楊謹(jǐn)瑞，　戚承志，　魏小琨，　劉天添

(北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院 北京市高校工程結(jié)構(gòu)與新材料工程研究中心， 北京　100044)

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淺埋單層三跨地下結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)

楊謹(jǐn)瑞，戚承志，魏小琨，劉天添

(北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院 北京市高校工程結(jié)構(gòu)與新材料工程研究中心， 北京100044)

摘要：采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法，通過求解地下結(jié)構(gòu)頂板的動(dòng)力響應(yīng)得到了單層三跨地下結(jié)構(gòu)中柱在豎向地震分量作用下的動(dòng)力響應(yīng). 地下結(jié)構(gòu)首先被看作是剛體，利用與地基的相互作用得到地下結(jié)構(gòu)在豎向地震分量作用下的動(dòng)力響應(yīng). 其次，由于地下結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取一半進(jìn)行簡(jiǎn)化分析，側(cè)墻對(duì)于頂板的約束用抗彎彈簧代替. 再次，根據(jù)邊界條件將之前的剛體動(dòng)力響應(yīng)作為輸入，可以求得頂板的剪力. 最后，通過之前求得的頂板剪力進(jìn)而求得中柱的受力情況. 結(jié)果表明，豎向地震分量對(duì)中柱的作用是顯著的，甚至?xí)?duì)地下結(jié)構(gòu)中柱產(chǎn)生嚴(yán)重的破壞.

關(guān)鍵詞：豎向地震分量； 單層三跨； 中柱； 動(dòng)力響應(yīng)

早期地震工程中認(rèn)為，地下結(jié)構(gòu)受地震的影響很小. Newmark N.M.等[1]是最早研究豎向及水平地震峰值的學(xué)者之一. 他們的研究表明，豎向地震加速度峰值可以比較安全地取為水平分量的2/3. 有記錄表明，有些地震產(chǎn)生的豎向加速度不僅相對(duì)于水平地震分量來講很高，而且絕對(duì)值也很大. 在地鐵車站中柱發(fā)生不同程度的破壞中，觀測(cè)到中柱中間部分有環(huán)向和豎向裂紋或者屈曲、被壓碎. 在日本阪神地震中，大開地鐵車站破壞最為嚴(yán)重，有一半以上中柱倒塌，這就導(dǎo)致了頂板的坍塌和上覆土層的大量沉降，沉降量最大的地方達(dá)2.5 m. 因?yàn)閷?duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)來講，在水平地震動(dòng)作用下，中柱中間部分的彎矩基本上為零，因此中柱中間部分的環(huán)向、豎向裂紋、屈曲與壓碎破壞不能夠認(rèn)為是水平地震動(dòng)引起的.

豎向地震分量對(duì)于地下結(jié)構(gòu)的影響，相關(guān)專家學(xué)者也取得了一些成果. 姚小彬等[2]發(fā)展了一種求解淺埋地下結(jié)構(gòu)頂板頻率和振型的方法. 于翔等[3]通過沖量原理分析了豎向地震分量對(duì)于地鐵結(jié)構(gòu)破壞的影響，發(fā)現(xiàn)豎向地震作用的破壞也是非常大的. 李信橋等[4]采用ABAQUS軟件對(duì)地下結(jié)構(gòu)受豎向、橫向以及橫豎向地震分量共同作用下的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了模擬. 楊春田[5]采用沖量原理計(jì)算豎向地震作用，針對(duì)日本阪神地震中柱破壞進(jìn)行了定量分析,認(rèn)為豎向地震動(dòng)必須在地下結(jié)構(gòu)的計(jì)算中考慮. 戚承志等[6]給出了一種箱形地下結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算方法. 王越等[7]認(rèn)為研究豎向地震分量對(duì)于地下結(jié)構(gòu)的作用主要應(yīng)該針對(duì)豎向地震分量作用的定量研究. 在文獻(xiàn)[8]中，戚承志等研究了淺埋地下結(jié)構(gòu)頂板在豎向地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)，但是沒有研究中柱和底板的動(dòng)力響應(yīng).

