賀 偉

(南京師范大學 數學科學學院, 江蘇 南京 210046)

拓撲群范疇研究的若干進展

賀 偉

(南京師范大學 數學科學學院, 江蘇 南京 210046)

拓撲群是拓撲代數領域的重要研究對象，在調和分析、動力系統(tǒng)等領域有廣泛的應用.拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇具有許多重要且有趣的性質.介紹從范疇論角度研究拓撲群范疇的若干進展.內容涉及拓撲群范疇的基本性質、拓撲群范疇的準緊反射、緊反射(Bohr緊化)、Raǐkov完備反射(Raǐkov完備化)、C-緊拓撲群、c-完備態(tài)射等.

拓撲群; 連續(xù)群同態(tài); 準緊群; 緊群; C-緊群; c-proper同態(tài); Raǐkov完備群

一個拓撲群是一個群(G,+)使得G同時是一個拓撲空間，并且加法運算+:G×G→G和逆運算-:G→G均連續(xù).拓撲群是拓撲代數領域的重要研究對象，在調和分析、動力系統(tǒng)等領域有廣泛的應用.關于拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇性質的研究可以追溯到20世紀40年代，A. A. Markov[1]證明了任意給定拓撲空間上的自由拓撲群的存在唯一性，并用范疇論語言證明了Hausdorff拓撲群范疇到拓撲空間范疇的遺忘函子存在左伴隨，并且當限制到完全正則空間范疇時，伴隨的單位是一個閉嵌入.Markov的證明很復雜，隨后S. Kakutani[2]、P. Samuel[3]、以及T. Nakayama[4]簡化了Markov的證明，其證明方法實質上應用了現(xiàn)在稱之為廣義伴隨函子定理.近年來從范疇論角度研究拓撲群范疇性質得到了廣泛關注，例如拓撲群的Raǐkov完備化、拓撲群的自由積、C-緊拓撲群等.本文從3個方面介紹該領域的研究現(xiàn)狀(自由拓撲群的內容本文暫未涉及).文中用以下符號表示相關范疇.

Set為表示集合和映射范疇;Top為拓撲空間和連續(xù)映射范疇;Gp為群與群同態(tài)范疇;TopGp2為Harsdorff拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇;TopAb2為Harsdorff拓撲交換群和連續(xù)群同態(tài)范疇;TopGp為拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇;TopAb為拓撲交換群和連續(xù)群同態(tài)范疇;CGp為緊拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇;PCGp為準緊拓撲群和連續(xù)群同態(tài)范疇.

關于拓撲空間和拓撲群的相關概念和事實請參考文獻[5-6],關于范疇論的有關概念和事實請參考文獻[7-8].

1 基本性質

本節(jié)介紹拓撲群范疇的一些基本性質，包括單態(tài)射和滿態(tài)射的刻畫、嚴格單態(tài)射和嚴格滿態(tài)射的刻畫、拓撲群范疇的乘積、余積及其完備性和余完備性.

首先回顧幾個范疇論的相關概念.設C是一個范疇，f:A→B是C中的態(tài)射，如果對任意2個態(tài)射g:B→C,h:B→C滿足gf=hf蘊含g=h，則稱f:A→B是一個滿態(tài)射.對偶地如果對任意2個態(tài)射g:D→A,h:D→A滿足fg=fh蘊含g=h，則稱f:A→B是一個單態(tài)射.

設f:A→B是C中的單態(tài)射，并且滿足對任意的分解f=ge使得e是一個滿態(tài)射，則e是一個同構，稱f:A→B是嚴格單態(tài)射.對偶地如果對f的任意分解f=mh使得m是單態(tài)射，則m是一個同構，稱f:A→B是嚴格滿態(tài)射.以下定理參見文獻[9-11].

定理 1.1 范疇TopGp(TopAb)中的單態(tài)射是連續(xù)單同態(tài)；滿態(tài)射是連續(xù)滿同態(tài)；嚴格單態(tài)射是代數嵌入；嚴格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).

由群范疇的相關結果，該定理中關于單態(tài)射和嚴格單態(tài)射的證明比較簡單，滿態(tài)射和嚴格滿態(tài)射的證明稍復雜.

