朱曉嶺 ，楊 靜 ，韓鐘寬 ，王書淵 ，張宇馳

（1.國網(wǎng)冀北電力有限公司，北京 100053；2.國網(wǎng)福建長樂市供電有限公司，福建 長樂 350200；3.國網(wǎng)冀北經(jīng)研院，北京 100045）

0 引言

電力電纜在輸配電系統(tǒng)中起著舉足輕重的作用，電纜線路的安全運(yùn)行決定了輸配電系統(tǒng)整體的可靠性。我國投運(yùn)的部分電力電纜的服役時(shí)間較長，即將或者已經(jīng)達(dá)到預(yù)期使用壽命，發(fā)生絕緣老化導(dǎo)致絕緣性能下降，給電纜的安全運(yùn)行帶來了極大的隱患［1］，但隨著電力電纜規(guī)模高速增長，電網(wǎng)中運(yùn)行著大量投運(yùn)時(shí)間較短的電纜，它們大部分狀況良好，不容易出現(xiàn)老化［2-3］引起的故障。因此，針對不同狀態(tài)的電纜需要制定差異化的運(yùn)行維護(hù)策略，從而實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)差異化、精益化運(yùn)維管理。

早年的電纜維護(hù)是基于時(shí)間的維護(hù)，即定期對電纜進(jìn)行維護(hù)。但是，在過去的20年里，基于時(shí)間的維護(hù)策略已經(jīng)逐漸向狀態(tài)檢修策略轉(zhuǎn)變［3］。當(dāng)故障數(shù)據(jù)分析、診斷測試數(shù)據(jù)分析、在線和離線監(jiān)測結(jié)果表明電纜線路存在缺陷，或當(dāng)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明故障概率上升時(shí)，根據(jù)狀態(tài)檢修標(biāo)準(zhǔn)采取維護(hù)措施。然而，現(xiàn)有狀態(tài)監(jiān)測技術(shù)的數(shù)據(jù)分析方法還不完善，電纜線路地域分布廣、監(jiān)測成本高，現(xiàn)有狀態(tài)監(jiān)測方法還沒有應(yīng)用于所有電纜線路［3-5］。近年來，在電纜絕緣老化建模和故障數(shù)據(jù)分析方面已經(jīng)開展了少量的工作［6-9］。老化模型可以幫助預(yù)估電纜線路由于老化引起的失效故障概率［6-7］，統(tǒng)計(jì)學(xué)方法可以通過歷史故障數(shù)據(jù)得出不同種類電纜群體的老化過程和趨勢［8-9］。在運(yùn)維決策優(yōu)化和退役管理方面，已有報(bào)道［10-13］利用動態(tài)規(guī)劃模型對假設(shè)一定比例電纜存在缺陷的電纜群體提出了一種優(yōu)化方法。

本文針對中高壓電力電纜，提出了一種基于隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃的電力電纜運(yùn)維和更換／退役優(yōu)化策略的模型和實(shí)施方法。利用能夠預(yù)測電纜絕緣狀況演變的老化模型，評估優(yōu)化規(guī)劃的時(shí)間范圍。隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃方法可以幫助運(yùn)維決策和主動退役方案的制定，基于這一模型，考慮電纜故障具有一定程度的隨機(jī)性，把電纜故障作為一個(gè)隨機(jī)過程，將運(yùn)維策略的最優(yōu)化問題用數(shù)學(xué)方法解決。對于電力電纜而言，運(yùn)維決策包括預(yù)防性維護(hù)和糾正性維護(hù)。預(yù)防性維護(hù)通過防止電纜故障原因的發(fā)生提高其可靠性；而糾正性維護(hù)則是在電纜故障發(fā)生后，將其恢復(fù)到運(yùn)行狀態(tài)。預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)和主動退役更換為制定維護(hù)策略和退役管理提供了一個(gè)優(yōu)化空間。

