jī)安全穩(wěn)定運(yùn)行的要求也越來越高。轉(zhuǎn)子匝間短路是發(fā)電機(jī)常見的電氣故障，小匝數(shù)的短路故障可能不會(huì)影響發(fā)電機(jī)的正常運(yùn)行，但一旦故障發(fā)生蔓延，將導(dǎo)致發(fā)電機(jī)勵(lì)磁電流增加，輸出無功減小，機(jī)組振動(dòng)加劇，燒傷軸頸和軸瓦，嚴(yán)重威脅發(fā)電機(jī)機(jī)組和電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行［1-2］。

在電機(jī)中，機(jī)械與電氣相互耦合，轉(zhuǎn)子匝間短路故障會(huì)造成部分磁極短路，進(jìn)而引起氣隙磁場(chǎng)畸變，產(chǎn)生不同于正常運(yùn)行時(shí)的氣隙電磁力波和不平衡磁拉力，引起電機(jī)轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)［3-4］。因此，不平衡磁拉力的準(zhǔn)確計(jì)算與分析是實(shí)現(xiàn)基于振動(dòng)或機(jī)電特征融合故障診斷的基礎(chǔ)。

國(guó)外對(duì)不平衡磁拉力的研究起步較早，文獻(xiàn)［5］認(rèn)為發(fā)電機(jī)的氣隙磁密和氣隙長(zhǎng)度成反比，并對(duì)不平衡磁拉力進(jìn)行了討論，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了不平衡磁拉力的線性表達(dá)式。文獻(xiàn)［6］針對(duì)磁飽和度對(duì)不平衡磁拉力的影響，對(duì)計(jì)算方程進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)。文獻(xiàn)［7］通過實(shí)驗(yàn)研究證明了文獻(xiàn)［2］計(jì)算方程的正確性。文獻(xiàn)［8］和［9］用數(shù)值方法對(duì)電機(jī)發(fā)生偏心故障時(shí)的電磁力進(jìn)行了計(jì)算，得到了與實(shí)驗(yàn)值較為吻合的結(jié)果。國(guó)內(nèi)對(duì)不平衡磁拉力的研究多采用線性解析法和數(shù)值法，文獻(xiàn)［10］對(duì)不同工況下轉(zhuǎn)子偏心以及轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組匝間短路造成的不平衡磁拉力進(jìn)行了分析計(jì)算，并對(duì)轉(zhuǎn)子偏心程度和勵(lì)磁電流大小對(duì)不平衡磁拉力的影響進(jìn)行了仿真分析；文獻(xiàn)［11］分析了隱極同步發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子繞組匝間短路后勵(lì)磁磁動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律，基于氣隙磁導(dǎo)法對(duì)電機(jī)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行了分析，指出轉(zhuǎn)子匝間短路故障使電機(jī)氣隙磁場(chǎng)不對(duì)稱，從而產(chǎn)生不平衡的磁拉力，通過計(jì)算得到定轉(zhuǎn)子間的氣隙磁導(dǎo)和氣隙磁場(chǎng)能的解析式，進(jìn)而得到作用于轉(zhuǎn)子的不平衡磁拉力的表達(dá)式。但文獻(xiàn)［10-11］在磁場(chǎng)分析過程中僅僅考慮了勵(lì)磁電流對(duì)磁場(chǎng)的影響，沒有考慮轉(zhuǎn)子阻尼電流和定子電樞電流對(duì)磁場(chǎng)的影響。

本文針對(duì)常見的1對(duì)極汽輪發(fā)電機(jī)，提出通過對(duì)轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算得出轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力的方法。首先采用多回路法對(duì)A1552樣機(jī)在額定運(yùn)行時(shí)發(fā)生的轉(zhuǎn)子匝間短路故障進(jìn)行計(jì)算，得到了故障時(shí)定、轉(zhuǎn)子電流的數(shù)值解，對(duì)樣機(jī)進(jìn)行了故障實(shí)驗(yàn)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比；在此基礎(chǔ)上，對(duì)發(fā)生匝間短路故障時(shí)的氣隙磁動(dòng)勢(shì)和磁密進(jìn)行了解析計(jì)算，并根據(jù)麥克維爾應(yīng)力張量法計(jì)算出故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受到的不平衡磁拉力的大小和方向，得到了不平衡磁拉力的解析計(jì)算模型；最后利用ANSYS仿真軟件建立了發(fā)電機(jī)有限元物理模型，對(duì)不平衡磁拉力進(jìn)行了有限元計(jì)算，通過有限元計(jì)算與解析模型計(jì)算結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了解析計(jì)算模型的正確性。

