張超

【摘要】假設(shè)檢驗(yàn)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中根據(jù)一定假設(shè)條件由樣本推斷總體的一種方法，具體作法是：根據(jù)問(wèn)題的需要對(duì)所研究的總體作某種假設(shè)，記作H0；選取合適的統(tǒng)計(jì)量，這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的選取要使得在假設(shè)H0成立時(shí)，其分布為已知；由實(shí)測(cè)的樣本，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，并根據(jù)預(yù)先給定的顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，作出拒絕或接受假設(shè)H0的判斷.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法；歸納原理

一、引 言

假設(shè)檢驗(yàn)是抽樣論斷中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，它是根據(jù)資料作出一個(gè)總體指標(biāo)是否等于某一個(gè)數(shù)值，某一隨機(jī)變量是否服從某種概率分布的假設(shè)，然后利用樣本資料采用一定的統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出有關(guān)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，依據(jù)一定的概率原則，以較小的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)判斷估計(jì)數(shù)值與總體數(shù)值（或者估計(jì)分布與實(shí)際分布）是否存在顯著差異，是否應(yīng)當(dāng)接受原假設(shè)選擇的一種檢驗(yàn)方法.

用樣本指標(biāo)估計(jì)總體指標(biāo)，其結(jié)論有的完全可靠，有的只有不同程度的可靠性，需要進(jìn)一步加以檢驗(yàn)和證實(shí)，通過(guò)檢驗(yàn)對(duì)樣本指標(biāo)與假設(shè)的總體指標(biāo)之間是否存在差別作出判斷，是否接受原假設(shè).這里必須明確，進(jìn)行檢驗(yàn)的目的不是懷疑樣本指標(biāo)本身是否計(jì)算正確，而是為了分析樣本指標(biāo)和總體指標(biāo)之間是否存在顯著差異，從這個(gè)意義上，假設(shè)檢驗(yàn)又稱為顯著性檢驗(yàn).

二、預(yù)備知識(shí)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)界有一個(gè)很有趣的典故，叫女士飲茶.據(jù)說(shuō)20世紀(jì)20年代，在英國(guó)劍橋的一個(gè)夏日的午后，一群人圍坐一起享用下午茶.在閑聊中，有一位女士堅(jiān)稱把茶加進(jìn)奶里，或把奶加進(jìn)茶里，不同的做法，會(huì)使茶的味道品起來(lái)不同.她能通過(guò)品茶，說(shuō)出是先加的茶還是先加的奶.假設(shè)現(xiàn)在讓服務(wù)生隨機(jī)配制了10杯奶茶，有的是先加的茶，有的是先加的奶，然后讓這位女士進(jìn)行鑒別.如果這位女士準(zhǔn)確鑒別出8杯奶茶的配制順序，你認(rèn)為這位女士是有這種特殊味覺(jué)呢，還是沒(méi)有這種特殊味覺(jué)呢？統(tǒng)計(jì)上構(gòu)造了一種特殊的方法——假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)這類問(wèn)題作出判斷.

三、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與概念

1.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

我們繼續(xù)以女士飲茶為例，闡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.在該案例中，我們面臨兩種判斷可能，統(tǒng)計(jì)上把這兩種可能的結(jié)果稱作為假設(shè).

假設(shè)一：該女士沒(méi)有特殊味覺(jué)，她從10杯奶茶中指出8杯奶茶的配置順序，純屬偶然；

假設(shè)二：該女士有特殊味覺(jué)，她從10杯奶茶中指出8杯奶茶的配置順序，屬于確切判斷.

顯然，這兩種假設(shè)都有可能發(fā)生.無(wú)論我們作出何種判斷，都有猜對(duì)的概率，也都有猜錯(cuò)的概率.在這種情況下，我們需要一個(gè)作出判斷的原則.

一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題就類似于一個(gè)司法審判問(wèn)題.在女士飲茶這個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，沒(méi)有特殊味覺(jué)，不能區(qū)分奶茶的配置順序是絕大多數(shù)人的正常狀態(tài)，所以我們事先假定該女士沒(méi)有特殊味覺(jué)，在假定該女士沒(méi)有特殊味覺(jué)的情況下，測(cè)算該女士10杯奶茶能有效區(qū)分出8杯配置順序的發(fā)生概率.只有當(dāng)這個(gè)概率非常非常小，小到幾乎不可能發(fā)生時(shí)，我們才推斷該女士不是普通人，她具有特殊味覺(jué)，否則都認(rèn)為沒(méi)有顯著證明該女士具有特殊味覺(jué).這就是假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.

2.假設(shè)檢驗(yàn)的概念

①原假設(shè)與備擇假設(shè).在一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中，首先需要確定的是兩個(gè)假設(shè)條件，一個(gè)稱為原假設(shè)，一個(gè)稱為備擇假設(shè).原假設(shè)和備擇假設(shè)不是任意確定的.通常把觀察現(xiàn)象原來(lái)故有的性質(zhì)或沒(méi)有充分證據(jù)不能輕易否定的命題設(shè)為原假設(shè)，記作H0；通常把該觀察現(xiàn)象新的性質(zhì)或不能輕易肯定的結(jié)論為備擇假設(shè)，記作H1.