1 電纜線路的老化模型和優(yōu)化區(qū)間

1.1 電纜電熱老化模型

電纜故障的原因主要包括正常的老化過程，即電纜材料在各種應(yīng)力作用下發(fā)生的性能下降，且不可逆轉(zhuǎn)的劣化過程［14］。電纜的制造、運(yùn)輸和安裝過程中產(chǎn)生的缺陷也會加速電纜的老化速率或造成電纜故障。正常的老化過程又與電纜敷設(shè)方式有關(guān)，敷設(shè)方式會影響電纜通道環(huán)境，從而影響電纜的老化速率，間接地影響電纜壽命，文獻(xiàn)［15］列出了不同安裝環(huán)境下XLPE電纜本體的使用壽命。另外，電纜外護(hù)層也對電纜的壽命有影響，它具有保護(hù)電纜本體與主絕緣、防止水分入侵的作用，當(dāng)電纜外護(hù)層發(fā)生破損或電纜故障時(shí)，會發(fā)生電纜護(hù)層電流上升的現(xiàn)象，過高的護(hù)層電流會導(dǎo)致電纜溫度升高，縮短電纜的使用壽命［14］。

一些投運(yùn)時(shí)間較短但負(fù)荷滿載、超載和處在惡劣的運(yùn)行環(huán)境中的電纜線路可能在無預(yù)警的情況下突然發(fā)生故障，而另一些電纜盡管投運(yùn)時(shí)間長但因歷史負(fù)荷偏低和運(yùn)行環(huán)境較好仍然處于良好狀況，按投運(yùn)時(shí)間進(jìn)行維護(hù)更換會導(dǎo)致極大的浪費(fèi)。分析電纜的老化過程有助于掌握在運(yùn)電纜線路的不同老化程度并預(yù)測其可靠性的變化，這對于制定電纜線路運(yùn)維策略極其重要。

電纜的溫度主要有2個(gè)影響因素：電流焦耳效應(yīng)產(chǎn)生的熱量和電纜周圍環(huán)境引起的熱量耗散。在已知每小時(shí)負(fù)荷的情況下，可根據(jù)IEEE Std 242—2001標(biāo)準(zhǔn)提供的公式計(jì)算出電力電纜的運(yùn)行溫度。電流的熱效應(yīng)和土壤的環(huán)境溫度對電纜溫度的升高有協(xié)同作用。除特殊情況下電纜載流量超過額定載流量以外，大部分時(shí)間低于額定電流值。因此，電纜絕緣層表面溫度一般低于額定最高溫度。Montsinger于1930年首次開展了電纜絕緣的老化實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)溫度超過額定值8～10°C時(shí)，電纜壽命會縮短一半［16］，并發(fā)表了絕緣材料熱老化壽命與溫度成指數(shù)關(guān)系的結(jié)論。

基于實(shí)驗(yàn)室加速老化實(shí)驗(yàn)，Dalkin發(fā)現(xiàn)熱老化過程是由于溫度引起的化學(xué)反應(yīng)造成的，老化速率和溫度的關(guān)系可以由Arrhenius公式得到［6-7］。

其中，Lu為使用壽命（h）；A為頻率常數(shù)；e為絕緣材料的激活能（kJ／mol）；R 為普適氣體常數(shù)；T 為實(shí)驗(yàn)開爾文溫度（K）。

電應(yīng)力引發(fā)的老化對絕緣材料而言是一個(gè)漸近的劣化過程。電老化與局部放電、水樹、電樹以及空間電荷等密切關(guān)聯(lián)，這些現(xiàn)象通常是由于絕緣材料中存在氣隙、缺陷和雜質(zhì)等引起的。常用的電老化包括線性和指數(shù)模型［7］。

當(dāng)電壓超過電纜額定值時(shí)就有可能發(fā)生電擊穿。當(dāng)電纜所加的電壓值恒定時(shí)，反乘冪法則和指數(shù)模型都可以用來表示電壓／電場關(guān)系和絕緣壽命。電纜的剩余電熱壽命LE，TC可以由反乘冪法則計(jì)算得到［6，17］：

其中，T′為通常熱應(yīng)力情況下的開爾文溫度；TC（ti）為在時(shí)間ti內(nèi)的導(dǎo)體溫度；TC，0為允許的最高開爾文溫度；E為最高電場強(qiáng)度；E0為引起電老化的電場強(qiáng)度臨界值；L0為在 TC，0=TC（ti）、E=E0時(shí)以 h 為單位的電纜壽命；n0為在 TC，0=TC（ti）的耐壓系數(shù)；bET為電熱溫度協(xié)同作用常數(shù)；KB為玻爾茲曼常數(shù)；W為通過短期實(shí)驗(yàn)得到的活化能。