對于Hausdorff拓撲群范疇，不能再沿用拓撲群范疇中的方法，對于Hausdorff拓撲交換群范疇有下面好的性質.

定理 1.2 范疇TopAb2中的單態(tài)射是連續(xù)單同態(tài)；滿態(tài)射是連續(xù)稠密同態(tài)(即同態(tài)像在值域空間中稠密)；嚴格單態(tài)射是代數閉嵌入；嚴格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).

對于非交換的Hausdorff拓撲群范疇TopGp2，可以證明其單態(tài)射是連續(xù)的單同態(tài)，嚴格滿態(tài)射是連續(xù)商同態(tài).但是范疇TopGp2中的滿態(tài)射是否連續(xù)稠密同態(tài)從20世紀60年代起一直是一個公開問題，直到1994年，V. V. Uspenskij[12-13]證明了該猜想是否定的.在此期間許多拓撲學家討論了多種特殊情形，1970年,D. Poguntke[14]證明了緊拓撲群范疇中的滿態(tài)射是到上的映射,特別地E. Nummela[15]證明了對于局部緊群猜想是正確的，W. F. Lamartin[16]以及P. Nickolas[17]證明了對于k群猜想是正確的.

拓撲群范疇中的乘積就是乘積拓撲群，給定一對連續(xù)群同態(tài)f:G→H與g:G→H，f與g的等值子就是拓撲子群{a∈G|f(a)=g(a)}≤G，因此下面定理是明顯的.

定理 1.3 范疇TopGp(TopAb)都是良冪的、余良冪的完備范疇，遺忘函子TopGp→Top(TopAb→Top)保持極限.

對于Hausdorff群范疇有類似的結果.

定理 1.4 范疇TopGp2(TopAb2)都是良冪的、余良冪的完備范疇，遺忘函子TopGp→Top(TopAb→Top)保持極限.

拓撲群范疇的余極限遠比極限復雜，由文獻[18]的相關結果可知拓撲群范疇和拓撲Abel群范疇均存在余極限，并且余極限的底群恰好就是群范疇中對應圖表的余極限.

定理 1.5 范疇TopGp(TopAb)存在余極限，遺忘函子TopGp→Gp(TopAb→AbGp)保持余極限.

下面考慮拓撲群范疇中的余積問題，由定理1.5，范疇TopGp(TopAb)中的余積的底群是群范疇中的余積(又稱自由積).首先回顧群自由積的構造.

(x1…xn)·(y1…ym)=x1…xn·y1…ym

是一個群，稱之為{Gs}i∈S的自由積，從范疇論角度就是{Gs}i∈S的余積.

定理 1.6 設{Gi}i∈I是一族拓撲群，{Gi}i∈I的余積co∏Gi存在，使得co∏Gi的底群是{Gi}i∈I的自由積，拓撲是由投射族Gi→co∏Gi,i∈I生成的最終拓撲，即使得每個投射連續(xù)的最細的拓撲.

但是很難給出拓撲群余積的拓撲直接描述.

文獻[19-21]中討論了拓撲群余積(或稱自由積)的若干性質，但是很難給出拓撲群余積的拓撲明確描述.

問題 1.7 如何給出拓撲群余積的拓撲結構的明確刻畫?

對于拓撲交換群，2002年P.Nickolas在文獻[22]中給出了拓撲Abel群余積拓撲的明確刻畫.

Nickolas在co∏Gs上構造了如下余積拓撲：

首先對于一個給定的拓撲群G，{Un}n∈Z+是單位元eG的一個開鄰域序列，如果U1?U2?…，稱{Un}n∈Z+是G的一個遞減序列.設是是G的一族遞減序列，且滿足下列條件：

