劉　偉，趙自強，王文中

(北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081)

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考慮潤滑油膜的深溝球軸承非線性動力學(xué)分析*

劉偉，趙自強，王文中

(北京理工大學(xué) 機械與車輛學(xué)院，北京 100081)

摘要：針對機床中使用的深溝球軸承，考慮了油膜阻尼和油膜切向摩擦力，建立了更符合實際工況的軸承運動微分方程。通過數(shù)值方法求解得到了軸承系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、不同波紋度幅值下的分岔圖、相圖、軸心軌跡圖和龐加萊圖，以及考慮表面凹坑的動力學(xué)參數(shù)變化，并與未考慮潤滑油膜影響的計算進行了比較。結(jié)果表明，潤滑油膜的存在有利于減小軸承的振動，波紋度使系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜，而表面凹坑則降低了軸承的運轉(zhuǎn)精度。

關(guān)鍵詞：油膜阻尼；摩擦力；振動；表面波紋度；凹坑

在超精密機床中，滾動軸承的動力學(xué)行為決定主軸的回轉(zhuǎn)精度，最終將影響零件加工質(zhì)量。在其他機械裝備中，滾動軸承同樣是影響系統(tǒng)性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因此，建立完備的滾動軸承動力學(xué)模型，準確預(yù)測和分析軸承的動力學(xué)行為和性能非常重要。滾動軸承因制造工藝的制約，內(nèi)外滾道表面存在波紋度；滾動軸承在運轉(zhuǎn)過程中，軸承零件制造誤差以及軸承零件的磨損或缺陷引起的激振力將導(dǎo)致軸承振動。

軸承的振動直接影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運行狀態(tài)，為了保證轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的平穩(wěn)工作，許多學(xué)者開展了軸承振動的研究。N. Akturk等將鋼球簡化為無質(zhì)量的非線性彈簧，將鋼球與套圈之間的接觸力用內(nèi)圈三自由度方向的位移來表示，建立了球軸承的三自由度非線性振動模型[1]。M. Tiwari等分析了不同阻尼時徑向游隙對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，得到了系統(tǒng)的相圖和軸心軌跡圖[2]。

A. Choudhury等研究了在徑向載荷作用下，表面波紋度引起的軸承振動[3]。S. P. Harsha等分別研究了考慮游隙、表面波紋度和滾動體數(shù)量變化時的球軸承動力學(xué)建模問題，得到了各種因素對軸承動力學(xué)性能的影響情況，但其模型中未考慮潤滑油膜的影響[4-5]。H. Arslan和V. N. Patel等分析了內(nèi)外滾道局部缺陷對軸承振動的影響[6-7]。J. Sopanen等建立了考慮表面波紋度和局部缺陷的深溝球軸承動力學(xué)模型，并分析了表面波紋度和局部缺陷對軸承動力學(xué)性能的影響[8-9]。

近幾年，國內(nèi)學(xué)者在軸承動力學(xué)建模方面開展了進一步的研究。張彤等以球軸承為研究對象，求解滾動體與內(nèi)外圈在彈流潤滑狀態(tài)下的剛度-阻尼，并分析了軸承不同轉(zhuǎn)速和游隙對軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的影響[10-11]。顧曉輝等分析了考慮滾動軸承內(nèi)外圈波紋度、徑向間隙和非線性赫茲力作用下的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)響應(yīng)[12]。關(guān)貞珍等建立了軸承外圈、內(nèi)圈和滾動體局部損傷故障非線性動力學(xué)模型，并進行了動力學(xué)仿真與分析[13]。

在大多數(shù)文獻的計算中，并沒有考慮到潤滑油膜的影響，系統(tǒng)的阻尼往往根據(jù)經(jīng)驗取為常數(shù)。本文以深溝球軸承為對象，考慮油膜阻尼和油膜切向摩擦力，結(jié)合Hertz接觸理論和運動學(xué)方程，推導(dǎo)滾動軸承的非線性軸承力，得到滾動軸承的運動學(xué)微分方程，采用四階Runge-Kutta法求解軸承系統(tǒng)內(nèi)圈中心的位移和速度，與未考慮油膜影響的計算進行比較；并在考慮滾道的表面波紋度和凹坑的前提下，分析油膜對軸承動力學(xué)特性的影響。

1深溝球軸承動力學(xué)模型

深溝球軸承的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1　深溝球軸承的基本結(jié)構(gòu)

對于深溝球軸承，忽略徑向游隙和高速下離心力對滾動體公轉(zhuǎn)角速度的影響，滾動體的公轉(zhuǎn)角速度為：

(1)