Mantanari等人利用上述理論公式在實(shí)驗(yàn)室針對不同絕緣材料展開了一系列實(shí)驗(yàn)并得出了電纜絕緣材料的壽命曲線［8］。 Swati［17］以 2 個(gè)實(shí)際案例展示了如何結(jié)合電熱老化模型、電纜環(huán)境溫度和負(fù)荷歷史估算電纜的剩余壽命，如圖1所示。圖1給出了2條電纜的絕緣老化趨勢，2條電纜連續(xù)運(yùn)行年限分別為I0和IJ，其實(shí)際年齡分別為a0和aJ。這些電纜具有相似的設(shè)計(jì)和運(yùn)行工況。絕緣老化在其加劇前很長一段時(shí)間內(nèi)是可以忽略的。圖中電纜可以接受的最高老化水平假設(shè)為75%，該門檻值可以根據(jù)實(shí)際要求變動。

圖1 電纜絕緣老化水平隨使用壽命的變化Fig.1 Variation of cable insulation aging level along with service life

電熱老化模型充分考慮了運(yùn)行條件對電纜運(yùn)行壽命的影響，可用于預(yù)測電纜的剩余壽命，并據(jù)此確定最佳維護(hù)和更換時(shí)間。

1.2 時(shí)間上的優(yōu)化區(qū)間

在不同的服役階段，電纜狀態(tài)會因絕緣老化和其他因素而發(fā)生變化，根據(jù)電纜線路的個(gè)體狀態(tài)應(yīng)采取不同的維護(hù)措施。應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃模型需要設(shè)置一個(gè)有限的時(shí)間區(qū)段，或者稱之為優(yōu)化區(qū)間，即在選定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)對維護(hù)措施進(jìn)行選擇或優(yōu)化［18-19］。這個(gè)優(yōu)化區(qū)間可由上述隨機(jī)老化模型或統(tǒng)計(jì)學(xué)模型決定，并得到絕緣老化概率隨時(shí)間的變化。本文考慮的優(yōu)化區(qū)間是以電纜的服役時(shí)間為起點(diǎn)，到最大可接受故障概率發(fā)生時(shí)的時(shí)間點(diǎn)為止（如圖1中2條電纜線路所考慮的時(shí)間區(qū)段分別為a0和aJ）。

電力電纜故障失效時(shí)間是由于隨機(jī)因素、老化，或是兩者同時(shí)作用的結(jié)果。隨機(jī)故障會造成歷史故障率的波動，電纜的主動更換不應(yīng)受到影響。雖然電纜線路的局部老化會造成電纜隨機(jī)故障，然而在日常負(fù)載周期電熱應(yīng)力的影響下，整個(gè)電纜的絕緣老化是一個(gè)緩慢持續(xù)的過程［6-7］。由電纜局部老化引起的電纜故障，不必更換整條電纜，只需用一小段電纜來替換局部的老化電纜。在優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，當(dāng)整條電纜的絕緣狀況處于很低水平，或者當(dāng)整個(gè)維護(hù)成本（包括預(yù)防性維護(hù)和糾正性維護(hù)）和發(fā)生故障帶來的損失在有限區(qū)間內(nèi)超過更換成本時(shí)，最佳維護(hù)策略是更換電纜。因此，電力電纜維護(hù)策略的優(yōu)化決策空間由4項(xiàng)決策組成：保持現(xiàn)狀K（Keep），即不需要對電纜采取任何措施；預(yù)防性維護(hù)PM（Preventive Maintenance），即在故障可能發(fā)生之前采取預(yù)防性措施；故障后維護(hù) CM（Corrective Maintenance），即在故障發(fā)生后維護(hù)更換；主動更換RP（RePlace）。預(yù)防性維護(hù)通過預(yù)防電纜故障的發(fā)生，降低意外斷電的概率，如采取缺陷修復(fù)和在線監(jiān)測手段及時(shí)發(fā)現(xiàn)缺陷［13，20-21］。

