景何仿 徐曉芳 蔡銀娟

【摘要】在“線(xiàn)性代數(shù)”課程的傳統(tǒng)教材及傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中，重理論而輕實(shí)踐，重筆算而輕機(jī)算，使學(xué)生無(wú)法將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中，從而產(chǎn)生厭學(xué)情緒。作者在多年教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，有意識(shí)地滲透數(shù)值計(jì)算思想，針對(duì)典型計(jì)算問(wèn)題，構(gòu)造了相應(yīng)算法，并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)， 在計(jì)算機(jī)上利用Matlab軟件進(jìn)行編程計(jì)算。通過(guò)實(shí)驗(yàn)化教學(xué)過(guò)程，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生用線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的編程能力。

【關(guān)鍵詞】線(xiàn)性代數(shù) 數(shù)值計(jì)算方法 數(shù)值實(shí)驗(yàn) Matlab軟件

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11361002）；寧夏自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（NZ13086/NZ14110）；北方民族大學(xué)教改項(xiàng)目（JYYB201415 ）；北方民族大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目。

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）04-0128-02

1.引言

線(xiàn)性代數(shù)是研究有限維空間中線(xiàn)性關(guān)系的理論和方法的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，許多科學(xué)與工程問(wèn)題都可歸結(jié)為線(xiàn)性代數(shù)問(wèn)題。“線(xiàn)性代數(shù)”課程已成為高等學(xué)校理工科類(lèi)、經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。然而，“線(xiàn)性代數(shù)”課程具有高度的概括性、抽象性，學(xué)習(xí)起來(lái)難度較大。傳統(tǒng)的“線(xiàn)性代數(shù)”課程體系構(gòu)建得不太合理，教學(xué)內(nèi)容抽象，計(jì)算方法落后，缺少與相關(guān)數(shù)學(xué)分支的橫向聯(lián)系，沒(méi)有及時(shí)反映現(xiàn)代科技尤其是數(shù)學(xué)軟件對(duì)該課程的影響。因此，必須轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念，樹(shù)立新的教學(xué)理念，對(duì)現(xiàn)有的“線(xiàn)性代數(shù)”課程的教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式進(jìn)行深刻的改革。

近年來(lái)，關(guān)于“線(xiàn)性代數(shù)”課程教學(xué)改革的學(xué)術(shù)研究成果較多。關(guān)于有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用方面，主要研究成果可參考文獻(xiàn)[1-2]； 關(guān)于教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式、教學(xué)方法及考核手段上的一些改革建議的研究成果可以參考文獻(xiàn)[3-4]；在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方面的改革成果有[5-6]。

上述研究成果的取得，使得“線(xiàn)性代數(shù)”在課程體系、教學(xué)手段等諸多方面發(fā)生了較大變化，在一定程度上能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。然而，查閱已有的參考文獻(xiàn)可知，已有的關(guān)于“線(xiàn)性代數(shù)”課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)方案，只是簡(jiǎn)單地調(diào)用數(shù)學(xué)軟件（如MATLAB）中的一些命令解決線(xiàn)性代數(shù)中的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題。而實(shí)際工程問(wèn)題，規(guī)模一般都比較大，問(wèn)題也千變?nèi)f化，許多情況下是無(wú)法直接調(diào)用現(xiàn)有的命令所能解決的。再者，如果在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中僅僅機(jī)械地調(diào)用現(xiàn)有命令，無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和動(dòng)手能力，學(xué)生走到工作崗位后將無(wú)法靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

為此，作者所在項(xiàng)目組承擔(dān)了一個(gè)教改項(xiàng)目，擬在“線(xiàn)性代數(shù)”課程教學(xué)中加入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，但與以往數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不同的是，除了調(diào)用現(xiàn)有命令，還有意識(shí)的將數(shù)值計(jì)算思想引入教學(xué)中，對(duì)一些典型問(wèn)題，使學(xué)生不僅學(xué)會(huì)筆算，還要理解并掌握計(jì)算機(jī)解決有關(guān)問(wèn)題地具體思路和算法，并能就簡(jiǎn)單問(wèn)題編程進(jìn)行計(jì)算。

2.典型問(wèn)題實(shí)驗(yàn)化教學(xué)的設(shè)計(jì)

由于“線(xiàn)性代數(shù)”課程內(nèi)容較多，不可能一一列舉，這里僅就兩個(gè)典型問(wèn)題設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)化教學(xué)方案，其中第一個(gè)為矩陣乘法運(yùn)算，第二個(gè)為線(xiàn)性方程組的求解。

2.1 矩陣的乘法運(yùn)算

由于矩陣的三角分解算法相對(duì)比較復(fù)雜，鑒于在學(xué)習(xí)《線(xiàn)性代數(shù)》時(shí)，大多數(shù)學(xué)生尚未學(xué)過(guò)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言。因此，這部分內(nèi)容不做要求，可通過(guò)調(diào)用Matlab命令直接實(shí)現(xiàn)。以下僅介紹求解下三角形和上三角形方程組的算法及其程序?qū)崿F(xiàn)。

算法2 （求解下三角形方程組，前代法）：

對(duì)于下三角形方程組（5），可用以下前代法來(lái)實(shí)現(xiàn)其求解過(guò)程：

第一步，分別定義n階矩陣L、n維列向量b和y；

第二步，輸入矩陣L和向量b的值；

第三步，求解方程組（5）中第一個(gè)方程，得到y(tǒng)1=b1/l11；

第四步，假設(shè)已經(jīng)由（5）中前i-1個(gè)方程以次求出y1，y2，…yi-1，將其代入（5）中第i個(gè)方程，則得

第五步，按公式（7）依次求解（5）中剩余的方程，即可得到方程組（5）的解向量y.

算法3 （求解上三角形方程組，回代法）：

對(duì)于下三角形方程組（6），可用以下回代法來(lái)實(shí)現(xiàn)其求解過(guò)程：

第一步，分別定義n階矩陣U、n維列向量x和y；

第二步，輸入矩陣U和向量y的值；

第三步，求解方程組（6）中倒數(shù)第一個(gè)方程，得到xn=yn/unn；

第四步，假設(shè)已經(jīng)由（6）中后面i個(gè)方程依次求出xn，xn-1，…，xn-i+1，將其代入（6）中倒數(shù)第i+1個(gè)方程，則得

第五步，按公式（8）依次求解（6）中剩余的方程，即可得到方程組（6）的解向量x。

3.數(shù)值算例

本節(jié)針對(duì)第二節(jié)中的典型算法，給出兩個(gè)典型算例，利用Matlab軟件編程進(jìn)行計(jì)算。

算例1. 某家公司向三個(gè)商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如表1所示：

4.結(jié)語(yǔ)

作為數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)的三大基礎(chǔ)之一的“線(xiàn)性代數(shù)”，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和提高學(xué)生的綜合素質(zhì)都有非常重要的意義。在“線(xiàn)性代數(shù)”教學(xué)中引入數(shù)值計(jì)算方法思想，并將Matlab軟件融入教學(xué)中來(lái)，加深了學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的理解，使一些復(fù)雜的計(jì)算和推導(dǎo)過(guò)程在計(jì)算機(jī)上得以實(shí)現(xiàn)，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的編程能力及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，開(kāi)發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，為其后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

景何仿（1970-），男，甘肅岷縣人，副教授， 博士，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)方面研究。