武長青

界定“線性元件和非線性元件”的標(biāo)準(zhǔn)是“元件的伏安特性曲線是否是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線”.無論是否為線性元件，電阻都按R=U/I計(jì)算，只有在線性電阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲線上，電阻的倒數(shù)一定等于線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，只有在線性元件中曲線的切線的斜率才等于電阻的倒數(shù)，非線性元件中曲線的切線的斜率沒有意義.

1問題的提出

伏安特性曲線中如何求電阻？怎樣判斷電阻的變化？

例題1某導(dǎo)體中的電流隨其兩端的電壓變化，如圖1實(shí)線所示，則下列說法中正確的是

A.加5 V電壓時(shí)，導(dǎo)體的電阻是5 Ω

B.加12 V電壓時(shí)，導(dǎo)體的電阻是8 Ω

C.由圖可知，隨著電壓增大，導(dǎo)體的電阻不斷減小

D.由圖可知，隨著電壓減小，導(dǎo)體的電阻不斷減小

實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生解答中存在以下的問題：不選A和B，選擇D.但部分學(xué)生選擇D的解法是看伏安特性曲線的切線，切線越來越平緩，電阻越來越大.

出現(xiàn)以上的解法其實(shí)是源于同一思維點(diǎn)：“求伏安特性曲線的切線”出發(fā).因無法求5 V、12 V時(shí)的切線所以不選A、B，對應(yīng)著D答案，學(xué)生認(rèn)為R=1/K，切線斜率減小，電阻值增大.這樣的解法對嗎？伏安特性曲線切線的斜率是電阻的倒數(shù)嗎？

2緊扣定義確定正解

歐姆定律告訴我們，對于金屬和電介質(zhì)導(dǎo)電時(shí)I=U/R.變形可得R=U/I，即電阻阻值應(yīng)是統(tǒng)一狀態(tài)下電壓和電流的比值.根據(jù)這樣的比值定義，求出5 V時(shí)的電阻是R=5 Ω，12 V時(shí)的電阻是R=8 Ω.隨著電壓的增大線上各點(diǎn)對應(yīng)的電壓與電流的比值不斷增大，因此電阻值增大.

3虛構(gòu)模型剖析錯(cuò)解

學(xué)生為何會(huì)按“求伏安特性曲線的切線”的思路求解呢？這要從線性元件的伏安特性的理解上尋找根源.由于線性元件的伏安特性曲線的斜率的倒數(shù)等于線性元件的電阻.學(xué)生將“斜率”的定義進(jìn)行“自然”遷移，理解成曲線斜率的倒數(shù)就是阻值的大小.同時(shí)也將線性元件的“線性”這一概念擴(kuò)大成數(shù)學(xué)中的線性函數(shù)的“線性”.

數(shù)學(xué)中，線性（linear），指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù).由趙凱華、陳熙謀編寫的高等教育出版社出版的高等學(xué)校教材《電磁學(xué)》第二版對“線性元件和非線性元件”是這樣描述的：以電壓U為橫坐標(biāo)、電流強(qiáng)度I為縱坐標(biāo)畫出的曲線，叫做該導(dǎo)體的伏安特性.歐姆定律成立時(shí)，伏安特性是一條通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，其斜率等于電阻R的倒數(shù)，它是一個(gè)與電壓、電流無關(guān)的常量.具有這種性質(zhì)的電學(xué)元件叫做線性元件，可得到界定“線性元件和非線性元件”的標(biāo)準(zhǔn)是“元件的伏安特性曲線是否是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線”.

我們可以虛構(gòu)以下的模型引導(dǎo)學(xué)生區(qū)別數(shù)學(xué)“線性”與物理“線性元件”中線性的不同.若某一元件的伏安特性如圖2所示，那么該元件是線性元件嗎？其阻值隨著電壓的增大是否改變？

從數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)角度出發(fā)，此圖線為線性圖線.認(rèn)真對照線性元件的定義可知，該元件不是線性元件.

4對比分析深化理解

學(xué)生為何會(huì)將“斜率”的定義進(jìn)行“自然”遷移？從授課的過程看：線性元件的伏安特性曲線是過原點(diǎn)的傾斜的直線，1R=k=IU，也能表達(dá)成1R=I1U1=I2U2=ΔIΔU=k.在此學(xué)生就開始知識(shí)遷移.實(shí)際上在非線性元件中，1R=I1U1≠I2U2≠ΔIΔU，即對應(yīng)著（I1，U1）和（I2，U2）的電阻值并不相等.1R不能寫成ΔIΔU，不能看成伏安特性曲線上該點(diǎn)切線的斜率，應(yīng)是某點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.

如圖3所示，在第一個(gè)問題中當(dāng)電壓增大時(shí)，k2

說得再直接一點(diǎn)：無論是否為線性元件，電阻都按R=U/I計(jì)算，只有在線性電阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲線上，電阻的倒數(shù)一定等于線上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，只有在線性元件中曲線的切線的斜率才等于電阻的倒數(shù)，非線性元件中曲線的切線的斜率沒有意義.

從學(xué)生已掌握的知識(shí)看，顯然與a=ΔvΔt進(jìn)行了類比遷移.這其實(shí)是個(gè)錯(cuò)誤遷移.加速度定義為△v與△t的比值.無論加速度是否恒定都是兩者的比值.而電阻則是電壓與電流的比值.在阻值不變的前提下，可以根據(jù)等比定理寫成ΔUΔI，但這并不是電阻的定義式.

我們可以用這樣的方法類比分析.在如圖4所示的彈簧彈力和形變量的關(guān)系圖線中，勁度系數(shù)是F與x的比值，因此實(shí)線表示隨著彈簧伸長量的增大，彈簧的勁度系數(shù)先不變后減?。▌哦认禂?shù)應(yīng)等于線上各點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率）.同樣，在如

圖5所示的P-T圖像中，雖然實(shí)線是一條傾斜的直線，但一定質(zhì)量的同種氣體并非做等容變化，而是體積不斷減?。w積應(yīng)等于線上各點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率的倒數(shù)）.在如圖6所示的動(dòng)量-時(shí)間圖像中圖線上任一點(diǎn)切線的斜率等于該時(shí)刻物體所受的合外力（F=ΔPΔt），隨時(shí)間增加合外力減小.在如圖7所示的速度-時(shí)間圖像中物體的加速度保持不變（a=ΔvΔt）.

同為“線性”，我們應(yīng)能在數(shù)學(xué)、物理范疇內(nèi)區(qū)別理解.必須明確同為求斜率，是“某點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的斜率”還是“圖線上某點(diǎn)切線的斜率”，我們應(yīng)根據(jù)具體的比值定義內(nèi)容選擇正確、合理的解決方法.