2 成本

伴隨著不同的決策措施，有4項(xiàng)成本：更換成本CRP、故障成本 CF、維護(hù)成本 CM和維修成本 CR［18-19］。

（1）更換成本。

每km電力電纜的更換成本CRP由式（3）決定：

其中，Ccable為每km長度電纜（含附件）的購置成本（元）；Cinst包括電纜每km長度的運(yùn)輸、安裝成本和退役后的處置費(fèi)用（元）。

（2）故障造成非計(jì)劃斷電帶來的損失。

電纜線路故障造成非計(jì)劃停運(yùn)所帶來的損失取決于用戶等級h。對于用戶等級高的電力用戶，系統(tǒng)運(yùn)行安全是首要的考慮因素，經(jīng)濟(jì)不能衡量系統(tǒng)斷電的損失，對于這類用戶，本文模型不再適用；一般而言，工業(yè)用戶和商業(yè)用戶的每kW·h損失高于居民和農(nóng)業(yè)用戶。對于h等級用戶，停電損失CF可由式（4）計(jì)算得出［18］。

其中，dh為h等級用戶每kW·h的非計(jì)劃停電帶來的工業(yè)損失；H為故障造成斷電所涉及的所有用戶群體；bh為h等級用戶的電費(fèi)損失；tr為非計(jì)劃斷電平均時(shí)間長度；Lh為h等級用戶平均每小時(shí)用電量。

（3）維護(hù)成本。

對電纜線路采取恰當(dāng)?shù)念A(yù)防性維護(hù)措施可以減少非計(jì)劃斷電事故的發(fā)生，如美國對20世紀(jì)70年代生產(chǎn)的交聯(lián)電纜采取預(yù)修復(fù)措施防止了大量事故的發(fā)生［20］；土壤結(jié)構(gòu)和水分或潮濕程度的變化可以通過日常巡視來減少其對故障率的惡性影響；一些制造和安裝缺陷可以通過局部放電的測試來排查。

電纜線路每年每km的維護(hù)費(fèi)用CM可以用式（5）表達(dá)：

其中，Cz為各種預(yù)防性的維護(hù)和測試費(fèi)用；z為第z次對電纜進(jìn)行維護(hù)；Z為維護(hù)總次數(shù)。

（4）故障后修復(fù)成本。

電纜線路故障后需要首先對故障點(diǎn)進(jìn)行定位和故障原因分析，然后再進(jìn)行修復(fù)。電纜故障的定位和故障原因分析難度和費(fèi)用遠(yuǎn)大于架空線，且目前的技術(shù)水平尚難以清楚排查所有故障原因。所以修復(fù)包括2種情形：第一種是明確故障原因后修復(fù)，修復(fù)后狀態(tài)完好如初；第二種情形是故障原因不明的情況下修復(fù)，結(jié)果是投運(yùn)后再次發(fā)生故障。

所以，故障后修復(fù)費(fèi)用CRCM由式（6）給出：

其中，Cdet為線路故障后每km的定位測試費(fèi)用；l為線路長度（km）；CAR為每km線路平均修復(fù)費(fèi)用；故障后修復(fù)費(fèi)用CRCM通常高于預(yù)防性維護(hù)費(fèi)用CM。

3 隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃

電力電纜故障很難完全消除，但電纜潛在故障發(fā)生的風(fēng)險(xiǎn)可以通過評估電力公司和用戶的潛在損失來衡量，并據(jù)此將故障概率降低到最低。

圖2顯示了計(jì)劃區(qū)間［0，T］內(nèi)，預(yù)防性維護(hù)措施對電纜故障概率的影響。將電纜本體作為一個(gè)可修復(fù)的設(shè)備，其故障概率分布服從前述老化模型，文獻(xiàn)［6］展示了該模型在電力電纜線路的詳細(xì)應(yīng)用。設(shè)計(jì)和安裝年限相似的電纜，其故障概率分布函數(shù)可以表示為 F（a）=P（t≤a），其中，t為故障時(shí)間，a 為電纜在時(shí)間軸上的壽命。采取主動維護(hù)措施后電纜的實(shí)際有效壽命為a′。這里，電纜壽命和投運(yùn)時(shí)間按年計(jì)算。圖2中最左側(cè)延伸曲線給出了無維護(hù)措施或未知?dú)v史維護(hù)信息情況下電纜的故障概率變化。預(yù)防性維護(hù)措施降低了電纜故障概率，但它只能檢測部分潛在的故障原因，而且仍存在其他未發(fā)現(xiàn)的原因，所以，應(yīng)用預(yù)防性維護(hù)措施能降低部分故障的概率［19］。假設(shè)電纜的故障概率減小了x%，則相比無維護(hù)措施的電纜，有維護(hù)措施的電纜壽命將更長。減小的故障概率為：

