張海松

一、基于中考復(fù)習(xí)課的思考

如何幫助學(xué)生在較短的時間內(nèi)鞏固初中數(shù)學(xué)所學(xué)知識，并取得較好的效果，是每個數(shù)學(xué)教師所關(guān)注的問題。在中考數(shù)學(xué)的真題講解復(fù)習(xí)中，教師要思考如何有效地備課、授課，以及在課堂上如何發(fā)展學(xué)生的思維能力。

二、基于復(fù)習(xí)課現(xiàn)狀的思考

中考復(fù)習(xí)，時間短，內(nèi)容多，要求高。課堂教學(xué)是主要的教學(xué)形式，而復(fù)習(xí)課沒有統(tǒng)一的教材。教師在課堂教學(xué)中只重視習(xí)題的訓(xùn)練，單純地套用大量現(xiàn)成的模擬試卷，做題講題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，不但增加了學(xué)生負(fù)擔(dān)，而且不利調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，無法提高復(fù)習(xí)效果。

為了更好地提高課堂質(zhì)量，真正促進(jìn)素質(zhì)教育的開展，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)中考成績。筆者在本文著重結(jié)合“一道中考真題的評析”，做了基于課堂教學(xué)的教學(xué)反思。希望本文能為九年級教師在中考數(shù)學(xué)有效備課、授課以及提高學(xué)生思維水平方面做出有益提示。本文結(jié)合2014年杭州市中考數(shù)學(xué)試卷第21題評析，做了如下的教學(xué)反思。

1.真題再現(xiàn)

（1）例題。（2014年杭州市中考題，22題，10分）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)x軸為直線l，函數(shù)的圖象分別是l1，l2，圓P（以P為圓心，1為半徑）與直線l，l1，l2中的兩條相切，例如（，1）是其中一個圓P的圓心坐標(biāo)。

問題一：寫出其余滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)；

問題二：在圖中標(biāo)出所有圓心，并用線段依次連接各圓心，求所得幾何圖形的周長。

解答要點(diǎn)：分兩類，利用對稱求解。

③畫出圖形，已知該圖是一個正十二邊形，

且每一條邊邊長為，

可得該幾何圖形的周長為8.

（2）真題研究。本試題是一道中等難度題，有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的思想和方法是中考的必考內(nèi)容。尤其是圓的教學(xué)在平面解析幾何乃至整個中學(xué)數(shù)學(xué)中都占有重要的地位，而直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用又比較廣泛，是初中幾何的綜合運(yùn)用，是在學(xué)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上進(jìn)行的，又為圓和圓的位置關(guān)系做了鋪墊，對幾何證明起到重要的作用。然而，本題的背景是學(xué)生掌握直線和圓的相切性質(zhì)和判定方法。滲透三種思想：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、類比思想；落實(shí)三個基礎(chǔ)：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱關(guān)系、特殊一次函數(shù)的應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系；以及多邊形周長求解方法等。

（3）真題作用。真題再現(xiàn)，能喚醒學(xué)生探究試題欲望，在探究過程中訓(xùn)練學(xué)生的思維。中考復(fù)習(xí)階段的九年級學(xué)生已經(jīng)有了比較扎實(shí)的基礎(chǔ)，思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用也有很大程度的提升，但對復(fù)雜的中考綜合性問題仍然不能很好地獨(dú)立思考直至求解，有畏懼心理，缺乏思維方法。

2.真題講解應(yīng)注意的問題

（1）點(diǎn)撥關(guān)鍵點(diǎn)。教師出示真題后，可讓學(xué)生獨(dú)立思考，如遇到部分學(xué)生沒有思路時，可在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)給予點(diǎn)撥，開拓學(xué)生思維動力和方向。教師對于學(xué)生提出的問題，應(yīng)和學(xué)生一起思考，重在幫助學(xué)生理清問題的思路，抓住問題的關(guān)鍵。比如，本例題教學(xué)時，可點(diǎn)撥學(xué)生一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)：一次函數(shù)k為±，b為0時，圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且直線與x軸夾角為60°（如上圖）。在解答問題的過程中，教師只需做到適時點(diǎn)撥，把時間交給學(xué)生。