對(duì)于地下結(jié)構(gòu)，有時(shí)豎向地震分量的作用是顯著的，有時(shí)還是很嚴(yán)重的. 由于中柱是地下結(jié)構(gòu)在地震時(shí)最薄弱的部位. 目前對(duì)于地下結(jié)構(gòu)在豎向地震作用下的動(dòng)力響應(yīng)的研究較少，且主要集中于數(shù)值模擬，缺乏理論模型. 本文將基于土與結(jié)構(gòu)相互作用的解析模型研究豎向地震作用下淺埋地下結(jié)構(gòu)中柱的動(dòng)力響應(yīng). 由于單層三跨地鐵站為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，為簡(jiǎn)化計(jì)算，取一半進(jìn)行分析，首先將地下結(jié)構(gòu)看作是剛體，得到剛體在豎向地震分量作用下的動(dòng)力響應(yīng). 之后側(cè)墻對(duì)于頂板的約束用抗彎彈簧代替，根據(jù)邊界條件，將之前的剛體動(dòng)力響應(yīng)作為輸入，可以求得底板與頂板的彎矩和剪力，從而求得中柱的受力情況.

1單層三跨地下結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的近似求解

選取的單層三跨地下結(jié)構(gòu)如圖1所示. 當(dāng)頂板在中柱所在截面的剪力已知時(shí)，即可得到中柱受力. 求解頂板動(dòng)力響應(yīng)時(shí)所需的邊界條件根據(jù)側(cè)墻的運(yùn)動(dòng)規(guī)律給出. 將地下結(jié)構(gòu)看作剛體，則側(cè)墻的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以通過剛體與地基的相互作用得到. 地下結(jié)構(gòu)的位移與底板在x=0與x=L處的位移相等.

(1)

由達(dá)朗貝爾原理，可以得到結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

其中，將結(jié)構(gòu)與覆土看作整體，質(zhì)量為M:

地下結(jié)構(gòu)的絕對(duì)位移：

(3)

2求解地下結(jié)構(gòu)頂板動(dòng)力響應(yīng)

利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可以使問題的分析簡(jiǎn)化，所

以取地下結(jié)構(gòu)一半進(jìn)行分析說明，設(shè)側(cè)墻與底板為剛性的，頂板為彈性的，側(cè)墻剛性聯(lián)結(jié)在底板上. 該地下結(jié)構(gòu)的縱向尺寸遠(yuǎn)大于其直徑及其邊長，將頂板沿軸線方向取單位長度，這樣可以將頂板簡(jiǎn)化為梁.

取微元體進(jìn)行受力分析，根據(jù)豎直方向平衡條件和力矩平衡條件，略去二階微量，可得頂板的自由振動(dòng)方程與強(qiáng)迫振動(dòng)方程[9]：

(4)

(5)

由于式(4)為線性的，采用分離變量法來進(jìn)行求解[10]. 得到兩個(gè)獨(dú)立的常微分方程:

(6)

(7)

Y(x)=A1coskx+A2sinkx+

A3coshkx+A4sinhkx

(8)

為了分析較為簡(jiǎn)便，使用抗彎彈簧來代替?zhèn)葔?duì)于頂板的抗彎作用，抗彎彈簧系數(shù)為kφ，如圖3所示.

那么，頂板梁的邊界條件為：

x=0時(shí)，Y′(0)=0，Y″(0)=0

x=L時(shí)，Y(L)=0，DY″(L)=ML=-kφY′(L)

將以上兩組邊界條件分別帶入式(8)，整理可以得到頂板梁的頻率方程：

(sinkLcoshkL+coskLsinhkL)+

上式為關(guān)于kL的超越方程，通過數(shù)值法可以得到kL的值，然后可以得到頂板的振動(dòng)頻率，之后可以求得A1～A4的值，最后便可得到頂板的振型方程. 對(duì)于頂板振動(dòng)第一振動(dòng)模態(tài)，特征值為(kL)1=2.891 2.

3算例

設(shè)側(cè)墻墻厚δw=0.7m，頂板內(nèi)側(cè)板面與底板內(nèi)側(cè)板面之間的距離hw=5.5m，中柱截面尺寸1.5m×1.5m，側(cè)墻的抗剪系數(shù)kτ=0.7×108N/m3，混凝土楊氏模量E=2.35×1010N/m2，泊松比ν=0.16，地基系數(shù)kg=2.0×108N/m3，頂板梁長度L=8m，頂板厚δc=0.7m，頂板梁密度ρc=2 400kg/m3，覆土層厚度為4m，密度ρs=1 800kg/m3.