圖2 計(jì)劃區(qū)間及預(yù)防性維護(hù)后的實(shí)際壽命Fig.2 Planning period and effective age after preventive maintenance

實(shí)際有效壽命顯示了維護(hù)措施所帶來的正面影響，它與故障概率相關(guān)。如果采取維護(hù)措施的電纜故障概率低于無維護(hù)措施電纜的故障概率，那么采取維護(hù)措施對于電纜的狀況具有積極影響，則a′＞a。同理，如果兩者的故障概率相同，則說明維護(hù)對電纜的狀況沒有影響，則 a′=a。

3.1 階段和狀態(tài)

假設(shè)每年度在年初需做出最優(yōu)決策方案，那么，以每一年為一個(gè)階段，在任意一個(gè)階段t（t=0，1，…，T），一條電纜線路或一段電纜只存在2種狀態(tài)，即處于實(shí)際投運(yùn)年數(shù)a′t時(shí)的運(yùn)行狀態(tài)，或者是故障狀態(tài) Fa′t。 其狀態(tài)集為 S=｛a′t，F(xiàn)a′t｝。

3.2 決策

在任意階段t，可做出4種決策：保持現(xiàn)狀、預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)、更換。對于一條電纜采取的所有決策定義為決策集D：｛K，PM，CM，RP｝，如表1所示。

表1 包含所有狀態(tài)的決策空間Table 1 Decision space containing all statuses

3.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率

電纜不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)換取決于決策集D的選擇。電纜從t階段時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換到t+1階段的狀態(tài)的概率，取決于當(dāng)前的狀態(tài)和決策集D。如果電纜處于運(yùn)行狀態(tài)a′t，且在此階段沒有發(fā)生故障，那么可以采取 3種不同決策，即D=｛K，PM，RP｝。 通過這些決策，電纜的現(xiàn)狀能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N運(yùn)行狀態(tài)F或者故障狀態(tài)F。假設(shè)在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的任意階段t，電纜處于狀態(tài)a′t。保持現(xiàn)狀決策能將電纜的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閠+1階段下2種可能的狀態(tài)之一，即電纜狀態(tài)能夠轉(zhuǎn)換為運(yùn)行狀態(tài) a′t+1=a′t+1，或是故障狀態(tài) Fa′t+1。在采取保持現(xiàn)狀決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為 FK：P（Fa′t+1|a′t，K），根據(jù)故障概率分布函數(shù)，F(xiàn)K=P（a′t+1|a′t，K）；電纜不發(fā)生故障的概率記為它與此狀態(tài)下 FK的概率之和為 1。

在狀態(tài)a′t下，預(yù)防性維護(hù)決策能夠檢測x%的故障事件，并能夠?qū)⒐收细怕式档拖嗤壤?，同時(shí)假設(shè)未檢測出的故障原因和無效的預(yù)防性維護(hù)措施會使電纜狀態(tài)在t+1階段轉(zhuǎn)換成故障狀態(tài)，如圖3所示。采取預(yù)防性維護(hù)措施后狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換概率為：

其中，P（UD）為預(yù)防性維護(hù)措施未檢測出會導(dǎo)致電纜故障的原因的概率；P（D）為檢測出會導(dǎo)致電纜故障原因的概率；P（USF）和 P（SF）分別為預(yù)防性維護(hù)措施失敗和成功的概率。

圖3 預(yù)防性維護(hù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率Fig.3 Status transition probability of preventive maintenance

運(yùn)行在狀態(tài)a′t下的電纜也有可能被新電纜替換。新的電纜具有與舊電纜不同的故障概率分布。在t+1階段，新電纜的已使用壽命為1。如果假設(shè)新電纜的安裝合理可靠，那么可以忽略其第一年的故障概率，新電纜將極有可能轉(zhuǎn)換到運(yùn)行狀態(tài)a′t+1=1，如方程（10）所示。采取主動更換決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為 FRP：P（Fa′t+1|a′t，RP）；電纜不發(fā)生故障的概率記為 FRP：P（1|a′t，RP），它與此狀態(tài)下FRP的概率之和為1。