1 轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)的各回路電流

采用交流電機(jī)的多回路理論計(jì)算轉(zhuǎn)子匝間短路故障的基本思路是：首先以單個(gè)線圈為研究對(duì)象，得到每個(gè)線圈的電感參數(shù)，然后依照故障時(shí)各繞組的實(shí)際連接及組成方式，由有關(guān)線圈的參數(shù)計(jì)算出繞組回路參數(shù)［12-13］。該方法能夠深入到定子相繞組和轉(zhuǎn)子繞組內(nèi)部，可計(jì)算出定子所有分支以及勵(lì)磁繞組和阻尼回路的電流、電壓［14-15］。

在充分考慮故障引起的勵(lì)磁繞組電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變和定子相繞組內(nèi)部出現(xiàn)的不平衡電流的前提下，根據(jù)多回路理論列出了以定、轉(zhuǎn)子所有回路電流為變量的狀態(tài)方程［16-17］：

其中，M′和R′分別為回路電感矩陣和回路電阻矩陣，M′的值會(huì)隨著定子與轉(zhuǎn)子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，為時(shí)變矩陣；MT和RT為常數(shù)矩陣，其數(shù)值與電網(wǎng)線路參數(shù)、變壓器的電阻和漏感以及勵(lì)磁系統(tǒng)的內(nèi)電阻、內(nèi)電感有關(guān)；列向量I′為定、轉(zhuǎn)子各回路的電流，包括轉(zhuǎn)子勵(lì)磁繞組的正?；芈泛凸收细郊踊芈?、阻尼回路以及定子電樞繞組回路的電流；列向量E由電網(wǎng)電壓和勵(lì)磁系統(tǒng)電源電壓組成，為已知量；D為微分算子d／dt。式（1）為發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障時(shí)，同步發(fā)電機(jī)的多回路數(shù)學(xué)模型，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值解法就可以求得故障時(shí)定、轉(zhuǎn)子電流和電壓的數(shù)值解，實(shí)現(xiàn)對(duì)故障的暫態(tài)仿真。下文的分析計(jì)算都以此模型的計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)。

2 轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)氣隙的磁動(dòng)勢(shì)和磁密

2.1 轉(zhuǎn)子勵(lì)磁電流產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)

隱極同步電機(jī)每極下的勵(lì)磁繞組由節(jié)距不等的分布式同心式線圈串聯(lián)而成，設(shè)轉(zhuǎn)子空間坐標(biāo)xr的起點(diǎn)為轉(zhuǎn)子d軸，每個(gè)同心式線圈單獨(dú)產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)均為分布在整個(gè)電機(jī)氣隙圓周、關(guān)于d軸中心線對(duì)稱的矩形波，如圖1所示。

圖1 勵(lì)磁繞組同心式線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)Fig.1 Magnetomotive force produced by concentric field coil of field windings

勵(lì)磁繞組第 h（h=1，2，3，…）個(gè)同心式線圈產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)ffd，h的表達(dá)式為：

其中，yh和nr，h分別為第h個(gè)同心式線圈的節(jié)距和匝數(shù)；αh，1和αh，2為同心式線圈的 2 個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子坐標(biāo)電角度。

當(dāng)同步發(fā)電機(jī)發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路后，勵(lì)磁繞組被分為正常勵(lì)磁回路（電流為if）和勵(lì)磁故障附加回路［18］（電流為 ifkL），如圖2所示。

圖2 勵(lì)磁繞組匝間短路時(shí)勵(lì)磁回路示意圖Fig.2 Schematic diagram of excitation loop during inter-turn short circuit of excitation winding

