賈 勇，何正友，廖 凱

（西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引言

隨著互聯(lián)電網(wǎng)規(guī)模和復(fù)雜度不斷增加，電力系統(tǒng)低頻振蕩問題已成為制約輸電聯(lián)絡(luò)線路傳輸能力的瓶頸，并嚴(yán)重威脅系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行［1-2］。近年來，以相量測量單元PMU（Phasor Measurement Unit）為基礎(chǔ)的廣域測量系統(tǒng)WAMS（Wide Area Measurement System）在系統(tǒng)調(diào)度中心得到了廣泛應(yīng)用，實現(xiàn)了大電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)信息的廣域時空統(tǒng)一測量。系統(tǒng)低頻振蕩監(jiān)測與分析是目前WAMS主要高級應(yīng)用之一［3-4］。系統(tǒng)正常運(yùn)行中負(fù)荷隨機(jī)投切等引起小幅波動的隨機(jī)響應(yīng)，能夠反映當(dāng)前系統(tǒng)振蕩模態(tài)特征［5-7］。由于電網(wǎng)客觀存在的拓?fù)溥B接及其電磁作用關(guān)系，每個PMU量測信息具有自相關(guān)性，且多個PMU量測信息之間具有直接或間接的關(guān)聯(lián)性［8］。為便于系統(tǒng)運(yùn)行人員及時全面掌握系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)，研究利用系統(tǒng)廣域時空隨機(jī)響應(yīng)準(zhǔn)確辨識振蕩模態(tài)有著重要意義。

低頻振蕩模態(tài)信息包括振蕩頻率、阻尼比和振蕩振型，通常又將振蕩頻率、阻尼比統(tǒng)稱為模式參數(shù)。模式參數(shù)是振蕩模態(tài)在時間維度上的特征，其中阻尼比參數(shù)是系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性的重要刻畫指標(biāo)；振蕩振型則是振蕩模態(tài)在空間維度上的特征，能夠反映振蕩界面及振蕩在電網(wǎng)中的分布情況［9］?，F(xiàn)有基于廣域測量隨機(jī)響應(yīng)的低頻振蕩分析方法大多對振蕩模式參數(shù)或振型分別展開辨識研究。在模式參數(shù)辨識方面，針對系統(tǒng)正常運(yùn)行下隨機(jī)負(fù)荷投切等激勵所產(chǎn)生的系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)，集中于利用單一通道信號估計振蕩頻率和阻尼比，如自回歸AR（Auto-Regressive）模型［10-11］、自回歸滑動平均 ARMA（Auto-Regressive and Moving Average）模型［12-15］等辨識方法。由于某一通道信號不能保證對系統(tǒng)的多個主導(dǎo)模態(tài)同時都具有較好的可觀性，因而利用單一信號無法同時準(zhǔn)確辨識系統(tǒng)的多個主導(dǎo)振蕩模態(tài)；此外，對某個振蕩模態(tài)，各個通道信號的辨識結(jié)果之間會存在一定偏差，如何選取或綜合各通道信號的辨識結(jié)果也將是一個難題。在振型辨識研究方面，與振蕩模式參數(shù)估計相比文獻(xiàn)則相對較少。振型辨識需要利用電網(wǎng)多個監(jiān)測點的同步數(shù)據(jù)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中主要有 Green 函數(shù)法［16］、功率譜法［17］、傳遞函數(shù)法［18］及頻率分解法［19］等。文獻(xiàn)［18］推導(dǎo)了兩通道系統(tǒng)輸出間的傳遞函數(shù)與振型的聯(lián)系，通過估計一組系統(tǒng)輸出相互間的有源自回歸（ARX）模型并建立傳遞函數(shù)，進(jìn)而估計出振蕩振型。文獻(xiàn)［20］對比分析了利用系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的振型辨識方法，指出功率譜法、頻率分解法是廣義傳遞函數(shù)的特殊形式。由于傳遞函數(shù)法不能直接辨識振蕩模式參數(shù)，需要結(jié)合其他方法估計得到系統(tǒng)振蕩模式參數(shù)，然后才能估計對應(yīng)于該振蕩模式的振型。

