舒 級(jí), 曾群香

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

一類Wick型隨機(jī)混合KdV方程的精確解

舒 級(jí), 曾群香

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

首先運(yùn)用Hermite變換將Wick型隨機(jī)KdV方程轉(zhuǎn)換為確定性KdV方程,然后利用截?cái)嗾归_法得到方程的白噪聲泛函解.

白噪聲泛函解; Wick型隨機(jī)混合KdV方程; 截?cái)嗾归_法; Hermite變換

1 預(yù)備知識(shí)

J. S. Russell[1]在“論波動(dòng)”為題所做的報(bào)告中談到:“沿著狹窄的河道迅速前進(jìn)著,突然停下來(lái)了,河道內(nèi)被船體帶動(dòng)的水團(tuán)并不停止,它們積聚在船頭周圍劇烈的擾動(dòng)著,然后形成了一個(gè)滾圓而又平滑、輪廊分明的巨大孤立波峰”,他把此種水波稱為孤立波.荷蘭著名數(shù)學(xué)家D. J. Korteweg等[2]建立了淺水波運(yùn)動(dòng)方程,其一般形式可寫為

ut±6uux+uxxx=0,

稱為Korteweg-deVries(KdV)方程,隨后利用行波變換求出了與J.S.Russell所發(fā)現(xiàn)的孤立波現(xiàn)象一致的、具有形狀不變的脈沖狀孤立波解.此種解與C.S.Gardner等[3]利用反散射方法求出KdV的孤子解一致.美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家N.J.Zabusky等[4]數(shù)值模擬了孤立波相撞過(guò)程,得到了孤立波在碰撞后仍然保持其波形和速度不變或者只有微弱變化的性質(zhì).這種性質(zhì)與物理中粒子的性質(zhì)類似,因此把此種孤立波稱為孤立子.此后科學(xué)家對(duì)孤立子的研究興趣和熱情便一發(fā)不可收拾.迄今為止,在許多科學(xué)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了孤立子運(yùn)動(dòng)形態(tài),如神經(jīng)細(xì)胞軸突上傳導(dǎo)的沖動(dòng)、流體中的漩渦、晶體的錯(cuò)位、木星上的紅斑、等離子體中的聲波和電磁波、激光在介質(zhì)中的自聚焦等.在數(shù)學(xué)上,孤立子理論[5]的進(jìn)展體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一大批具有孤立子解的非線性偏微分方程,并且逐漸形成了較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)物理的偏微分方程與孤子理論.

隨機(jī)偏微分方程類似于一般的隨機(jī)微分方程,其本質(zhì)上是帶有隨機(jī)項(xiàng)和隨機(jī)系數(shù)的偏微分方程.隨機(jī)微分方程在量子場(chǎng)論、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、金融數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.更有意思的是,由于加入了隨機(jī)項(xiàng),因此求出的精確解并不是通常意義下的精確解[6-15],而是帶有白噪聲的泛函解,也就是帶隨機(jī)項(xiàng)的解.

M.Waditi[16]通過(guò)反散射方法求出了非線性隨機(jī)KdV方程的精確解,進(jìn)而提出帶隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的理論基礎(chǔ).H.Holden等[17]把白噪聲分析法引進(jìn)方程,提出了Wick型隨機(jī)偏微分方程.由于在實(shí)際問(wèn)題中,帶隨機(jī)擾動(dòng)的方程更有意義,因此越來(lái)越多的學(xué)者開始研究隨機(jī)偏微分方程.B.Chen等[18]研究了隨機(jī)mKP方程,H.Kim等[19]研究了變系數(shù)的廣義隨機(jī)Boussinesq方程組及隨機(jī)KP方程.

本文將運(yùn)用Hermite變換和截?cái)嗾归_法研究如下Wick-型隨機(jī)混合KdV方程

Ut(t,x)+A0(t)◇Ux(t,x)+

A1(t)◇U(t,x)◇Ux(t,x)+

A2(t)◇U◇2(t,x)◇Ux(t,x)+

B(t)◇Uxxx(t,x)=0,

(1)

其中,◇是Kondratiev分布空間(S)-1上的Wick乘積,A0(t)、A1(t)、A2(t)和B(t)是定義在(S)-1上的白噪聲泛函,且A0(t),A1(t),A2(t)和B(t)≠0.