圖2中，EZF為勵(lì)磁電動(dòng)勢(shì)；RZF為勵(lì)磁電源內(nèi)阻；RfkL為勵(lì)磁短接線電阻。雖然轉(zhuǎn)子發(fā)生匝間短路故障后，勵(lì)磁電流除了含有直流分量，還有一定成分的交流分量，但是由于交流分量很小，在此不再考慮其對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響［19］。故障繞組在氣隙中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)ffd，hf等效于正常勵(lì)磁回路產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)和故障附加回路產(chǎn)生的反向磁動(dòng)勢(shì)的疊加，如式（3）所示。

其中，ffd，n，hf和ffd，f，hf分別為第 hf個(gè)故障線圈的正常勵(lì)磁回路和故障附加回路產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)。

2.2 轉(zhuǎn)子阻尼電流產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)

同步電機(jī)的阻尼繞組一般是由阻尼條組成的籠形回路，如圖3所示。

圖3 阻尼回路結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of damping loop structure

與勵(lì)磁繞組不同，阻尼繞組中的電流不含直流分量，只有交流諧波分量。 第 j（j=1，2，…，Nd，其中Nd為轉(zhuǎn)子所有阻尼回路個(gè)數(shù)的總和）個(gè)阻尼回路的k次諧波電流的表達(dá)式為：

其中，ω 為同步角頻率；t為時(shí)間；Id，j，k和φd，j，k分別為第j個(gè)阻尼回路k（對(duì)于常見的1對(duì)極發(fā)電機(jī)而言，k的值為6的倍數(shù)［20］）次諧波電流的有效值和相位。

id，j，k在氣隙中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)為：

其中，yd，j為第 j個(gè)阻尼回路的節(jié)距；αd，j，1和αd，j，2為第j個(gè)阻尼回路的2個(gè)邊所對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子坐標(biāo)電角度；nd為阻尼回路線圈匝數(shù)。進(jìn)而可以得到整個(gè)轉(zhuǎn)子所有的阻尼回路在氣隙中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)：

2.3 定子電樞電流產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)

同步發(fā)電機(jī)正常聯(lián)網(wǎng)帶負(fù)載運(yùn)行時(shí)，定子分支中的電流以基波為主；在發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障后，雖然定子繞組依然是正常的，但故障勵(lì)磁繞組所產(chǎn)生的空間諧波磁場(chǎng)會(huì)在定子繞組內(nèi)部感應(yīng)2、4等偶數(shù)次諧波不平衡電流［21］。定子坐標(biāo)和定子各槽位置圖如圖4所示。

將定子空間坐標(biāo)xs的零點(diǎn)放置在定子1號(hào)槽的中心線上，取逆時(shí)針方向?yàn)閤s的正方向，如圖4所示。則定子電樞 a 相 ai（i=1，2，…，Na，其中 Na為 a 相分支的總數(shù)）分支的第 j（ j=1，2，…，Nai，其中 Nai為 a相ai分支線圈的總數(shù)）個(gè)線圈的k次諧波電流的表達(dá)式為：

其在氣隙中產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)為：

圖4 定子坐標(biāo)和定子各槽位置圖Fig.4 Stator coordinates and stator slot positions

其中，ys為定子繞組線圈節(jié)距；ns為線圈匝數(shù)；αs，ai，j，1和αs，ai，j，2為線圈的2個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的定子坐標(biāo)電角度。進(jìn)而可以得到定子a相電流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)和abc三相電流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)：

2.4 轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)的氣隙磁密

為了方便計(jì)算，將2.1—2.3節(jié)的計(jì)算結(jié)果都轉(zhuǎn)換到定子坐標(biāo)系中，設(shè)γ0為轉(zhuǎn)子d軸與定子坐標(biāo)系軸線在t=0時(shí)的電角度，γ為轉(zhuǎn)子位置角，即轉(zhuǎn)子d軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)超前定子坐標(biāo)軸線的電角度，則有：