為了有效利用大電網(wǎng)廣域時空數(shù)據(jù)，深度挖掘電網(wǎng)固有的時空關(guān)聯(lián)特性信息，全面給出系統(tǒng)振蕩模態(tài)特征，通過分析廣域多通道信號的向量自回歸VAR（Vector AutoRegressive）模型與系統(tǒng)振蕩模態(tài)之間的聯(lián)系，提出了基于VAR模型的振蕩模態(tài)辨識方法。通過新英格蘭系統(tǒng)的蒙特卡羅仿真信號及WECC系統(tǒng)實測信號的測試，與子空間辨識方法對比分析，結(jié)果表明所提方法計算更加簡單，能有效辨識多個主導(dǎo)振蕩模態(tài)的模式參數(shù)和振蕩振型。

1 基于廣域時空隨機(jī)響應(yīng)的振蕩模態(tài)辨識

1.1 振蕩模態(tài)辨識理論基礎(chǔ)

在研究系統(tǒng)的小信號穩(wěn)定性時，通常將系統(tǒng)在某一工作點線性化，從而系統(tǒng)可用線性時不變的狀態(tài)空間模型表示。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時，假定各個負(fù)荷的隨機(jī)投切所引起的擾動為高斯白噪聲，且無法測量，系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)是同步等間隔測量的時間序列，則系統(tǒng)可簡化為如式（1）所示的離散隨機(jī)狀態(tài)空間模型。

其中，xt∈Rn×1為系統(tǒng)狀態(tài)向量；yt∈Rd×1為系統(tǒng)輸出向量；wt和vt分別為系統(tǒng)噪聲和測量噪聲；A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；C為輸出矩陣。

式（1）中的狀態(tài)空間模型可等效為一個多變量ARMA 模型［21］：

其中，Λi（i=1，2，…，p）∈Rd×d和 Qj（j=1，2，…，q）∈Rd×d分別為自回歸系數(shù)矩陣和滑動平均系數(shù)矩陣；ek（k=t，t-1，…，t-q）為白噪聲。

利用廣域時空系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)辨識振蕩模態(tài)，系統(tǒng)的振蕩模態(tài)特征僅與自回歸系數(shù)矩陣相關(guān)?？梢宰C明，式（2）也可用一個高階自回歸模型近似［22］。 由于自回歸模型系數(shù)可通過簡單的最小二乘法計算，文中考慮利用d通道隨機(jī)響應(yīng)向量序列yt，yt=［y1t，y2t，…，ydt］T∈Rd×1，構(gòu)建 VAR 模型［23］：

估計得到VAR參數(shù)Λi后，系統(tǒng)振蕩模態(tài)的計算將非常簡單。首先，利用Λi構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)矩陣H ∈Rdp×dp：

然后，對狀態(tài)矩陣H進(jìn)行特征值分解，得到離散特征值 λr及其對應(yīng)的右特征向量 φr，φr∈Rdp×1。連續(xù)系統(tǒng)模型的特征值可通過式（5）計算：

其中，Ts為采樣周期。

最后，系統(tǒng)振蕩模態(tài)sr的頻率及阻尼比為：

輸出向量yt的各通道信號對模態(tài)sr的振型為：

其中，I、zi（i=1，2，…，p-1）分別為 d×d 階的單位矩陣和零矩陣。因此，φr的前d個元素即為模態(tài)sr的振型 ψr。

1.2 VAR模型參數(shù)的最小二乘估計

假定有連續(xù)等間隔測量的系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)向量y1、…、yN，VAR 模型階數(shù)為 p，為方便起見，定義以下向量和矩陣：

則式（3）可表示為如式（9）所示的矩陣形式。

VAR模型參數(shù)矩陣Λ可通過如式（10）所示的最小二乘估計得到。

直接計算式（10）的協(xié)方差矩陣ZZT存在條件數(shù)變大的問題，由于矩陣Z的QR分解能保持原問題的條件數(shù)不變，因此本文采用QR分解來實現(xiàn)VAR模型參數(shù)的最小二乘估計［24］。利用測量數(shù)據(jù)構(gòu)造矩陣 K，K∈RN×（dp+d）。