式中，ωi是軸承內(nèi)圈角速度；Di是內(nèi)滾道溝底圓直徑；De是外滾道溝底圓直徑。

軸承中鋼球個數(shù)為Z，在內(nèi)、外圈等距分布，外圈固定不動且為剛性套圈。由于徑向力的作用，內(nèi)圈中心在軸承徑向平面的豎直方向位移為x，水平方向位移為y(見圖2)。

圖2　內(nèi)圈中心位移

在圖2中的位置角φj處，內(nèi)圈溝底位移可由下式表示：

dj=xcosφj+ysinφj

(2)

式中，φj是t時刻第j個鋼球所在的位置角，表達為：

(3)

設(shè)深溝球軸承徑向游隙為u，則在位置角φj處，鋼球與滾道之間的接觸彈性變形為：

δj=dj-u

(4)

由Hertz接觸理論，鋼球與滾道之間的接觸載荷為：

(5)

式中，K是載荷-位移系數(shù)。

所有鋼球?qū)?nèi)滾道的作用力沿x和y方向的合力為：

(6)

由拉格朗日方程，得到軸承系統(tǒng)的運動微分方程：

(7)

式中，M是轉(zhuǎn)子總質(zhì)量；e是系統(tǒng)不平衡質(zhì)量的偏心距，這里取0；C是總的油膜阻尼；Fx、Fy分別是油膜切向摩擦力F在x、y方向上的分量；Fr是徑向載荷。

油膜阻尼的計算公式如下[14]：

(8)

(9)

式中，ci是鋼球與內(nèi)滾道之間的油膜阻尼；ce是鋼球與外滾道之間的油膜阻尼(見圖3)；C是球軸承的油膜阻尼；η是絕對粘度；ah是赫茲接觸半徑；h0是最小油膜厚度。ah和h0可以根據(jù)彈流潤滑理論計算得到。圖3中，在得到鋼球與內(nèi)、外滾道之間的油膜阻尼后，根據(jù)式9可計算得到總的油膜阻尼C。

圖3　球軸承油膜阻尼

可以用經(jīng)驗?zāi)Σ烈驍?shù)計算滾動體和滾道之間潤滑油膜的切向摩擦力[15]。根據(jù)試驗結(jié)果，把摩擦因數(shù)表示為最大接觸應(yīng)力和滑滾比的函數(shù)。為了簡化計算，本文假設(shè)軸承處于良好潤滑狀態(tài)，摩擦因數(shù)取0.007，因而接觸區(qū)內(nèi)任一點的摩擦切應(yīng)力可以表示為：

(10)

式中，μ是摩擦因數(shù)；Q是接觸載荷；a是接觸區(qū)域的長半軸；b是接觸區(qū)域的短半軸。

式10中的切應(yīng)力在接觸區(qū)內(nèi)積分可以得到總摩擦力F。

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動微分方程組(式7)采用四階Runge-Kutta法求解，計算中初值均取0，積分步長為激勵周期的1/1 000，計算500個周期。為得到軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定后的響應(yīng)，從第450個周期取值。計算所用軸承為SKF6002，軸承工況參數(shù)見表1。

表1　軸承工況參數(shù)

將軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速作為系統(tǒng)的分岔參數(shù)，轉(zhuǎn)速的變化范圍取為8 000～12 000 r/min?？紤]潤滑油膜影響后，內(nèi)圈中心在x和y方向的位移和速度隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖分別如圖4a～圖4d所示。開始時，系統(tǒng)為一周期運動，隨著轉(zhuǎn)速的升高，進入混沌運動和倍周期運動交替進行的階段，在轉(zhuǎn)速為10 500～11 000 r/min時，出現(xiàn)了十周期運動和五周期運動，接著是擬周期運動，最后又變?yōu)橐恢芷谶\動。對比可以看到，位移和速度的變化是同步的。

在未考慮潤滑油膜影響的計算中，運動微分方程沒有計算油膜阻尼，而是給定一個經(jīng)驗值，也沒有考慮摩擦力的影響，未考慮潤滑油膜(阻尼取為定值200 Ns/m)的結(jié)果分別如圖4e～圖4h所示。對比發(fā)現(xiàn)，考慮潤滑油膜的影響后，x和y方向上的位移變化范圍和速度波動范圍有所縮小，并在轉(zhuǎn)速為8 300～10 500 r/min時，使混沌運動區(qū)間出現(xiàn)了混沌運動和倍周期運動交替的情形?？紤]到潤滑油膜的減振、吸振作用，本文考慮油膜阻尼和摩擦力所得到的結(jié)果更符合軸承實際運轉(zhuǎn)情況，結(jié)果也表明油膜對軸承振動有一定的抑制作用。