當(dāng)轉(zhuǎn)子勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，γ=ωt+γ0，將 xr換成 xs-γ，就能得到故障時(shí)氣隙磁動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為：

其中，ffd（xs-γ）為所有勵(lì)磁線圈產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)。

對(duì)于均勻磁路，根據(jù)式（12）可以進(jìn)一步得到發(fā)生短路故障時(shí)氣隙磁密的計(jì)算公式［22］：

其中，λ=μ／l表示單位面積的磁導(dǎo)，稱為導(dǎo)磁系數(shù)，μ為氣隙的磁導(dǎo)率，l為等效氣隙長(zhǎng)度。

3 發(fā)生匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子不平衡磁拉力解析

發(fā)電機(jī)發(fā)生匝間短路故障時(shí)，氣隙中的磁場(chǎng)就不再對(duì)稱，轉(zhuǎn)子就會(huì)受到不平衡磁拉力的作用。不平衡磁拉力可以分為徑向磁拉力和切向磁拉力，但徑向磁拉力要比切向磁拉力的值大很多。所以，本文只研究轉(zhuǎn)子所受的徑向磁拉力，不再考慮切向磁拉力［21］?；?.4節(jié)計(jì)算得到的故障時(shí)氣隙磁密的分布情況，利用Maxwell應(yīng)力張量法可以得到沿發(fā)電機(jī)圓周任意位置的徑向分布電磁力的密度（單位為N／m2）如下：

其中，Br和μ0分別為徑向磁密和空氣磁導(dǎo)率。

計(jì)算轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力需要對(duì)式（14）沿轉(zhuǎn)子表面閉合路徑進(jìn)行積分：

其中，Drotor為轉(zhuǎn)子直徑；Lrotor為轉(zhuǎn)子鐵芯的長(zhǎng)度。

利用數(shù)值法對(duì)式（15）進(jìn)行積分求解，需要對(duì)連續(xù)數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化處理，可以在此路徑上均勻取Nδ個(gè)離散單元，每個(gè)離散單元對(duì)應(yīng)的定子坐標(biāo)電角度為 xs，m（m=1，2，…，Nδ），計(jì)算得到每個(gè)單元所受的徑向磁拉力為：

其中，Δxs為相鄰的2個(gè)離散單元對(duì)應(yīng)的定子坐標(biāo)電角度差。

由式（16）可得到徑向磁拉力在全局坐標(biāo)系下X軸和Y軸方向的分力，疊加后即為轉(zhuǎn)子在X軸和Y軸方向受到的不平衡磁拉力FX和FY。

在得到FX和FY的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步求出不平衡磁拉力的模值FUMP和方向αUMP（αUMP為不平衡磁拉力與全局坐標(biāo)系X軸的夾角）：

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證對(duì)故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力的解析計(jì)算的準(zhǔn)確性，本文利用ANSYS仿真軟件對(duì)A1552樣機(jī)建立了有限元模型，并對(duì)解析模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

4.1 仿真模型與計(jì)算步驟

4.1.1 實(shí)驗(yàn)方法

為驗(yàn)證多回路數(shù)學(xué)模型計(jì)算聯(lián)網(wǎng)負(fù)載時(shí)1對(duì)極A1552樣機(jī)發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障的精度，需要利用實(shí)驗(yàn)樣機(jī)進(jìn)行發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子匝間短路實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)A1552轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示。圖中，轉(zhuǎn)子為2極的疊片鐵芯，包括等間隔的24個(gè)槽，實(shí)際勵(lì)磁槽數(shù)為20個(gè)，每極下有2個(gè)空槽；每極都有5個(gè)勵(lì)磁同心線圈，放置在兩兩對(duì)稱的10個(gè)勵(lì)磁槽中，勵(lì)磁繞組串聯(lián)總匝數(shù)為660。A1552樣機(jī)在勵(lì)磁繞組的內(nèi)部引出了7個(gè)抽頭，除了首末端2個(gè)抽頭外，另5個(gè)抽頭用于進(jìn)行勵(lì)磁繞組匝間短路實(shí)驗(yàn)使用。A1552樣機(jī)的參數(shù)為：額定容量為12 kW；額定電壓為400V；額定勵(lì)磁電流為8.5A，空載勵(lì)磁電流為6A；額定功率因數(shù)為0.8（滯后）；額定頻率為50 Hz；極對(duì)數(shù)為1；氣隙長(zhǎng)度為1.5 mm；定子每相并聯(lián)支路數(shù)為2；定子每支路串聯(lián)線圈數(shù)為6；定子線圈節(jié)距為15；定子每槽導(dǎo)體數(shù)為12；轉(zhuǎn)子槽分度數(shù)為24；勵(lì)磁繞組每極串聯(lián)匝數(shù)為330；勵(lì)磁繞組并聯(lián)支路為1；轉(zhuǎn)子實(shí)槽數(shù)為20；轉(zhuǎn)子每極阻尼條數(shù)為7。