(U1) eG的任意開鄰域U，存在{Un}∈使得U1?U；

(U2) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得對任意的自然數n,Vn?Un+1；

(U3) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得得對任意的自然數?Un；

(U4) 任意{Un}∈，存在{Vn}∈使得得對任意的自然數?Un；

(U5) 任意{Un}∈以及{Vn}∈，存在{Wn}∈使得得對任意的自然數n,Wn?Un∩Vn,

給定一個遞減序列U={Un}以及x∈G，定義：

設{Gs}i∈S是一族拓撲Abel群，co∏Gs是其自由積.對于每個s∈S，若s是Gs的一個相容的遞減序列族.對任意的s，記

2 拓撲群范疇的反射子范疇

回顧反射子范疇的概念.設范疇A是C的滿子范疇，如果對C中任意對象B∈obC，存在A中對象A∈obA以及C中態(tài)射r:B→A(反射態(tài)射)使得對任意的g:B→A′，其中A′∈obA，存在A中唯一的態(tài)射h:A→A′滿足g=rh，即下面圖表交換

則稱A是C的反射子范疇.如果每個反射態(tài)射r:B→A都是滿態(tài)射，則稱A是C的滿反射子范疇.下面定理是范疇論經典結果.

定理 2.1 設范疇A是C的滿子范疇，C具有(滿態(tài)射，嚴格單態(tài)射)分解結構.則A是C的滿反射子范疇當且僅當A對乘積和嚴格單子對象運算封閉.

考慮到拓撲群范疇TopGp以及拓撲交換群范疇TopAb都具有(滿態(tài)射，嚴格單態(tài)射)分解結構，有下面定理.

定理 2.2 拓撲群范疇TopGp(拓撲交換群范疇TopAb)的一個滿子范疇A是TopGp(TopAb)的滿反射子范疇當且僅當A對乘積和子拓撲群封閉.

由于Hausdorff性關于乘積和子拓撲群封閉，因此Hausdorff拓撲群范疇TopGp2是拓撲群范疇的滿反射子范疇.由于對于拓撲群T1分離性等價于完全正則性，因此Hausdorff反射等價于T1反射等價于完全正則反射，該反射非常簡單.

設G是一個拓撲群，考慮商拓撲群G/{eG}-以及同態(tài)q:G→G/{eG}-，容易驗證G/{eG}-是Hausdorff拓撲群并且商同態(tài)q:G→G/{eG}-是G的Hausdorff反射.

注 2.1 如果群(G,+)同時是一個拓撲空間使得加法運算+:G×G→G連續(xù)，則稱G是一個仿拓撲群.如果群(G,+)同時是一個拓撲空間使得對任意的x∈G，左平移運算λx:G→G,λx(a)=x+a,a∈G連續(xù)(任意的x∈G，右平移運算μx:G→G,μx(a)=a+x,a∈G連續(xù))則稱G是一個左半(右半)拓撲群.如果G既是左半拓撲群又是右半拓撲群，則稱G是半拓撲群.由于仿拓撲群的T1分離性、Hausdorff分離性以及正則分離性互不等價，近年來許多學者研究仿拓撲群和半拓撲群的T1反射、Hausdorff反射、正則反射以及完全正則反射.

推論 2.3 準緊拓撲群范疇和緊拓撲群范疇均是拓撲群范疇的滿反射子范疇.

事實上可以給出拓撲群準緊反射以及緊反射的具體構造.由于Hausdorff拓撲群范疇TopGp2是拓撲群范疇的滿反射子范疇，而反射是可復合的，因此只需考慮Hausdorff群.

記Υ=∏nU(n),其中U(n)是拓撲群GLn(C)中所有行列式絕對值為1的n×n矩陣子群.由Peter-Weyl定理，對任意一個緊群K，所有的連續(xù)同態(tài)K→Υ分離K中的點(參見文獻[23])，因此任意一個緊群可以代數嵌入到Υ的某個冪.

引理 2.4 設G是一個Hausdorff拓撲群，記G∧是G到Υ的所有連續(xù)群同態(tài)集合，下面命題等價:

1) (G,τ)是準緊群；

3)G上由G∧誘導的拓撲是Hausdorff的并且與原拓撲相同.

推論 2.5 準緊群范疇PCGrp是Υ在TopGrp中的滿反射殼.

設G是一個拓撲群，U∈N(eG)是單位元eG的一個開鄰域，若存在連續(xù)群同態(tài)f:G→Υ以及V∈N(eΥ)使得U=f-1(V)，則稱U是態(tài)射開集.

記N(G)=∩{U?G|U是態(tài)射開集,eG∈U}.

引理 2.6N(G)是G的閉的正規(guī)子群.

