何 興， 陳光淦， 楊 歡

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

有界區(qū)間上的隨機(jī)廣義非局部Burgers方程鞅解的存在性

何 興， 陳光淦*， 楊 歡

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

研究有界區(qū)域上隨機(jī)廣義非局部Burgers方程.通過在適當(dāng)?shù)募訖?quán)空間上考慮,克服了有界區(qū)域上非局部Laplace算子帶來的困難.運(yùn)用一系列精致估計(jì)獲得了系統(tǒng)的某些有界性.利用胎緊代替噪聲給系統(tǒng)帶來的通常意義下的緊性問題,最終獲得系統(tǒng)鞅解的存在性.

隨機(jī)廣義Burgers方程; 有界區(qū)域; 非局部Laplace算子; 鞅解

Burgers方程首先由H. Bateman[1]給出,并把這個(gè)方程作為湍流模型研究,成為流體力學(xué)中一類非常重要和基本的非線性偏微分方程,并被廣泛地應(yīng)用于空氣動(dòng)力學(xué)、湍流、熱傳導(dǎo)、交通流、地下水污染等眾多領(lǐng)域[2-4].

本文考慮如下隨機(jī)廣義非局部Burgers方程

(1)

其中D=(-1,1),Dc=RD,非線性項(xiàng)冪指數(shù)p滿足2

(-△)su(x)=

其中Cs是與s有關(guān)的常數(shù).

對于方程(1),當(dāng)g(u)=0時(shí)為確定系統(tǒng),當(dāng)s=1,p=2,即為經(jīng)典的Burgers方程[1];當(dāng)s=1,p>2,即為廣義的Burgers方程[5];當(dāng)0

本文研究有界區(qū)間上的隨機(jī)廣義非局部Burgers方程(1)的鞅解.由于在有界區(qū)間上通常的Laplace算子和非局部Laplace算子有明顯不同[9],通常的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間不再適用,因此引入加權(quán)的Sobolev空間,再利用胎緊代替噪聲給系統(tǒng)帶來的通常意義下的緊性不成立,最終獲得該系統(tǒng)鞅解的存在性.

1 預(yù)備知識(shí)

引理 1.1[10]設(shè)D?R,1≤p1

如果f∈Lp1(D)∩Lp3(D),則f∈Lp2(D),進(jìn)一步有

引理1.2[11]設(shè)B0、B、B1均為Banach空間,且B0和B1是自反的,B0?B?B1,同時(shí)B0緊嵌入到B,γ∈(0,1),X=L2(0,T;B0)∩Wγ,2(0,T;B1),則X緊嵌入到L2(0,T;B).

定義 1.1[12]設(shè)s∈(0,1),D?R,定義分?jǐn)?shù)階Sobolev空間

Ws,2(D)=

其范數(shù)為

‖u‖Ws,2(D)=

這里

被稱為u的半范數(shù).

本文考慮D=(-1,1)?R,由文獻(xiàn)[12]有

).

再根據(jù)文獻(xiàn)[13],設(shè)ν(x,y),β(x,y):R×R→Rk,其中β滿足β(x,y)=-β(y,x),且

y.x))·β(x,y)dy.

顯然D(ν):R→R.給定映射u(x):R→R,D表示D的伴隨算子,則

顯然D(u):R×R→Rk.用Θ(x,y)=Θ(y,x)表示二階張量,且滿足Θ=ΘT,那么有

D(Θ·Du)(x)=

其中x∈R,D(Θ·Du):R→R.當(dāng)Θ為單位矩陣,同時(shí)β滿足2|則

D(Θ·D

其中D從而有

D(Θ·Du)(x).

〈(-△)su,u〉L2(D)=〈D(Du)(x),u(x)〉L2(D)=

〈D(Du)(x),u(x)〉L2(R)=

(5)

上述計(jì)算用到了u|Dc=0.由(5)知經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間Ws,2(D)在這里不適用,因?yàn)椴荒鼙ＷC

如果定義

則

在RD}.

其范數(shù)為

由(5)式知

‖Du‖L2(D)=‖

(6)

結(jié)合(5)和(6)式可得

本文記

則有V?H=H?V?V1.

定義 1.2 如果存在一個(gè)隨機(jī)基(Ω,F,{Ft},P),一個(gè)在空間U上的維納過程W以及一個(gè)逐漸可測過程u:Ω×[0,T]×D→H,在幾乎必然的意義下,函數(shù)

u∈L∞(0,T;H)∩L2(0,T;V)∩C([0,T];V1),

且使得對任意的t∈[0,T],υ∈V有

則稱方程(1)存在一個(gè)鞅解,并稱滿足上述的序列(Ω,F,P,{Ft},W,u)為方程(1)的鞅解.

2 鞅解的存在性

設(shè)W(t)是一個(gè)完備概率空間(Ω,F,P)上的維納過程,且在可分的Hilbert空間U上取值.算子Q是定義在U上的非負(fù)對稱算子,滿足TrQ<+∞,則在U上存在一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交集{ei}i≥1和非負(fù)的有界實(shí)值序列λi,使得Qei=λiei且

進(jìn)一步假設(shè)

(A)g:H→L2(U,H)是連續(xù)的,且滿足

其中u,v∈H,參數(shù)C、λ為正實(shí)數(shù).

證明 第一步,有限維近似.