7.244×108Nm

振型為：

Y1(x)=coskx+0.923 8sinkx+

coshkx-0.923 8sinhkx

(9)

其中:

利用振型的正交性來求解頂板的運(yùn)動(dòng)方程，得到有阻尼運(yùn)動(dòng)方程：

(10)

式中,Mn為廣義質(zhì)量,Pn(t)為廣義力. 對(duì)于第一振型，可以求得廣義質(zhì)量與廣義力分別為M1=16.190m，P1(t)=50.130msin50t，可以得到廣義坐標(biāo)方程為:

當(dāng)ζ1=0.1時(shí)，穩(wěn)態(tài)解的形式為:

φ1=A1sin(50t-φ1)

其中:A1=2.54×10-3m

對(duì)于第一振型：

coshkx-0.923 8sinhkx)sin(50t-φ1)

頂板受到的剪力為：

DA1k3(sinkx-0.923 8coskx+

sinhkx-0.923 8coshkx)sin(50t-φ1)N

那么可以得到中柱所在截面處頂板剪力大小為：

2.74×105×sin(50t-φ1)N

當(dāng)柱間距取3m時(shí)，中柱所受到的軸向力大小為:

F=3×Fs(3.15,t)=8.23×105×sin(50t-φ1)N

地下結(jié)構(gòu)頂板與覆土的靜重力:

G=2.32×105N

通過以上計(jì)算看以看出，在豎向地震作用下，中柱的受力是顯著的，約為靜重力的3.55倍.

4結(jié)論

本文采用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法，通過求解地下結(jié)構(gòu)頂板的動(dòng)力響應(yīng)得到了單層三跨地下結(jié)構(gòu)中柱在豎向地震分量作用下的受力情況. 地下結(jié)構(gòu)首先被看作是剛體，利用地下結(jié)構(gòu)與地基的相互作用得到地下結(jié)構(gòu)在豎向地震分量作用下的動(dòng)力響應(yīng). 其次，由于地下結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，取一半進(jìn)行簡(jiǎn)化分析. 再次，側(cè)墻對(duì)于頂板的約束用抗彎彈簧代替，根據(jù)邊界條件，將之前的剛體動(dòng)力響應(yīng)作為輸入，可以求得頂板的剪力. 最后，通過之前求得的頂板的剪力進(jìn)而求得中柱的受力情況. 通過算例中的計(jì)算結(jié)果可以看出，豎向地震分量對(duì)中柱的作用是顯著的，甚至?xí)?duì)地下結(jié)構(gòu)中柱產(chǎn)生破壞，所以豎向地震作用對(duì)于地下結(jié)構(gòu)的影響是不能忽視的.

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[責(zé)任編輯：佟啟巾]

Dynamic Response of Mid-Pillar Under Vertical Seismic Excitation in Treble-Span Shallowly Buried Underground Structure

Yang Jinrui,Qi Chengzhi,Wei Xiaokun, Liu Tiantian

(School of Civil and Traffic Engineering, Beijing Higher Institution Engineering Research Center of Structure and New Materials, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044)

Abstract:Using the structural dynamics method the dynamic response of mid-pillar under vertical seismic excitation in treble-span shallowly buried underground structure is gained by solving dynamic response of underground structure roof slab. Firstly, underground structure is treated as rigid body and the dynamic response of structure under vertical seismic excitation is obtained by analyzing the interaction between rigid body and foundation. Secondly, due to the symmetry of the underground structure, half of the structure is taken into consideration. Bending restraint of side wall which is replaced by bending spring is taken into consideration. Shear forces of roof slab is obtained by inputting the dynamic response of the rigid body obtained previously as boundary condition of roof slab. Finally, the stress of mid-pillar is obtained. The results show that the effect of vertical seismic excitation is significant for mid-pillar, even causes serious damage for the mid-pillar of underground structure.

Key words:vertical seismic excitation; treble-span; mid-pillar; dynamic response

中圖分類號(hào)：P315.9; TU435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡(jiǎn)介：楊謹(jǐn)瑞(1990—)，男，碩士研究生，研究方向：結(jié)構(gòu)抗震、巖土力學(xué).

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51174012，51174012);北京市屬高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)與教師職業(yè)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IDHT20130512);國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)項(xiàng)目(2015CB0578005)

收稿日期：2015-10-03

文章編號(hào)：1004-6011(2016)01-0042-04