在交換群情形下N(G)被稱為von Neumann核.

定理 2.7qG:G→ρG是G的準緊反射.

G的準緊反射也可以換一種途徑得到.記G+為群G賦予Bohr拓撲，即由所有從G到Υ的連續(xù)同態(tài)生成的拓撲，由引理2.4，G+是全有界的.容易驗證恒同映射G→G+是G的全有界反射.由反射具有復合性可知復合G→G+→G+/{eG}-是G的準緊反射.

記μG=σρG是ρG的Raǐkov完備化，μ:G→μG為復合σρG·qG:G→μG.則下面結果明顯.

定理 2.8μ:G→μG是G的緊反射.

3 C-緊拓撲群和c-完備同態(tài)

在滿足一定條件的范疇中，人們可以完全從范疇論角度定義對象的分離性、緊性以及態(tài)射的完備性等類似于拓撲空間范疇的性質[24-25].在拓撲空間范疇中，由著名的Kuratowski-Mrowka定理，空間X是緊空間當且僅當對任意拓撲空間Z，投影X×Z→Z是閉映射.D. N. Dikranjan等[26]應用Kuratowski-Mrowka定理在Hausdorff拓撲群范疇中引入了范疇緊拓撲群(簡稱C-緊群)的概念.

定義 3.1 設G是一個Hausdorff拓撲群，如果對任意的Hausdorff拓撲群H，投影G×H→H將閉子群映為閉子群，則稱G是一個范疇緊拓撲群(簡稱C-緊群).

如果一個連續(xù)群同態(tài)將定義域空間的閉子群映為值域空間的閉子群，則稱該映射為c-閉同態(tài).因此上述定義中的投影可改為是c-閉的.

緊群當然是C-緊群，反之是否每個C-緊拓撲群都是緊的?2013年，A. A. Klyachko等[27]證明了存在可數以及不可數的C-緊的離散拓撲群，從而否定回答了該問題.

C-緊群在任意連續(xù)群同態(tài)下的像是Raǐkov完備的，但反之不對，因此可以引入以下概念.

定義 3.2 設G是一個拓撲群，如果對任意的連續(xù)滿同態(tài)f:G→H，H都是Raǐkov完備的(等價地對任意的連續(xù)群同態(tài)h:G→K，f(G)是K的閉子群)，則稱G是h-complete群.

任意一個C-緊群是h-complete群，但反之不成立，進一步C-緊群的任意閉子群是C-緊的，有以下公開問題.

問題 3.3 如果拓撲群G的任意閉子群都是h-complete群，G是否是C-緊的?

對于交換群有以下結果.

定理 3.4 設G是一個拓撲Abel群，則以下命題等價：

1)G是h-complete群；

2)G是C-緊群；

3)G是緊群.

C-緊群的任意乘積仍是C-緊群，C-緊群對于閉子群具有遺傳性，因此可以用通常的方法(類似于自由拓撲群的存在唯一性證明)證明以下結果.

定理 3.5 C-緊群范疇是拓撲群范疇的滿反射子范疇.

不同于緊群有萬有群Υ，C-緊群的表現(xiàn)更復雜，甚至存在無群的離散的C-緊群，因此不能像構造緊群反射那樣構造C-緊群反射.

問題 3.6 如何給出拓撲群的C-緊群反射的明確刻畫?

從映射角度，與緊空間相對應的就是完備映射.類似于Kuratowski-Mrowka定理，關于完備映射有以下經典刻畫定理.

定理 3.7 設X與Y是Hausdorff空間，f:X→Y是連續(xù)映射，下面命題等價：

1)f是完備映射；

2) 對任意空間Z，乘積映射f×idZ:X×Z→Y×Z是閉映射；

3)f沿著任意連續(xù)映射g:K→Y的拉回是閉映射.

最近，W. He等[28]合作在拓撲群范疇(不假設Hausdorff性)中引入了c-proper和h-complete映射，從而將C-緊群和c-complete群的概念提升到映射角度.