取轉(zhuǎn)速為12 000 r/min時，研究周期運動狀態(tài)下內(nèi)圈中心的位移和速度，內(nèi)圈中心在豎直和水平方向上的相圖以及軸心軌跡圖分別如圖5a～圖5c所示，相對應(yīng)的龐加萊圖分別如圖5d～圖5f所示。由圖5可知，相圖和軸心軌跡圖均表現(xiàn)為一條封閉的曲線，而龐加萊圖表現(xiàn)為一個點，表明系統(tǒng)在該轉(zhuǎn)速下作一周期運動。

圖4　軸心位移和速度隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖

圖5　一周期運動的位移和速度

2滾道表面波紋度的影響

在建立了考慮油膜阻尼和摩擦力的軸承動力學(xué)模型后，即可考慮滾道缺陷對軸承動力學(xué)行為的影響。假設(shè)內(nèi)滾道存在波紋度，并為余弦函數(shù)形式，即：

(11)

式中，Ai是波紋度函數(shù)的幅值；θi是初始相位，這里取0；Pi是表面波紋度的階數(shù)。

同理，外滾道表面波紋度函數(shù)為：

(12)

式中，Ae是外滾道波紋度函數(shù)的幅值；θe是初始相位，這里取0；Pe是外滾道表面波紋度的階數(shù)。

設(shè)深溝球軸承的徑向游隙為u，則考慮了滾道的表面波紋度以后，在位置角φj處，鋼球與滾道之間的彈性變形量變?yōu)椋?/p>

δj=dj-u+Pij-Pej

(13)

將式13代入式7即可建立考慮滾道表面波紋度的運動微分方程，仍采用四階Runge-Kutta法求解。

以深溝球軸承SKF6002為例，軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為12 000 r/min，將外滾道的表面波紋度幅值作為軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)分岔參數(shù)，幅值變化范圍取2.0～12.0 μm，波紋度階數(shù)為9，其余工況參數(shù)見表1?？紤]潤滑油膜影響后，內(nèi)圈中心隨外滾道的表面波紋度幅值變化的分岔圖分別如圖6a～圖6d所示。由圖6可知，隨著幅值的增加，系統(tǒng)先作混沌運動，接著是二周期運動，然后是倍周期運動和混沌運動交替進行，最后是一周期運動。對比還可以看出，位移和速度是同步進入混沌運動的。未考慮油膜影響的計算結(jié)果分別如圖6e～圖6h所示。對比發(fā)現(xiàn)，考慮潤滑油膜的影響之后，在幅值3.5～6.0 μm處出現(xiàn)了一段清晰的二周期運動區(qū)間，但在幅值11.4～11.8 μm處，再次進入了一小段混沌運動后才開始周期運動。

圖6　軸心位移和速度隨外滾道波紋度幅值變化的分岔圖

圖7　混沌運動的位移和速度

取波紋度幅值為7 μm時，研究混沌運動狀態(tài)下內(nèi)圈中心的位移和速度，內(nèi)圈中心的相圖和軸心軌跡圖分別如圖7a～圖7c所示。由于系統(tǒng)作混沌運動，相圖和軸心軌跡圖均表現(xiàn)為復(fù)雜密集的曲線。對應(yīng)的龐加萊圖分別如圖7d～圖7f所示，表現(xiàn)為多個離散點。對比圖5和圖7，波紋度的存在使系統(tǒng)由周期運動變?yōu)榛煦邕\動，導(dǎo)致了更大的振動幅值，使系統(tǒng)的動力學(xué)特性更加復(fù)雜。本模型也比較了不同波紋度階數(shù)的結(jié)果，當(dāng)外圈波紋度階數(shù)與滾動軸承滾動體個數(shù)相同時，系統(tǒng)的動力學(xué)特性最為復(fù)雜，系統(tǒng)更易進入混沌運動狀態(tài)，發(fā)生強烈振動。這與文獻[16]的試驗結(jié)果是一致的。

3滾道表面凹坑缺陷的影響

軸承在實際工作中可能在滾道表面產(chǎn)生凹坑等缺陷。內(nèi)滾道表面的凹坑缺陷隨內(nèi)圈以角速度ωi旋轉(zhuǎn)，則在t時刻，凹坑的位置角范圍為：

(14)

式中，W是凹坑的寬度。

假設(shè)外圈固定，則外滾道凹坑缺陷的位置角范圍為：

(15)