圖5 A1552實(shí)驗(yàn)樣機(jī)轉(zhuǎn)子沖片和勵(lì)磁繞組引出的抽頭Fig.5 Rotor lamination and field winding taps of prototype A1552

選擇如此多的匝數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比是為了盡量排除電機(jī)制造因素帶來的仿真與計(jì)算的偏差。聯(lián)網(wǎng)負(fù)載時(shí)，樣機(jī)a2分支電流的多回路法得到的仿真波形和實(shí)驗(yàn)波形如圖6所示。由圖可見，仿真波形和實(shí)驗(yàn)波形吻合良好。

圖6 聯(lián)網(wǎng)負(fù)載時(shí)，發(fā)生2-4抽頭短路故障情況下的a2分支電流波形Fig.6 Current waveforms of Branch a2 when short circuit occurs between Tap 2 and 4，in grid-connecting condition

為進(jìn)一步驗(yàn)證場(chǎng)多回路法計(jì)算的精確度，用FFT分析得到實(shí)驗(yàn)中定、轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)電流的各次諧波分量有效值，并與計(jì)算的穩(wěn)態(tài)值進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)也給出了多回路法計(jì)算的各次諧波分量，如表1所示。

由表1可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和利用多回路法得到的計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型計(jì)算1對(duì)極同步發(fā)電機(jī)聯(lián)網(wǎng)時(shí)發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障的正確性。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用多回路法計(jì)算發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子阻尼回路和定子電樞的穩(wěn)態(tài)電流有效值和相位，結(jié)果分別如表2和表3所示。

表1 聯(lián)網(wǎng)負(fù)載時(shí)，發(fā)生2-4抽頭短路故障情況下，穩(wěn)態(tài)電流各次諧波分量Table1 Harmonic components of steady-state current when short circuit occurs between Tap 2 and 4，in grid-connecting condition

表2 轉(zhuǎn)子阻尼回路的穩(wěn)態(tài)電流有效值和相位的實(shí)驗(yàn)值Table 2 Experimental RMS and phase of steady-state currents of rotor damping loops

表3 定子電樞的穩(wěn)態(tài)電流有效值和相位的實(shí)驗(yàn)值Table 3 Experimental RMS and phase of steady-state currents of stator armatures

4.1.2 發(fā)電機(jī)的有限元模型

以隱極式發(fā)電機(jī)A1552樣機(jī)為例，進(jìn)行有限元建模。

本文利用有限元分析軟件ANSYS建立了A1552樣機(jī)的整個(gè)橫截面的二維有限元物理模型，見圖7。

圖7 發(fā)電機(jī)有限元物理模型Fig.7 Finite element model of generator

在建立有限元模型時(shí)，作如下假定：

a.不考慮位移電流和靜態(tài)自由電荷，認(rèn)為電位移矢量隨時(shí)間的變化率對(duì)曲面的積分為零，即電磁場(chǎng)為似穩(wěn)場(chǎng)；

b.不考慮發(fā)電機(jī)的端部效應(yīng)，認(rèn)為磁場(chǎng)在Z軸方向上分布均勻；

c.忽略鐵磁材料的磁滯效應(yīng)，認(rèn)為鐵芯單向同性，具有單值的B-H曲線；

d.進(jìn)行靜態(tài)磁場(chǎng)分析，不考慮磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化效應(yīng)，如渦流等。