（2）突破重難點(diǎn)。教師要把握題目講解的重點(diǎn)，不要對常規(guī)性知識一講再講；對于難點(diǎn)的解答，教師應(yīng)降低思維的起點(diǎn)，形成思維的梯度，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維。比如，本例題講解時可以將問題分解：首先，引導(dǎo)學(xué)生畫出兩個一次函數(shù)，，的圖象；其次，建議學(xué)生分析、解答在第一象限內(nèi)，與相鄰兩直線相切圓P的坐標(biāo)P1（，1）然后，利用對稱方法求出P2（，1），P3（，-1），P4（，-1），再考慮坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P5（0，2），P6（0，2），最后利用類比、對稱的方法有規(guī)律地求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）串聯(lián)知識點(diǎn)。真題復(fù)習(xí)的目的在于把零散的知識系統(tǒng)化、條理化，并能形成清晰的解題思路。教師必須串聯(lián)此題考查的相關(guān)知識點(diǎn)，使學(xué)生明確，達(dá)到復(fù)習(xí)課以點(diǎn)帶面的目的。比如，本例題主要考查直線與圓的相切關(guān)系，則應(yīng)該串聯(lián)并延伸到點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的三種位置關(guān)系上，再進(jìn)一步復(fù)習(xí)總結(jié)。

（4）構(gòu)建思想點(diǎn)。構(gòu)建數(shù)學(xué)思想是學(xué)生知識轉(zhuǎn)化的橋梁，是學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶。而基本的數(shù)學(xué)思想方法在大多數(shù)問題中以隱蔽的形式存在于字里行間，它是無形的，需要通過教師的指點(diǎn)，學(xué)生才會領(lǐng)悟、掌握。比如，教師在本例題的講解過程中，要先引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，利用圖形把抽象的問題變成直觀的問題。在求出一點(diǎn)坐標(biāo)后，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想、類比思想求出其他剩余的點(diǎn)。

（5）歸納落腳點(diǎn)。歸納總結(jié)是教師對一個章節(jié)、一個課時所講知識點(diǎn)的概括總結(jié)，是經(jīng)過篩選、濃縮的一些帶有規(guī)律性的認(rèn)識。在本試題解決后，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的過程和結(jié)果中，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，不斷地歸納總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自己動腦、動手去找出規(guī)律，找出區(qū)別，找出差異。比如，在解答本例題后，教師讓學(xué)生總結(jié)知識點(diǎn)：對于k為±1、±、±的一次函數(shù)圖象，與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系（或者說是所成的角度）。K為±1時，直線與x軸夾角為45°；k為±時，直線與x軸夾角為60°；k為±時，直線與x軸夾角為30°。有了特殊的角度就比較容易聯(lián)想到直角三角形。

另外，中考數(shù)學(xué)綜合性問題均可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)單一性問題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路模型化，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性和發(fā)散性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美。讓學(xué)生明確、熟悉和梳理考點(diǎn)，歸納題型解法，吸取解題經(jīng)驗(yàn)、技能，養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識和善于歸納總結(jié)的習(xí)慣并形成能力。另外，教師在歸納總結(jié)的時候，應(yīng)放慢速度，加強(qiáng)語氣，反復(fù)強(qiáng)調(diào)，必要時配以板書或多媒體進(jìn)行展示。

3.真題變式

真題變式是指變換真題問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式而不變換問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更全面，使學(xué)生不迷戀于事物的表象，而能自覺地從本質(zhì)全面地看問題，注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來理解事物的本質(zhì)，克服和減少思維僵化及思維惰性。當(dāng)然，問題的設(shè)計(jì)應(yīng)有一定的層次性，讓具有不同知識基礎(chǔ)和智力水平的學(xué)生都能夠參與到學(xué)習(xí)中。變式訓(xùn)練可以將新知識遷移內(nèi)化。例題如下。