根據(jù)鋼球的位置角和凹坑的位置角范圍，即可判斷在t時刻，鋼球是否處于凹坑之中。引入變量ρi和ρe，如果鋼球位于內(nèi)滾道的凹坑中，則ρi=1，否則ρi=0；同理，如果鋼球位于外滾道的凹坑中，則ρe=1，否則ρe=0。

假設(shè)深溝球軸承的徑向游隙為u，則考慮了滾道表面的凹坑缺陷后，在位置角φj處，鋼球與滾道之間的彈性變形量將變?yōu)椋?/p>

δj=dj-u-ρihi-ρehe

(16)

式中，hi是內(nèi)滾道凹坑引起的鋼球中心變化的高度；he是外滾道凹坑引起的鋼球中心變化的高度。

滾道上凹坑示意圖如圖8所示。在圖8中，D是鋼球直徑，H是凹坑的高度，h是鋼球中心變化的高度，由下式計算：

(17)

圖8　滾道上凹坑示意圖

將式16代入式7即可建立考慮滾道表面凹坑缺陷的運動微分方程，采用四階Runge-Kutta法求解。

以深溝球軸承SKF6002為例，軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為12 000 r/min，其余工況參數(shù)見表1?？紤]潤滑油膜影響后，內(nèi)滾道表面凹坑寬度為2.0 mm時軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動狀態(tài)圖分別如圖9a～圖9c所示，未考慮潤滑油膜的結(jié)果分別如圖9d～圖9f所示。由于凹坑的存在，相圖和軸心軌跡圖為不規(guī)則的封閉曲線，對比圖5的一周期運動，表面凹坑的存在降低了軸承的運轉(zhuǎn)精度。

圖9　考慮內(nèi)滾道表面凹坑的位移和速度

與未考慮潤滑油膜的結(jié)果進行比較，受油膜阻尼和摩擦力的影響，相圖和軸心軌跡圖的形狀都向內(nèi)收縮，進一步分析原因可知，通過計算得到的油膜阻尼比給定的經(jīng)驗值(200 Ns/m)要大，而阻尼增大會使表面凹坑對振動的影響減弱，這與本模型取得的結(jié)果是一致的。

4結(jié)語

綜上所述，可以得出如下結(jié)論。

1)以深溝球軸承為對象，考慮了油膜阻尼和切向摩擦力對軸承系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，建立了更符合實際工況的滾動軸承動力學(xué)模型，求解得到了軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)內(nèi)圈中心的位移、速度等參數(shù)。

2)隨轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)由一周期運動狀態(tài)進入混沌運動和倍周期運動交替狀態(tài)，接著是擬周期運動，直至周期運動狀態(tài)；考慮潤滑油膜影響后，軸心的位移變化范圍和速度波動范圍有所縮小，潤滑油膜的存在有利于減小軸承的振動。

3)隨波紋度幅值的增加，系統(tǒng)先作混沌運動，接著是二周期運動，然后是倍周期運動和混沌運動交替進行，最后是一周期運動；波紋度的存在導(dǎo)致了更大的振動幅值，使系統(tǒng)的動力學(xué)特性更加復(fù)雜。

4)滾道表面的凹坑降低了軸承運轉(zhuǎn)精度；油膜阻尼和摩擦力減弱了凹坑對軸承振動的影響。

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責(zé)任編輯鄭練

Nonlinear Dynamics Analysis of Deep Groove Ball Bearings Considering the Impact of Lubricant Oil Film

LIU Wei, ZHAO Ziqiang, WANG Wenzhong

(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

Abstract：For the deep groove ball bearings used for machine tools, the bearing differential equations of motion are established with consideration of the oil film damping and the tangential friction, which is much close to the actual working conditions. Bifurcation diagrams, phase diagrams, orbits of shaft center, and Poincare maps for the bearing-rotor system at different speeds, different waviness amplitude and dent are obtained by the numerical methods. The comparison is also conducted with the results without considering the effect of oil film. The results show that: the presence of the lubricant oil film tends to reduce the bearing vibration, the surface waviness makes dynamic behavior of the system be more complex, and the surface dent damages the bearing rotational accuracy.

Key words:oil film damping, friction, vibration, surface waviness, dent

中圖分類號：TH 117.2

文獻標志碼:A

收稿日期：2015-10-27

作者簡介：劉偉(1988-)，男，碩士研究生，主要從事機械設(shè)計及理論等方面的研究。

* 國家自然科學(xué)基金資助項目(51275045，51405017)

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973計劃)項目(2011CB706602)