楊素青 敖登

【摘要】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，是醫(yī)學(xué)生必須牢固掌握的基礎(chǔ)知識(shí).文中主要針對(duì)分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題作了詳細(xì)的討論，并給出了幾種求分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；初等函數(shù)；分段函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

高等數(shù)學(xué)是一門研究變量的學(xué)科，在社會(huì)的發(fā)展和創(chuàng)新過程中發(fā)揮著不可替代的突出作用，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要基礎(chǔ)，是醫(yī)學(xué)生必須掌握的一門知識(shí).

函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以說是《高等數(shù)學(xué)》中最重要的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)后續(xù)各章知識(shí)特別是積分學(xué)的關(guān)鍵基礎(chǔ).導(dǎo)數(shù)的概念來源于實(shí)際問題中的變化率，在醫(yī)藥學(xué)，生物技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.所以教師對(duì)于這部分內(nèi)容的教學(xué)都給予特別的重視以及要求學(xué)生對(duì)求導(dǎo)基本功的熟練掌握.對(duì)于初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，學(xué)生一般都可以比較好的掌握，但在分段函數(shù)的求導(dǎo)過程中會(huì)遇到一些問題，分析原因主要有兩個(gè)，一是分段函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是要考慮在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，要用到函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，而根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義去求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本身就是求導(dǎo)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，特別是當(dāng)函數(shù)結(jié)構(gòu)形式比較復(fù)雜時(shí)其求導(dǎo)數(shù)是很繁難的；二是大部分教材中并沒有單獨(dú)詳細(xì)地講述分段函數(shù)的求導(dǎo)問題，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有系統(tǒng)的理論知識(shí)可依據(jù)，只是靠老師適時(shí)的補(bǔ)充講解去理解.鑒于以上，本文針對(duì)分段函數(shù)求導(dǎo)的相關(guān)知識(shí)做了一個(gè)簡單而系統(tǒng)的解析.

一、正確認(rèn)識(shí)分段函數(shù)與初等函數(shù)

初等函數(shù)是由常數(shù)與基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成的由一個(gè)解析式表示的函數(shù).分段函數(shù)是對(duì)于自變量x的不同取值范圍內(nèi)，由不同的解析式表示的一個(gè)函數(shù)關(guān)系.分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).比如函數(shù)：y=|x|是初等函數(shù)，但在形式上可以寫成分段函數(shù)的形式，即

需要說明分段函數(shù)只要能轉(zhuǎn)化成用一個(gè)解析式表示的函數(shù)就不是分段函數(shù)，同時(shí)指出分段函數(shù)必須有分段點(diǎn).

二、分段函數(shù)的求導(dǎo)方法及導(dǎo)數(shù)的表示形式

由分段函數(shù)的定義知，分段函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上都是一個(gè)初等函數(shù)，所以分段函數(shù)對(duì)應(yīng)于每個(gè)小區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)都可以用初等函數(shù)的求導(dǎo)方法直接求得，關(guān)鍵是看分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在.對(duì)于分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的判定，常用的方法有

1.利用函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；反之，如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo).但如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處不連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo).

連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件.因?yàn)檫B續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，所以不連續(xù)一定不可導(dǎo)，這也是為什么下面解每一個(gè)例題時(shí)一定要先驗(yàn)證一下是否連續(xù)，若不連續(xù)的話，直接可以判斷不可導(dǎo)，若連續(xù)再進(jìn)一步判斷是否可導(dǎo).

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，但在點(diǎn)x處不可導(dǎo)的情形在后面的例題中能體會(huì)到.

2.利用函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)的充分必要條件

左導(dǎo)數(shù)f′-（x）和右導(dǎo)數(shù)f′+（x）都存在且相等.

例1求函數(shù)f（x）=x，x<0，ln（1+x），x≥0的導(dǎo)數(shù).

解首先看函數(shù)f（x）在分段點(diǎn)x=0處是否連續(xù)，若連續(xù)，再判斷函數(shù)f（x）在分段點(diǎn)x=0處是否可導(dǎo).

3.利用導(dǎo)數(shù)單側(cè)極限定理

綜上，通過以上具體實(shí)例，可以清楚地看到，徹底理解導(dǎo)數(shù)的定義，單側(cè)導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與可導(dǎo)的概念，弄清分段函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，分析造成知識(shí)難點(diǎn)的因素，是攻克難點(diǎn)的必經(jīng)之路.教學(xué)時(shí)把分段函數(shù)求導(dǎo)過程中遇到的各種情形、細(xì)節(jié)剖析給大家，充分展現(xiàn)給學(xué)生，提供足夠的思維素材和方法，則分段函數(shù)的求導(dǎo)問題就會(huì)迎刃而解.

【參考文獻(xiàn)】

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