對矩陣K進(jìn)行QR分解，即K=QR，得到一正交矩陣 Q∈RN×N和一上三角矩陣 R∈RN×（dp+d）。

其中，R11∈Rdp×dp，R12∈Rdp×d，R22∈Rd×d。

VAR模型參數(shù)矩陣及誤差協(xié)方差矩陣的計算分別如式（13）和式（14）所示。

1.3 隨機(jī)響應(yīng)的功率譜計算

對于低頻振蕩監(jiān)測等工程應(yīng)用，系統(tǒng)運(yùn)行人員重點關(guān)注的是系統(tǒng)中的主導(dǎo)模態(tài)。基于廣域多通道隨機(jī)響應(yīng)的VAR模型分析辨識得到的系統(tǒng)振蕩模態(tài)包含許多虛假模態(tài)，因此，從辨識的模態(tài)中選擇出系統(tǒng)主導(dǎo)模態(tài)也是一個重要步驟。由于系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的能量主要集中在主導(dǎo)模態(tài)的頻率分量上，可通過計算系統(tǒng)輸出隨機(jī)響應(yīng)的功率譜，并根據(jù)功率譜的峰值分布來確定主導(dǎo)模態(tài)。

VAR 模型的功率譜可由式（13）、（14）計算的系數(shù)矩陣Λ及誤差協(xié)方差矩陣Δ計算得到。

1.4 振蕩模態(tài)的辨識流程

基于廣域時空隨機(jī)響應(yīng)的振蕩模態(tài)辨識示意圖如圖1所示，主要包含以下步驟。

（1）數(shù)據(jù)讀取及預(yù)處理：利用發(fā)電機(jī)母線電壓相角信號辨識系統(tǒng)的振蕩模態(tài)。在辨識振蕩模態(tài)前，需要對相角信號進(jìn)行預(yù)處理。采用一階差分濾波及高通濾波去除穩(wěn)態(tài)趨勢，然后以10 Hz的頻率進(jìn)行采樣，最后采用有限脈沖響應(yīng)（FIR）零相移低通濾波器（截止頻率為 2.5 Hz）進(jìn)行濾波。

（2）VAR建模及參數(shù)估計：通過最終預(yù)測誤差準(zhǔn)則和反復(fù)試驗相結(jié)合的方法確定VAR模型階數(shù)，并采用QR分解實現(xiàn)VAR模型參數(shù)的最小二乘估計，分別由式（13）、（14）計算模型系數(shù)矩陣和誤差協(xié)方差矩陣。

（3）振蕩模態(tài)參數(shù)計算：在估計得到VAR模型參數(shù)后，通過式（4）—（7）計算振蕩模態(tài)的頻率、阻尼比及振型。

（4）主導(dǎo)模態(tài)確定：利用式（15）計算低頻振蕩頻率范圍（0.2～2 Hz）的功率譜，并將 d通道隨機(jī)響應(yīng)的自功率譜疊加，然后尋找幅值占絕對優(yōu)勢的局部極大值所對應(yīng)的頻率值，將其與步驟（3）計算的模態(tài)頻率比較，確定系統(tǒng)的主導(dǎo)模態(tài)。

圖1 振蕩模態(tài)辨識示意圖Fig.1 Schematic diagram of oscillation mode identification

2 仿真信號分析

通過新英格蘭系統(tǒng)的蒙特卡羅仿真，測試分析所提模態(tài)辨識方法的有效性。新英格蘭系統(tǒng)包含10臺發(fā)電機(jī)、39條母線，接線圖如圖2所示。系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)采用4階模型，除發(fā)電機(jī)G1外，其余發(fā)電機(jī)均配備了勵磁器，負(fù)荷設(shè)置為恒阻抗負(fù)荷。對該測試系統(tǒng)進(jìn)行特征值分析，得到3個區(qū)間振蕩模態(tài)，各模態(tài)的特征值、模態(tài)頻率、阻尼比及主要參與機(jī)組如表1所示。