（1）變化條件。變式1：設(shè)x軸、y軸分別為直線l1，l2，函數(shù)y=x，y=-x的圖象分別是直線l3，l4，圓P與直線l1，l2，l3，l4中的兩條相切。求滿足條件的圓P的圓心坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：將原問題3條直線變?yōu)?條，問題看似變得復(fù)雜，解答過程變得復(fù)雜，但問題本質(zhì)不變。由此變化能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，培養(yǎng)思維的深刻性。

（2）變化問題。變式2：在變式1的基礎(chǔ)上，滿足條件的圓P圓心有幾個？請嘗試將點(diǎn)P進(jìn)行分類，并簡要描述你的分類標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)計(jì)意圖：問題的方式影響思考的方式和角度，變式2將問題增加，雖然問題相對簡單，但變式1把一般封閉性的問題變?yōu)殚_放性的問題，更能激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)學(xué)生自主探究，促進(jìn)學(xué)生理性思維及智力的發(fā)展。

（3）變化視角。變式3：若平面直角坐標(biāo)系中有n條直線相交于原點(diǎn)O，并將坐標(biāo)系2n等分，圓P與這n條直線中的兩條相切，試求滿足條件的圓心P點(diǎn)的個數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：變式3將問題延伸到了一般規(guī)律題。學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了原題以及變式1問題的活動過程，在活動中通過對大量特殊情形的觀察猜想出一般情形，從而探索事物的內(nèi)在規(guī)律。規(guī)律探索型問題涉及的基礎(chǔ)知識非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識掌握的程度，又能較好地考查學(xué)生的觀察、分析、比較、概括、發(fā)散思維的能力及創(chuàng)新意識，因而成為中考的熱點(diǎn)。這就啟發(fā)廣大數(shù)學(xué)教師必須注重過程教學(xué)，用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生親身參與、經(jīng)歷探索規(guī)律的過程，在這樣的過程中讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)之美，感受探索的愉悅，逐步培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探究能力。這樣可引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方面思考，從而抓住問題本質(zhì)。

4.成效與反思

（1）復(fù)習(xí)課堂教學(xué)要做好組織作用。首先，教師應(yīng)根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況確定合理的教學(xué)目標(biāo)，選好題，設(shè)計(jì)好教學(xué)方案。其次，在教學(xué)活動中，教師應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式，因勢利導(dǎo)，適當(dāng)調(diào)控，努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍。組織教學(xué)應(yīng)注重知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性。（2）復(fù)習(xí)課堂要做好引導(dǎo)作用。通過恰當(dāng)?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生積極思考。通過教師的歸納和示范，使學(xué)生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗(yàn)、感悟思想。關(guān)注學(xué)生的差異，用不同層次的問題或手段，引導(dǎo)每一位學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中。

總之，作為學(xué)生復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)者，教師應(yīng)精選出信息新、練習(xí)到位的練習(xí)題，根據(jù)學(xué)生的具體情況，從大量的復(fù)習(xí)資料中，做到重新組題，自編新題，強(qiáng)化訓(xùn)練，幫助學(xué)生從題海中解脫出來，力爭以最少的時間獲得最大的復(fù)習(xí)效果。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)選擇適合學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，盡可能通過合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)課堂的交流，使學(xué)生在感受別人的思維方法和思維過程的同時，表達(dá)自己思維的過程，從而達(dá)到個性發(fā)展的目的。

因?yàn)閷W(xué)生每天學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)不同，面對同一問題解決問題的思維方式也不相同，導(dǎo)致教師面對問題的變式處理也不同。因此，每一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課都不可能做到完美無瑕。當(dāng)然，每節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課結(jié)束后，收獲很多，但留下更多的是實(shí)際課堂教學(xué)中的困惑和思考。筆者認(rèn)為，中考復(fù)習(xí)課教學(xué)策略的操作還有待完善，需要大家共同努力和研究。