假設(shè){η1,η2....}?V是空間H中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.令Hn:=span{η1,η2，…,ηn},定義線性算子Pn:V→Hn,

顯然Pn|H是H到Hn的正交投影,且對?u∈V,υ∈Hn可得

V〈Pn(-△)su,υ〉V=〈Pn(-△)su,υ〉H,

其中V〈·,·〉V表示V和它的對偶空間V的對偶積.取U上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1,e2,…},且

由于在有限維空間上的隨機(jī)微分方程(7)滿足局部Lipschitz和線性增長條件,則方程(7)有唯一強(qiáng)解un(t)∈L2(Ω;C([0,T];Hn)).

第二步,先驗(yàn)估計(jì).

注意到

〈(-△)su,u〉L2(D)=‖

再利用It公式和假設(shè)(A)可得

于是由Gronwall不等式可得

(8)

其中C1、C2是正常數(shù).同理q≥2時(shí)有

再利用Burkholder-Davis-Gundy不等,Young不等式以及Gronwall不等式可得

(9)

其中C與n無關(guān).由(8)式有

{un}n∈N在L2(Ω,L2(0,T;V))

un(t)=Pnu0+

記

‖u‖L2(D)‖(-△)sφ(x)‖L2(D),

則可得‖(-△)sφ(x)‖L2(D)≤C,進(jìn)一步有

‖

‖

因?yàn)?δ>4+4s,由嵌入不等式得

‖φx‖L∞(D)≤C‖φ

所以

令2

因此第一部分

(10)

下面來看第二部分

類似計(jì)算可得

(11)

(12)

下面來證I2(t)在L2(Ω,Wγ,2(0,T;H))上一致有界.同理先來看第一部分

(13)

再來看第二部分

(14)

由(13)和(14)式可得

(15)

上一致有界.

記

Mn(t):=un(t)-Pnu0+

則Mn(·)是一個(gè)鞅,其二階變差為

〈〈Mn(t)〉〉=

則由E([Mn(t)-Mn(τ)]φ(un(·)))=0,從而

且對?a,b∈H,有

相應(yīng)的濾子為

二階變差為

二階變差為

因此對任意的t∈[0,T],υ∈V有

[1] BATEMAN H. Some recent researches on the motion of fluids[J]. Monthly Weather Rev,1915,43(4):163-170.

[2] CATUOGNO P, OLIVERA C. Strong solution of the stochastic Burgers equation[J]. Applicable Analysis,2014,93(3):646-652.

[3] TIAN C. New strong symmetry, symmetries and lie algebra of burgers equation[J]. Scientia Sinica,1988,31(2):141-151.

[4] 胡勁松,王玉蘭,鄭茂波. Rosenau-Burgers方程的一個(gè)新的差分格式[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,33(4):455-457.

[5] VANEEVA O O, SOPHOCLEOUS C, LEACH P G L. Lie symmetries of generalized Burgers equations: application to boundary-value problems[J]. J Engineering Math,2015,91(1):165-176.

[6] BILER P, FUNAKI T, WOYCZYNSKI W A. Fractal Burgers equation[J]. J Diff Eqns,1998,148(1):9-46.

[7] BERTINI L, CANCRINI N, JONA-LASINIO G. The stochastic Burgers equation[J]. Commun Math Phys,1994,165(2):211-232.

[8] HAIRER M, VOSS J. Approximations to the Stochastic Burgers Equation[J]. J Nonlinear Sci,2011,21(6):879-920.

[9] DU Q, GUNZBURGER M, LEHOUCQ R B, et al. Analysis and approximation of nonlocal diffusion problems with volume constraints[J]. SIAM Rev,2012,54(4):667-696.

[10] 陳國旺. 索伯列夫空間導(dǎo)論[M]. 北京:科學(xué)出版社,2013.

[11] FLANDOLI F, GATAREK D. Maitingale and stationary solutions for stochastic Navier-Stokes equations[J]. Probab Theory Realt Fields,1995,102(3):367-391.

[12] NEZZA E D, PALATUCCI G, VALDINOCI E.Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces[J]. Bull Sci Math,2012,136(5):521-573.

[13] DU Q, GUNZBURGER M, LEHOUCQ R B, et al. A nonlocal vector calculus, nonlocal volume-constrained problems, and nonlocal balance laws[J]. Math Models Methods Appl Sci,2013,23(3):493-540.

[14] DA PRATO G, ZABCZYK J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions[M]. Cambridge:Cambridge University Press,1992.

[15] BRZEZNIAK Z, MOTYL E. Existence of a martingale solution of the stochastic Navier-Stokes equations in unbounded 2D and 3D domains[J]. J Diff Eqns,2013,254(4):1627-1685.

2010 MSC：60H15; 60G46; 35Q53

(編輯 陶志寧)

The Existence of Martingale Solution for a Stochastic Generalized Nonlocal Burgers Equation on Bounded Intervals

HE Xing, CHEN Guanggan, YANG Huan

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

This paper is concerned with the stochastic generalized nonlocal Burgers equation on bounded intervals. Introducing a weighted sobolev space, it overcomes the difficulties which are caused by the nonlocal Laplacian operator on bounded domains. By using a series of precise estimates, the boundedness of the system is established. Using the tightness to solve the general compact problem which is caused by noise, it finally obtains the existence of martingale solutions for the system.

Stochastic generalized burgers equation; bounded intervals; Nonlocal laplacian operator; Martingale solution

2015-11-08

國家自然科學(xué)基金(11571245和11401409)及四川省教育廳重點(diǎn)科研項(xiàng)目(15ZA0031)

O175.2

A

1001-8395(2016)06-0809-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.005

*通信作者簡介：陳光淦(1978—),男,教授,主要從事隨機(jī)偏微分方程的研究,E-mail:chenguanggan@hotmail.com