圖2 新英格蘭系統(tǒng)單線圖Fig.2 Single-line diagram of New England system

表1 新英格蘭系統(tǒng)的區(qū)間振蕩模態(tài)Table 1 Inter-area oscillation modes of New England system

為了模擬實際系統(tǒng)中小幅度變化的隨機(jī)響應(yīng)，將系統(tǒng)中各個負(fù)荷容量的1%設(shè)置為高斯白噪聲，等效實際電網(wǎng)的負(fù)荷隨機(jī)變化。對新格蘭系統(tǒng)進(jìn)行蒙特卡羅仿真200次，每次仿真時長為10 min，收集各發(fā)電機(jī)母線的電壓相角信號，然后疊加20 dB高斯白噪聲來模擬測量噪聲的影響。

通過特征值分析可知，3個區(qū)間振蕩模態(tài)的主要參與機(jī)組為 G1、G2、G3、G5和 G9，因此選取這 5 臺發(fā)電機(jī)的母線電壓相角信號來進(jìn)行系統(tǒng)振蕩模態(tài)辨識。圖3為母線1的電壓相角預(yù)處理后得到的零均值信號。 對 G1、G2、G3、G5和 G9的母線相角信號分別分析，采用最終預(yù)測誤差準(zhǔn)則確定的模型階數(shù)分別為18、20、20、24和 24。 綜合200次仿真的模式參數(shù)辨識結(jié)果，計算振蕩頻率、阻尼比的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如表2所示。表中“—”表示利用某通道隨機(jī)響應(yīng)未能有效辨識出該振蕩模態(tài)。

圖3 預(yù)處理后母線1的相角Fig.3 Phase angle of Bus 1 after pre-processing

從表2可以看出，盡管G5與G9是模態(tài) 3的主要參與機(jī)組，在模型階數(shù)p=24時未能有效辨識出模態(tài)3?？紤]到G5與G9也是模態(tài)2的主要參與機(jī)組，同時模態(tài)2與模態(tài)3的頻率相近，可能是模態(tài)間的相互影響導(dǎo)致未能從G5和G9的母線電壓相角信號中辨識出模態(tài)3。多次試驗發(fā)現(xiàn)增加自回歸階數(shù)至一定數(shù)值后，如p=100，從G5和G9的母線電壓相角信號中辨識出了3個振蕩模態(tài)。限于篇幅，僅給出了G9母線電壓相角信號的估計結(jié)果，見表2。對比階數(shù)p=24和p=100時的估計結(jié)果，盡管增加自回歸階數(shù)能夠估計出3個振蕩模態(tài)，但3個模態(tài)的頻率和阻尼比的估計結(jié)果的方差大幅增加，估計精度較差。

表2 單通道信號的模式參數(shù)估計結(jié)果Table 2 Results of modal parameter estimation based on single-channel signals

從以上單通道隨機(jī)響應(yīng)的測試分析可以看出，利用單通道信號無法準(zhǔn)確辨識多個區(qū)間振蕩模態(tài)，且不同通道信號的辨識結(jié)果存在一定偏差。此外，利用單通道信號不能給出振蕩模態(tài)的振型信息。因此，有必要深度挖掘電網(wǎng)固有的時空關(guān)聯(lián)特性，利用電網(wǎng)廣域時空隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)模態(tài)辨識。

利用本文方法對5臺發(fā)電機(jī)的母線電壓相角信號進(jìn)行VAR建模分析，先采用最終預(yù)測誤差方法來初步確定自回歸階數(shù)，并通過反復(fù)試驗法確定的模型階數(shù)為20。5臺發(fā)電機(jī)的電壓相角信號的疊加功率譜如圖4所示。從圖中可以看出，功率譜中包含3個局部峰值，分別對應(yīng)表1中的3個區(qū)間振蕩模態(tài)，因而可以通過功率譜峰值所對應(yīng)的頻率值來確定系統(tǒng)主導(dǎo)模態(tài)。

