張曉轉(zhuǎn)（同濟大學,上海 201804）

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基于超網(wǎng)絡的超拉普拉斯矩陣研究

張曉轉(zhuǎn)
（同濟大學,上海 201804）

摘 要：這篇文章研究了如何用超拉普拉斯矩陣描述超復雜網(wǎng)絡，并且研究了其對應的特征值譜。關(guān)鍵詞：超網(wǎng)絡；超拉普拉斯矩陣；同步性

近年來關(guān)于網(wǎng)絡的研究在各個方面都越來越復雜，不論是從拓撲結(jié)構(gòu)的復雜性，還是從研究角度的多樣性來說。超網(wǎng)絡[1]被不同的研究學者們稱為多層網(wǎng)絡，獨立網(wǎng)絡的網(wǎng)絡，統(tǒng)一性的缺乏揭示了關(guān)于這個研究課題研究的多樣性。另一方面，基于超復雜網(wǎng)絡的多智能體系統(tǒng)的同步性也引起了很多學者的興趣，不論是離散有向網(wǎng)絡還是離散無向網(wǎng)絡，關(guān)于連續(xù)網(wǎng)絡的研究也有一些。

1 研究現(xiàn)狀以及構(gòu)造超拉普拉斯矩陣

1.1 研究現(xiàn)狀

使用G=(V,?,A) 來描述超復雜網(wǎng)絡，含義是該網(wǎng)絡包含V={1,2,…,N}描述的N個節(jié)點，?=V×V描述N個節(jié)點之間的連邊，A=aij∈RN×N稱為鄰接矩陣，矩陣的每一個元素代表節(jié)點i和節(jié)點j的連接情況。節(jié)點的度即為該節(jié)點與另外幾個節(jié)點相連，不允許自環(huán)。強度矩陣是 S=diag(s1,…,sN)，由相應節(jié)點的度組成的對角陣。一般網(wǎng)絡的拉普拉斯矩陣由L=S-A表示。無向網(wǎng)絡的拉普拉斯矩陣具有如下幾個性質(zhì)：行列之和為0；具有一組從小到大排列形如λ1=0,λ2,…,λN的特征值。對于每一層有相同節(jié)點個數(shù)的超網(wǎng)絡，有很多相關(guān)研究[1,2,3,5],然而對于每層節(jié)點個數(shù)不同的網(wǎng)絡，相關(guān)研究極少。這是可以理解的，因為節(jié)點個數(shù)相同時，數(shù)學形式一致，便于推導出整齊的結(jié)果。然而事實上大多數(shù)實際問題的模型每層節(jié)點個數(shù)都不相同，因此本文基于此假設推導出多層網(wǎng)絡的超拉普拉斯矩陣。為了簡化問題并且不失一般性，假設網(wǎng)絡由兩層構(gòu)成，每層有不同的節(jié)點個數(shù)。

1.2 超拉普拉斯矩陣構(gòu)造

進一步簡化參數(shù)，我們假設D1=D2=1，并且D12=Dx，于是得到如下形式：

1.3 超拉普拉斯矩陣值譜研究

由以下兩種特殊情況，可以得到超拉普拉斯矩陣的兩個特征值以及對應的特征向量：

情況一： x=(1,…,1),

情況二：如上推導，可得x=（1…1,0,,,0|-1,-1,0…0），其中1與-1的個數(shù)為層間相連節(jié)點的個數(shù)。

2 超拉普拉斯矩陣特征值譜仿真

由以上兩種情況可知，0和2Dx是該拉普拉斯矩陣的特征值，當Dx比較小的時候，即遠小于λ2/2 的時候，最小非零特征值即為2Dx，影響超網(wǎng)絡的同步速度，而當Dx→∞時，λ2/λN影響了網(wǎng)絡的同步性能。圖1揭示了超拉普拉斯矩陣的特征值譜隨著Dx變化的情況。

3 總結(jié)

本文對于超拉普拉斯矩陣做了初步的構(gòu)造和分析，相關(guān)的后續(xù)工作比如超拉普拉斯矩陣特征值譜與各自子網(wǎng)絡特征值譜的分布關(guān)系，特征值分布對于社團結(jié)構(gòu)形成的影響等，都是有研究價值的方向。

參考文獻：

[1]Bianconi G. Statistical mechanics of multiplex networks: Entropy and overlap[J]. Physical Review E,2013,87(06): 062806.

[2]Gomez S,Diaz-Guilera A, Gomez-Garde?es J, et al. Diffusion dynamics on multiplex networks[J].Physical review letters, 2013,110(02): 028701.

作者簡介：張曉轉(zhuǎn)（1991-），女，陜西渭南人，碩士，主要從事：復雜網(wǎng)絡的同步性問題研究。

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.02.227