由于采用靜態(tài)磁場(chǎng)分析，所以某時(shí)刻電機(jī)內(nèi)的磁場(chǎng)視為恒定磁場(chǎng)，引入矢量磁位A表示磁通密度B，根據(jù)亥姆霍茲定理，得：

其中，為哈密爾頓算子。

對(duì)于XY坐標(biāo)系內(nèi)的二維平面場(chǎng)，設(shè)電流密度和矢量磁位只有Z軸方向的分量，因而采用矢量磁位AZ建立的發(fā)電機(jī)二維磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型為：

其中，μ為磁導(dǎo)率；JZ為電流密度的Z軸分量；AZ0為邊界τ的已知值，符合第一類邊界條件?？紤]到鐵芯磁導(dǎo)遠(yuǎn)大于空氣磁導(dǎo)，認(rèn)為幾乎沒有磁通穿過定子外表面，磁力線在定子外表面處與邊界平行，即認(rèn)為矢量磁位A沿鐵芯表面切線方向沒有變化，滿足AZ0=0。

模型采用六節(jié)點(diǎn)的三角形網(wǎng)格進(jìn)行了智能剖分，由于氣隙內(nèi)的磁場(chǎng)分布情況是分析線圈耦合參數(shù)的關(guān)鍵，為保證剖分密度，將剖分起始位置設(shè)置在氣隙處。剖分后的模型如圖8所示。在所剖分的每一個(gè)單元中，保存的材料磁導(dǎo)都認(rèn)為是固定不變的，所以每一個(gè)單元都滿足式（21）的Ω磁場(chǎng)描述。

圖8 三角形剖分的有限元模型Fig.8 Finite element model meshed by triangle elements

4.1.3 有限元法分析不平衡磁拉力的步驟

采用有限元法分析短路故障下轉(zhuǎn)子所受的不平衡磁拉力的步驟如下：

a.利用多回路法計(jì)算A1552樣機(jī)聯(lián)網(wǎng)負(fù)載條件下發(fā)生轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)的轉(zhuǎn)子勵(lì)磁電流、阻尼電流和定子電樞電流等相關(guān)運(yùn)行數(shù)據(jù)；

b.根據(jù)實(shí)際尺寸建立發(fā)電機(jī)的二維有限元物理模型；

c.將步驟a得到的運(yùn)行數(shù)據(jù)導(dǎo)入步驟b建立的有限元物理模型，計(jì)算發(fā)生匝間短路故障時(shí)發(fā)電機(jī)內(nèi)部電磁場(chǎng)，得到沿氣隙圓周各個(gè)單元的磁密并保存；

d.計(jì)算勵(lì)磁繞組匝間短路故障發(fā)生時(shí)沿轉(zhuǎn)子表面各個(gè)單元所受的電磁力和整個(gè)轉(zhuǎn)子所受的不平衡磁拉力；

e.改變轉(zhuǎn)子位置，重復(fù)步驟c、d，直到轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周為止。

另外，模型在氣隙的中心位置設(shè)置了一條氣隙線，通過該氣隙線將氣隙分為定子氣隙和轉(zhuǎn)子氣隙兩部分。通過對(duì)定、轉(zhuǎn)子氣隙分界線上的節(jié)點(diǎn)組成不同的耦合點(diǎn)集，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的自動(dòng)旋轉(zhuǎn)，而不需要修改原始的物理模型。

4.2 解析模型計(jì)算和有限元計(jì)算結(jié)果的對(duì)比分析

通過建立發(fā)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型和物理模型，并利用解析模型計(jì)算和有限元計(jì)算2種方法，在轉(zhuǎn)子發(fā)生匝間短路時(shí)，求取了氣隙磁密的分布情況和轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力，結(jié)果如圖9—13所示。

圖9 發(fā)生匝間短路故障時(shí)氣隙的磁密分布Fig.9 Flux density distribution of air-gap during inter-turn short circuit