圖4 電壓相角的疊加功率譜Fig.4 Superimposed power spectrum of voltage phase-angle

對200次仿真的辨識結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，并與子空間辨識方法［25］的辨識結(jié)果比較，如表3所示。對比表1和表3可以發(fā)現(xiàn)，本文方法與子空間辨識方法的辨識結(jié)果非常接近，3個模態(tài)的頻率、阻尼比的平均值與模態(tài)真實參數(shù)的偏差較小，且辨識結(jié)果有較小的標(biāo)準(zhǔn)差，表明2種方法都能有效辨識系統(tǒng)多個主導(dǎo)模態(tài)的振蕩頻率和阻尼比。與阻尼比相比，模態(tài)頻率的估計結(jié)果更為精確。

表3 2種方法的模式參數(shù)估計結(jié)果對比Table 3 Comparison of estimated modalparameters between two methods

振蕩振型的辨識有助于直觀地顯示某模態(tài)在電網(wǎng)中的分布情況，能夠為系統(tǒng)同調(diào)機(jī)組識別及快速失步解列等提供重要信息。為方便振蕩振型辨識結(jié)果的比較分析，以振型幅值最大的通道為基準(zhǔn)，對幅值進(jìn)行歸一化；同時對振型相位進(jìn)行移相處理，使得幅值最大的通道的相位為0°。類似地，計算200次仿真的各通道信號的振型幅值和相位的平均值A(chǔ)、θ及標(biāo)準(zhǔn)差σA、σθ，結(jié)果如表4所示，表4中同時給出了3個振蕩模態(tài)振型的特征值分析結(jié)果和子空間辨識方法的估計結(jié)果，其中振型幅值的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均為標(biāo)幺值。

從表4的估計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)振型相位有較大的標(biāo)準(zhǔn)差時其幅值都很小（如模態(tài)2的G1、G2、G3，模態(tài)3的G1）；此外，由于相隔較近的模態(tài)2和模態(tài)3的相互影響，同時參與這2個模態(tài)的機(jī)組G5和G9的振型估計方差相對較大，但估計結(jié)果能夠滿足工程應(yīng)用要求。本文方法與子空間辨識方法的辨識結(jié)果非常接近，且與特征值分析結(jié)果相符，都能有效估計出振蕩模態(tài)的振型。表4中振蕩振型歸一化幅值量化了各通道信號對振蕩模態(tài)的相對參與程度，振型相角則顯示了各通道信號的相互搖擺關(guān)系。

以上新英格蘭系統(tǒng)蒙特卡羅仿真信號的測試分析表明，本文方法及子空間辨識方法都能利用廣域時空隨機(jī)響應(yīng)有效辨識系統(tǒng)振蕩模態(tài)，2種方法的辨識性能非常接近。最后，在2.4 GHz i3處理器、4 G內(nèi)存的電腦上測試了2種方法200次仿真的辨識效率。本文方法和子空間辨識方法的辨識時間分別是24.41 s和231.96 s，可見，與子空間辨識方法相比，本文方法計算更加簡單有效。

3 實測信號分析

利用北美廣域頻率監(jiān)測系統(tǒng)記錄的一組WECC系統(tǒng)的實測信號，分析本文方法利用實際電網(wǎng)廣域隨機(jī)響應(yīng)辨識系統(tǒng)模態(tài)的適應(yīng)性。北美廣域頻率監(jiān)測系統(tǒng)的測量終端頻率擾動記錄儀FDR（Frequency Disturbance Recorder）通過GPS時鐘同步采集配電網(wǎng)單相電壓信號，計算頻率和電壓相量［26］。

FDR在WECC系統(tǒng)的分布如圖5所示。WECC系統(tǒng)主要包含2個區(qū)間振蕩模態(tài)：N-S模態(tài)（約0.24 Hz）和 Alberta模態(tài)（約 0.36 Hz）。N-S 模態(tài)是WECC系統(tǒng)北部電網(wǎng)對南部電網(wǎng)的振蕩，而Alberta模態(tài)是加拿大Alberta地區(qū)、AZ、NW、CO及CA南部對 WECC 中部電網(wǎng)的振蕩［27］。