2 求解Wick型隨機(jī)偏微分方程的基本思路

對(duì)于隨機(jī)偏微分方程

P(t,x,?t,x,U,ω)=0,

(2)

設(shè)方程(2)的Wick積具有如下形式

P◇(t,x,?t,x,U,ω)=0.

(3)

然后,通過(guò)Hermite變換將方程(3)的Wick積變?yōu)槠胀ǔ朔e

(4)

z=(z1,z2,…)∈Kq(R),

Kq(R)={z=(z1,z2,…)∈CN,

成立,則在一定條件之下,通過(guò)Hermite變換的逆變換,就能得出方程(3)的一個(gè)解U,這一過(guò)程可以通過(guò)下述定理來(lái)實(shí)現(xiàn).

定理 2.1 假定u(t,x,z)為方程(4)的一個(gè)解,其中(t,x)為某個(gè)G?R×Rd的有界開集元素,對(duì)于某些q和R有z∈Kq(R)成立.此外,假定u(t,x,z)以及方程中所有u(t,x,z)的偏導(dǎo)對(duì)于(t,x,z)∈G×Kq(R)是有界的,對(duì)z∈Kq(R)關(guān)于(t,x)∈G是連續(xù)的,對(duì)(t,x)∈G關(guān)于z∈Kq(R)是解析的.由文獻(xiàn)[20]知,則存在U(t,x)∈(S)-1對(duì)所有的(t,x,z)∈G×Kq(R)使得

從而可以在(S)-1中用U(t,x)解方程(3)(在(S)-1中是強(qiáng)指向的).

3 截?cái)嗾归_法

截?cái)嗾归_法主要用來(lái)求解類孤子解,其基本步驟如下.

1) 為了得到非線性偏微分方程

P(t,x,u,ut,ux,uxt,uxx,utt,…)=0

(5)

的類孤子解,假定方程(5)的解的形式可表示成如下的截?cái)嗾归_形式

(6)

其中,An(t)(0≤n≤N)、f(t)和g(t)是一些待定函數(shù);

2) 根據(jù)領(lǐng)頭項(xiàng)分析,確定N的取值;

3) 求出ut、ux、uxxx,并將它們代入原方程,得到關(guān)于F的線性方程組.由于Fi(i=0,1,2,3,4)線性無(wú)關(guān),令其前面的系數(shù)為零,得到非線性微分方程組,解方程組可以求出A0、A1、f(t)和g(t).

證明 因?yàn)橛?/p>

(7)

所以上述性質(zhì)成立.

4 截?cái)嗾归_法在求解Wick型隨機(jī)混合KdV方程中的應(yīng)用

對(duì)于Wick型隨機(jī)混合KdV方程(1),通過(guò)Hermite變換可將方程中的Wick乘積化為普通乘積

Ut(t,x,z)+A0(t,z)Ux(t,x,z)+

A1(t,z)U(t,x,z)Ux(t,x,z)+

A2(t,z)U2(t,x,z)Ux(t,x,z)+

B(t,z)Uxxx(t,x,z)=0.

(8)

為了簡(jiǎn)便,記

Ut(t,x,z)=ut(t,x,z),A0(t,z)=α0(t,z),

Ux(t,x,z)=ux(t,x,z),A1(t,z)=α1(t,z),

U(t,x,z)=u(t,x,z),A2(t,z)=α2(t,z),

B(t,z)=β(t,z),Uxxx(t,x,z)=uxxx(t,x,z),

則方程(8)記為

ut(t,x,z)+α0(t,z)ux(t,x,z)+

α1(t,z)u(t,x,z)ux(t,x,z)+

α2(t,z)u2(t,x,z)ux(t,x,z)+

β(t,z)uxxx(t,x,z)=0.