如果電纜處于故障狀態(tài)Fa′t，那么決策策略只能選擇糾正性維護(hù)決策D=｛CM｝。通過實(shí)施糾正性維護(hù)，電纜能夠恢復(fù)其運(yùn)行狀態(tài)F，或者再次變成故障狀態(tài)F。在故障狀態(tài)Fa′t下采取糾正性維護(hù)決策后的a′t+1狀態(tài)下，電纜發(fā)生故障的概率記為FCM：P（Fa′t+1|Fa′t，CM），它等于在前一狀態(tài) a′t下不發(fā)生故障的概率，根據(jù)故障概率分布函數(shù)可以得到FCM=1-P（a′t|Fa′t，CM）；電纜不發(fā)生故障的概率記為P（a′t+1|Fa′t，CM），它與此狀態(tài)下 FCM的概率之和為1。在糾正性維護(hù)措施中，完美的修理能使電纜完好如新；簡單的修理能使電纜恢復(fù)到故障前的運(yùn)行狀態(tài)；適當(dāng)?shù)男蘩砟苁闺娎|恢復(fù)到介于前兩者之間的一般運(yùn)行狀態(tài)；最差的修理則無法使電纜恢復(fù)到運(yùn)行狀態(tài)。這里假設(shè)糾正性維護(hù)采取適當(dāng)?shù)男蘩?，即可使電纜恢復(fù)到一般運(yùn)行狀態(tài)，其轉(zhuǎn)換概率為FCM。

4 目標(biāo)函數(shù)和遞歸函數(shù)

式（12）的目標(biāo)是在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)將維護(hù)的總成本最小化。針對所有可能的狀態(tài)，通過求解Bellman方程組可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。式（13）描述了每項(xiàng)決策的相關(guān)成本期望值：保持現(xiàn)狀決策不產(chǎn)生即時(shí)成本；預(yù)防性維護(hù)決策有即時(shí)的維護(hù)成本和維修成本；更換決策有即時(shí)的更換成本；糾正性維護(hù)決策則有即時(shí)的故障成本及維修、試驗(yàn)成本。

其中，Vt+1（·）為狀態(tài)轉(zhuǎn)換后到計(jì)劃區(qū)間或優(yōu)化區(qū)間結(jié)束時(shí)未來成本的期望值；0＜t＜T。

5 模型應(yīng)用

本文提出的方法能夠應(yīng)用于已知故障概率分布和絕緣老化程度的電力電纜。將該模型應(yīng)用于我國冀北唐山地區(qū)安裝的YJLV22-10-3×240鋁芯電纜，電纜線路長500 m，投運(yùn)時(shí)間為1997年，電纜參數(shù)如表2所示。我國1997年安裝的電纜，已經(jīng)運(yùn)行近20 a，按照傳統(tǒng)做法采取更換措施，下面具體分析本文動態(tài)規(guī)劃模型給出的成本最優(yōu)的電纜運(yùn)維管理方案。

表2 交聯(lián)聚乙烯電纜參數(shù)Table 2 Parameters of XLPE cable

可以依照歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)模型得出該電纜的故障概率分布和絕緣老化等級［8，22-23］，分別如圖4和圖5所示。

圖4 故障概率分布Fig.4 Distribution of failure rate

圖5 絕緣老化等級與計(jì)劃區(qū)間Fig.5 Insulation aging level and planning period

從2015年開始計(jì)算，預(yù)計(jì)到2024年和2041年，該電纜的絕緣水平將分別降低到75%（中度老化）和99.8%（嚴(yán)重老化）。圖5顯示了優(yōu)化區(qū)間內(nèi)通過本文所提出的隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型所得到的2個(gè)不同的維護(hù)方案。第一個(gè)方案是從2015年到2024年（［0，9］），第二個(gè)方案是從 2015 年到 2041 年（［0，26］）。預(yù)防性維護(hù)減少了計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)故障概率，根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，預(yù)防性維護(hù)能檢測到65%的故障原因，并降低相同百分比的故障概率。預(yù)防性維護(hù)的轉(zhuǎn)換概率為FPM=0.65×0.90=0.585（由圖3 和式（9）得出），F(xiàn)PM=0.35+0.65×0.10=0.415。 保持現(xiàn)狀和糾正性維護(hù)措施的轉(zhuǎn)換概率可以通過前文提到的故障概率分布獲得。假設(shè)可接受的電纜故障概率為8%，則故障概率低于該水平時(shí)，不需要對電纜采取預(yù)防性維護(hù)和更換措施。