表4 2種方法的振蕩振型估計結(jié)果對比Table 4 Comparison of estimated modal shapes between two methods

圖5 FDR分布圖Fig.5 Distribution of FDR

以2012年WECC系統(tǒng)發(fā)生的某一大擾動事件為例，選取含有效測量數(shù)據(jù)的6個FDR，以字母A—F對其編號。讀取大擾動事件發(fā)生時刻前后各60 min的系統(tǒng)響應(yīng)，圖6為FDR A記錄的大擾動發(fā)生前后的電壓相角信號，其中0 min為事件發(fā)生時刻。對擾動后包含明顯振蕩的暫態(tài)響應(yīng)信號采用Matrix Pencil方法進(jìn)行模態(tài)辨識，僅得到N-S振蕩模態(tài)（頻率0.251 Hz，阻尼比6.7%），表明擾動事件未能充分激勵系統(tǒng)的Alberta模態(tài)。由于系統(tǒng)的真實模態(tài)未知，以下分析將暫態(tài)響應(yīng)信號的模態(tài)辨識結(jié)果作為評估系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的模態(tài)辨識結(jié)果的參考值。

圖6 WECC系統(tǒng)實測相角Fig.6 Measured phase-angle of WECC system

圖7 N-S模態(tài)的模式參數(shù)估計結(jié)果Fig.7 Estimated parameters of N-S mode

采用本文方法對切機(jī)前后截取的6通道隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)辨識，設(shè)置時間窗為10 min，滑動步長為5 min，得到10組模態(tài)估計結(jié)果。利用系統(tǒng)廣域時空隨機(jī)響應(yīng)有效地辨識出系統(tǒng)的2個主要區(qū)間振蕩模態(tài)，由于擾動事件分析結(jié)果只得到N-S振蕩模態(tài)，限于篇幅，僅給出系統(tǒng)N-S模態(tài)辨識結(jié)果。圖7為N-S模態(tài)的振蕩頻率和阻尼比的估計結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)響應(yīng)的模式參數(shù)估計值分布在參考值上下，且與參考值的偏差較小。圖8為N-S模態(tài)的振型估計結(jié)果，從圖8（a）的歸一化振型幅值圖可知，F(xiàn)DR A在N-S模態(tài)的參與度最大；從圖8（b）的振型相角關(guān)系可知，F(xiàn)DR A、B、C 與 FDR D、E、F 之間相差約180°，顯示出WECC系統(tǒng)北部電網(wǎng)和南部電網(wǎng)相互搖擺關(guān)系，這與文獻(xiàn)［27］中的分析結(jié)果是一致的。因此本文方法利用廣域時空隨機(jī)響應(yīng)，不僅能準(zhǔn)確估計振蕩頻率及阻尼比，還能有效辨識出振蕩振型。

圖8 N-S模態(tài)的振型估計結(jié)果Fig.8 Estimated shapes of N-S mode

4 結(jié)論

為了有效利用系統(tǒng)廣域時空隨機(jī)響應(yīng)，提出一種基于VAR建模分析的振蕩模態(tài)辨識方法。通過新英格蘭系統(tǒng)的蒙特卡羅仿真信號和WECC系統(tǒng)實測信號的測試分析，表明所提方法能準(zhǔn)確估計多個主導(dǎo)模態(tài)的模式參數(shù)，同時能辨識出相應(yīng)模態(tài)的振型信息。與子空間辨識方法相比，廣域多通道隨機(jī)響應(yīng)的VAR建模分析方法計算更加簡單有效。因此，本文方法能充分利用廣域多通道隨機(jī)響應(yīng)的時空特性，全面給出系統(tǒng)的主要振蕩模態(tài)特征信息，有利于系統(tǒng)運(yùn)行人員準(zhǔn)確掌握系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。

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