(9)

對(duì)方程(9)進(jìn)行領(lǐng)頭項(xiàng)分析可知N=1,因此方程具有如下行波解

u(x,t,z)=A0(t,z)+A1(t,z)F,

(10)

其中

A0(t,z)和A1(t,z)待定.

根據(jù)(10)式可得:

ut(x,t,z)=A0t(x,t,z)+A1t(t,x,z)F+

A1(t,x,z)(F2-F)ξt,

(11)

ux(x,t,z)=A1(t,z)(F2-F)ξx,

(12)

uxxx(x,t,z)=

(13)

將(11)～(13)式代入方程(9),比較F前各個(gè)冪項(xiàng)前的系數(shù)得到:

F0:A0t=0,

(14)

F1:A1t-A1tξt-α0A1ξx-α1A0A1ξx-

(15)

(16)

(17)

(18)

從(14)、(15)和(18)式可求出:

A0(t,z)=C1(z),

(19)

A1(t,z)=C2(z),

(20)

其中,C1(z)和C2(z)是關(guān)于z的白噪聲泛函.由(16)式得到

(21)

ft,z=0,

(22)

gt,z=-α0ξx-α1A0ξx-

(23)

解(22)和(23)式得到:

f(t,z)=C3(z),

(24)

g(t,z)=C4(z)t,

(25)

其中,C3(z)和C4(z)為白噪聲泛函.將(24)和(25)式代入方程(22)和(23),經(jīng)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)自動(dòng)成立,說(shuō)明該設(shè)定的截?cái)嗾归_是自恰的,并考慮到關(guān)系

(26)

將(19)、(20)、(24)和(25)式代入(10)式,得到混合KdV方程的類孤子解

(27)

其中C5(z)和C6(z)為白噪聲泛函,

ξ=C3(z)x+C4(z)t.

對(duì)精確解進(jìn)行模擬,得到隨機(jī)混合KdV方程的雙曲正切函數(shù),通過(guò)代入法驗(yàn)證了(27)式是方程(9)的解.

為了得到方程(1)的隨機(jī)精確解,需要給出如下條件.

假設(shè)(x,t)為屬于一個(gè)有界開集G?R+×R的元素,對(duì)于某些q>0,r>0的所有z∈Kq(r),使得A0(t,x)、A1(t,x)、A2(t,x)和B(t,x)滿足u(t,x,z)在方程(1)中所有的偏導(dǎo)對(duì)(t,x,z)∈G×Kq(r)一致有界,并且對(duì)所有的z∈Kq(r)關(guān)于(t,x)∈G是連續(xù)的,對(duì)所有(t,x)∈G關(guān)于z∈Kq(r)是解析的.

由此條件以及定理2.1可知:存在U(t,x)∈(S)-1,使得對(duì)于所有的(t,x,z)∈G×Kq(r)有

令U(t,x)是u(t,x,z)的Hermite逆變換,則由方程(9)的解(27)式可得到方程(1)的白噪聲泛函解

(28)

其中

ξ=C3(z)◇x+C4(z)◇t.

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2010 MSC：35Q55

(編輯 李德華)

收稿日期:2016-08-15

基金項(xiàng)目：四川省教育廳重點(diǎn)科研項(xiàng)目(14ZB0065)基金和四川省科技廳基金項(xiàng)目(K33)

*通信作者簡(jiǎn)介：莫智文(1962—),男,教授,主要從事人工智能、模糊語(yǔ)言、粗糙集和量子信息處理的研究,E-mail:mozhiwen@263.net

Exact Solutions for a Class of Wick-type Mixed Stochastic KdV Equations

SHU Ji, ZENG Qunxiang

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

First we converse the Wick-type stochastic KdV equation to a determining KdV equation with Hermite transformation, then obtain white noise functional solutions of the KdV equation by the truncation expansion method.

white noise functional solutions; Wick-type mixing stochastic KdV equation; truncation expansion method; Hermite transformation

2015-06-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371267)、四川省教育廳重點(diǎn)科研基金(14ZA0031)和四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)計(jì)劃(2016JY0204)

舒 級(jí)(1976—),男,副教授,主要從事偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com

O175.29

A

1001-8395(2016)06-0821-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.007