表3給出了模型的成本／費(fèi)用數(shù)據(jù)，其中平均糾正性維護(hù)成本和平均預(yù)防性維護(hù)的成本為假設(shè)數(shù)據(jù)。值得注意的是，相比維修成本、更換成本和故障成本，人們往往不重視預(yù)防性維護(hù)（診斷測試和巡查）成本。電纜的故障成本取決于用戶的等級，這對模型的結(jié)果有很大影響。本案例中，電纜的服務(wù)對象為住戶，其故障成本很低，供電可靠性較低，允許停電事故。對于案例中電纜溝敷設(shè)的電纜維護(hù)措施包括絕緣修復(fù)、通道環(huán)境改善和注射硅膠等［23］。

表3 維護(hù)和故障成本（以唐山地區(qū)為例）Table 3 Maintenance cost and failure cost（with Tangshan region as an example）

圖6 計(jì)劃區(qū)間為［0，14］和［0，39］時(shí)的最優(yōu)維護(hù)決策方案Fig.6 Optimal maintenance schemes of planning period ［0，14］and ［0，39］

圖6所示為2個(gè)不同計(jì)劃區(qū)間內(nèi)成本最小的優(yōu)化決策方案。計(jì)劃始于t=0（2015年）時(shí)，電纜處于運(yùn)行狀態(tài)，其實(shí)際壽命為a′=18 a（此時(shí)，由于沒有采取維護(hù)措施，a′=a）。 在［0，9］（2015—2024 年）計(jì)劃區(qū)間內(nèi)，計(jì)劃區(qū)間跨度較小，由于預(yù)防性維護(hù)的積極影響和較低的電纜故障成本，維護(hù)成本要低于更換成本，所以模型不建議在該計(jì)劃區(qū)間內(nèi)采取主動更換決策，建議對電纜進(jìn)行2次預(yù)防性維護(hù)。t=0（2015年）時(shí)實(shí)施一次預(yù)防性維護(hù)；在t=5（2020年）時(shí)實(shí)施第二次預(yù)防性保護(hù)措施。在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的其余所有階段（每年），均采取保持現(xiàn)狀決策。相比于優(yōu)化前，優(yōu)化后的電纜在具有相同老化水平的情況下具有較低的故障概率，電纜的故障概率由原先的0.28降低到0.15。

第2個(gè)計(jì)劃區(qū)間從2016年至2041年，時(shí)間跨度很大，最終整條電纜的絕緣故障概率將達(dá)到99.8%。由于電纜老化較重，電纜故障率較高，且注射硅橡膠的維護(hù)成本很高，模型建議在2015年（t=0）就對電纜進(jìn)行主動退役更換，更換后的新電纜故障率和老化率幾乎為0，模型建議對新電纜在2018年（t=3）和2032年（t=17）進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)，共2次，在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)的其余所有階段（每年），均采取保持現(xiàn)狀決策。這樣的決策安排在計(jì)劃區(qū)間內(nèi)是最優(yōu)的，即成本最低。在這一優(yōu)化區(qū)間內(nèi)，電纜的隨機(jī)動態(tài)模型在成本最小的條件下，降低了電纜的故障概率，實(shí)現(xiàn)了電纜的主動退役更換。

值得注意的是，本文案例所呈現(xiàn)的最優(yōu)維護(hù)策略并不是通用的，這與優(yōu)化對象的各種維護(hù)措施成本有關(guān)，且模型中部分?jǐn)?shù)據(jù)來源于案例所涉及電纜的運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，故案例結(jié)果是針對于該條電纜的最優(yōu)運(yùn)維方案，讀者可借助本文提出的隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型，依照不同電纜的相關(guān)數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的最優(yōu)運(yùn)維管理方案。

6 結(jié)語

本文提出了一種隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型，用于優(yōu)化電力電纜運(yùn)維管理策略，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用案例進(jìn)行了詳細(xì)分析。針對已知故障概率分布和絕緣老化等級的電纜，運(yùn)用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型能夠找到使其長期運(yùn)行成本最優(yōu)的運(yùn)維策略，給出合適的保持現(xiàn)狀、預(yù)防性維護(hù)、糾正性維護(hù)和電纜主動退役更換運(yùn)維方案，降低電纜的故障率。電力公司和監(jiān)管機(jī)構(gòu)可以利用該模型的概率性質(zhì)來評估資金風(fēng)險(xiǎn)。

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