圖10 發(fā)生匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受的X軸向不平衡磁拉力Fig.10 X-axial unbalanced magnetic pull of rotor during inter-turn short circuit

圖9為由解析模型計(jì)算和有限元計(jì)算2種方法得到的同步發(fā)電機(jī)發(fā)生轉(zhuǎn)子匝間短路故障時(shí)氣隙磁 密的分布情況，此時(shí)轉(zhuǎn)子位置角γ=0°；圖10和圖11分別為轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力在X軸和Y軸方向的分量；圖12和圖13分別為不平衡磁拉力的方向和模值，可以看出此不平衡磁拉力與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一周，其幅值周期性地變化6次。由圖9—13可以看出，利用2種方法得到的結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了不平衡磁拉力解析計(jì)算模型的正確性。此外，整個(gè)有限元計(jì)算過程耗時(shí)長(zhǎng)達(dá)2 h，而整個(gè)解析模型計(jì)算過程僅耗時(shí)1 min，充分證明了解析模型計(jì)算相比于有限元計(jì)算耗時(shí)更短、效率更高。

4.3 不平衡磁拉力的影響因素分析

4.3.1 故障位置對(duì)不平衡磁拉力的影響

為研究不同的短路位置對(duì)轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力的影響，分別計(jì)算轉(zhuǎn)子的11′—55′同心式線圈分別發(fā)生5匝短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力，計(jì)算時(shí)選取額定工況，轉(zhuǎn)子位置角γ=0°（下文相同），結(jié)果如表4所示。

由表4的結(jié)果可以看出，在短路匝數(shù)相同的前提下，故障位置越靠近磁極大齒，即轉(zhuǎn)子的d軸，轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力越大。

圖11 發(fā)生匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受的Y軸向不平衡磁拉力Fig.11 Y-axial unbalanced magnetic pull of rotor during inter-turn short circuit

圖12 發(fā)生匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力的方向Fig.12 Direction of unbalanced magnetic pull of rotor during inter-turn short circuit

圖13 發(fā)生匝間短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受不平衡磁拉力的大小Fig.13 Magnitude of unbalanced magnetic pull of rotor during inter-turn short circuit

表4 不平衡磁拉力隨短路位置的變化情況Table 4 Variation of unbalanced magnetic pull along with short circuit location

4.3.2 短路匝數(shù)對(duì)不平衡磁拉力的影響

為探討短路匝數(shù)對(duì)不平衡磁拉力的影響，對(duì)A1552樣機(jī)勵(lì)磁繞組同心式線圈11′發(fā)生不同匝數(shù)的短路故障時(shí)轉(zhuǎn)子所受到的不平衡磁拉力進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖14所示。

圖14 不平衡磁拉力隨短路匝數(shù)的變化情況Fig.14 Variation of unbalanced magnetic pull along with short circuit turns

由圖14可見，在故障位置確定的前提下，短路匝數(shù)和轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力呈近似線性關(guān)系，不平衡磁拉力的模值隨著短路匝數(shù)的增加而增加。

5 結(jié)論

本文采用解析模型計(jì)算和有限元計(jì)算2種方法對(duì)1對(duì)極隱極同步發(fā)電機(jī)發(fā)生勵(lì)磁繞組匝間短路故障進(jìn)行計(jì)算，將2種方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文所提解析模型計(jì)算的正確性和高效性。在此基礎(chǔ)上又對(duì)匝間短路故障位置和短路匝數(shù)等因素對(duì)不平衡磁拉力的影響進(jìn)行了分析，得出了以下結(jié)論：

（1）短路匝數(shù)相同的前提下，故障位置越靠近磁極大齒，轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力越大；

（2）故障位置確定的前提下，短路匝數(shù)和轉(zhuǎn)子受到的不平衡磁拉力呈近似的線性正相關(guān)關(guān)系。

本文研究將在一定程度上有助于改變大型汽輪發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子匝間短路故障在線診斷中轉(zhuǎn)子不平衡磁拉力難以測(cè)量的問題，大幅提高匝間短路故障在線診斷的效率。

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