在女士飲茶案例中，由于普通人通常是沒(méi)有特殊味覺(jué)，不具備區(qū)分奶茶的配置順序，所以原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：

H0：該女士沒(méi)有特殊味覺(jué)，不能有效區(qū)分奶茶的配置順序

H1：該女士有特殊味覺(jué)，能有效區(qū)分奶茶的配置順序

很多假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題剝離它的應(yīng)用背景，實(shí)質(zhì)是對(duì)總體分布參數(shù)空間Θ的兩個(gè)不相交的子集，分別記作Θ0，Θ1.這時(shí)原假設(shè)和備擇假設(shè)可以分別記作

H0：θ∈Θ0H1：θ∈Θ1

在女士飲茶案例中，這位女士每次品茶就是一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)，品茶結(jié)果X服從兩點(diǎn)分布.

品嘗結(jié)果X

說(shuō)對(duì)奶和茶的放置順序

說(shuō)錯(cuò)奶和茶的放置順序

概率

P

1-P

通常，普通人沒(méi)有能力鑒別奶和茶的放置順序，即P=12，而如果該女士有特殊味覺(jué)，則P>12.所以本例中，Θ0=P|P=12，Θ1=P|P>12.

原假設(shè)和備擇假設(shè)等價(jià)于

H0：P=12H1：P>12.

②檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.假設(shè)檢驗(yàn)的目的就是要根據(jù)樣本提供的信息，判斷是原假設(shè)成立還是備擇假設(shè)成立.由于樣本中蘊(yùn)含的信息量非常豐富，而我們通常只需要其中的部分信息進(jìn)行判斷.所以假設(shè)檢驗(yàn)的第二步是對(duì)樣本信息進(jìn)行加工，即構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，利用這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值進(jìn)行判斷.這個(gè)統(tǒng)計(jì)量稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造原理與區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造原理類似.一個(gè)好的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常具有明確的抽樣分布，借助該統(tǒng)計(jì)量的分布特征和樣本取值，我們可以作出判斷是接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè).

在女士品茶案例中，這位女士每次品茶的結(jié)果記作Xi

Xi=1，正確判斷茶和奶的放置順序0，錯(cuò)誤判斷茶和奶的放置順序

記Y=∑ni=1Xi，Y實(shí) 際上是這位女士品嘗n杯茶后，正確判斷出茶奶配置次序的次數(shù).在此統(tǒng)計(jì)量Y即可作為本例的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它服從二項(xiàng)分布B（n，p）.

P（Y=y|p）=CynPy（1-P）n-y，y=0，1，2，…，n

③接受域和拒絕域.有了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之后，我們需要確定一個(gè)界限，這個(gè)界限可以將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的取值空間劃分為兩個(gè)區(qū)域.其中一個(gè)區(qū)域是原假設(shè)為真時(shí)，樣本通常會(huì)落入的區(qū)域.如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本值落在這個(gè)區(qū)域里，我們就判斷接受原假設(shè)，所以該區(qū)間稱為接受域，即接受原假設(shè)的區(qū)域.

另一個(gè)區(qū)域是原假設(shè)為真時(shí)，樣本落入該區(qū)域的概率非常小，小到幾乎可以認(rèn)為這種情況幾乎不會(huì)發(fā)生.而在備擇假設(shè)成立時(shí)，樣本落入這個(gè)區(qū)域的概率就很大.如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落在這個(gè)區(qū)域里，我們將拒絕原假設(shè)，認(rèn)為備擇假設(shè)成立，所以該區(qū)間稱為拒絕域，即拒絕原假設(shè)的區(qū)域.

在女士飲茶案例中，如果該女士確實(shí)有特殊味覺(jué)，能有效區(qū)分奶和茶的配置順序，那么在品嘗n杯茶后，她判斷正確的次數(shù)Y應(yīng)該大于普通人隨機(jī)猜對(duì)的次數(shù).所以可以找到一個(gè)界限K，當(dāng)Y≥K時(shí)，我們將拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該女士具有特殊味覺(jué).這時(shí)拒絕域?yàn)椋?/p>

W={（X1，…，Xn），Y=∑ni=1Xi≥k}.

當(dāng)Y

W-={（X1，…，Xn），Y=∑ni=1Xi

假設(shè)這位女士能準(zhǔn)確到8杯奶茶的配置順序，則當(dāng)顯著性水平取0.05時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入接受域，這意位著我們沒(méi)有95%的把握拒絕原假設(shè)，所以認(rèn)為該女士沒(méi)有特殊味覺(jué)，不能有效識(shí)別奶和茶的配置順序.

而當(dāng)顯著性水平取0.1時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，這意味著我們有90%以上的把握拒絕原假設(shè).認(rèn)為該女士具有特殊味覺(jué)，能有效識(shí)別奶和茶的配置順序.

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