設f:X→Y是一個連續(xù)映射，如果對角映射δf:X→X×YX是一個閉映射(等價地，對任意的y∈Y,纖維f-1(y)是X的Hausdorff子空間)，則f稱為Hausdorff(或纖維Hausdorff).顯然拓撲空間X是Hausdorff的當且僅當常值映射f:X→1是纖維Hausdorff的，其中1表示單點空間.纖維Hausdorff性是空間的Hausdorff性在映射水平上的提升.

定義 3.8 設f:G→H是連續(xù)群同態(tài).

1) 如果對任意的連續(xù)群同態(tài)g:K→H,f沿著g的拉回是c-閉的，則稱f:G→H是一個c-proper同態(tài)；

2) 如果f:G→H是c-proper態(tài)射同時f是Hausdorff的，則稱f:G→H是一個c-完備同態(tài).

從以上定義容易看出，拓撲群G是C-緊的當且僅當常值映射f:G→1是c-完備的.c-proper同態(tài)和c-完備同態(tài)具有許多類似于C-緊群的性質和刻畫(參看文獻[28]).

定理 3.9f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，H是Hausdorff群.則f:G→H是c-proper同態(tài)當且僅當對任意的拓撲群K，乘積映射f×idK:G×K→H×K是c-閉的.

也可以將h-complete群的概念提升到態(tài)射的水平.

定理 3.10 設f:G→H是連續(xù)群同態(tài).

1) 如果對f:G→H的任意分解,

其中K是Hausdorff的，都有G在h下的像h(G)≤K是K的閉子群，則稱f:G→H是h-complete同態(tài).

2) 如果對f:G→H的任意分解f=k·h，其中k是Hausdorff的，都有h是c-閉的，則稱f:G→H是c-complete同態(tài).

3) 如果常值映射f:G→1是c-complete同態(tài)，則稱G是一個c-complete群.

容易驗證拓撲群G是h-完備的當且僅當G是Hausdorff的且常值映射f:G→1是h-完備的，任意一個c-proper同態(tài)是c-complete同態(tài)，任意一個c-complete同態(tài)是h-complete同態(tài)，任意一個c-complete同態(tài)是c-閉的，但反之不成立.

問題 3.11 h-complete同態(tài)是否一定是c-complete同態(tài)?特別地是否存在一個h-complete的Hausdorff拓撲群不是c-complete群?

問題 3.12 設f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，滿足對任意的閉子群k≤G，限制映射f|K:K→H是h-complete，f:G→H是否c-proper同態(tài)?

如果連續(xù)群同態(tài)f:G→H沿著任意連續(xù)群同態(tài)的拉回都是h-complete同態(tài)，稱f:G→H是穩(wěn)定h-complete同態(tài).

問題 3.13 設f:G→H是穩(wěn)定的h-complete同態(tài)，f:G→H是否c-proper同態(tài)?

對于Hausdorff拓撲交換群，C-緊群等價于緊群，也等價于h-complete群.下面是一個自然的問題.

問題 3.14 設f:G→H是連續(xù)群同態(tài)，其中G與H是Abel群.若f:G→H是c-proper同態(tài)，f:G→H是否是完備映射?進一步若f:G→H是h-complete同態(tài)，f:G→H是否是完備映射?

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2010 MSC：18B05; 18B10; 18D35

(編輯 周 俊)

Some Progresses on the Category of Topological Groups

HE Wei

(School of Mathematics, Nanjing Normal University, Nanjing 210097, Jiangsu)

Topological groups are important research objects in the field of topological algebras, and they are applied to many fields such as harmonic analysis, dynamic systems, etc. The category of topological groups has many interesting properties. This paper is a survey of some results on the category of topological groups. The content includes some basic categorical properties, the precompact reflections of topological groups, the compact reflections of topological groups (the Bohr compactification), Raǐkov completions, C-compact groups and c-proper homomorphisms.

topological group; continuous homomorphism; precompact group; compact group; C-compact group; c-proper homomorphism; Raǐkov completion

2016-08-30

國家自然科學基金(11571175)

賀 偉(1964—),男,教授,主要從事Locale理論、Topos理論、拓撲學(范疇拓撲、拓撲代數)、范疇論、格論、不確定性理論的研究,E-mail:weihe@njnu.edu.cn

O154.1

A

1001-8395(2016)06-0915-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.026