謝美慧

數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)主要目標(biāo)是：幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維。計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)是：數(shù)的運(yùn)算。這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線。計(jì)算教學(xué)時(shí)我們往往關(guān)注：如何讓學(xué)生通過一定的計(jì)算獲得相關(guān)的計(jì)算技能，卻忽視了超越具體的計(jì)算，從更一般的角度分析思考，認(rèn)識(shí)不同運(yùn)算之間的關(guān)系，并原有的知識(shí)之上進(jìn)行抽象概括。計(jì)算教學(xué)中最重要的是動(dòng)腦思考，而不是動(dòng)手計(jì)算，要把握好動(dòng)手計(jì)算與動(dòng)腦思考之間的關(guān)系。也就是說要在學(xué)生動(dòng)手計(jì)算之前，先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：應(yīng)該怎么做？為什么這樣做？不能讓學(xué)生一味地做，一味地算，一味地動(dòng)手，就是不動(dòng)腦，從而出現(xiàn)“盲目干”的現(xiàn)象。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中就不應(yīng)簡(jiǎn)單地提倡動(dòng)手計(jì)算，關(guān)注計(jì)算能力，而應(yīng)更重視“活動(dòng)的內(nèi)化”。通過計(jì)算教學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，為他們以后的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

我們的教學(xué)習(xí)慣性地在低水平的技能訓(xùn)練上進(jìn)行較大強(qiáng)度的訓(xùn)練，在高水平的技能發(fā)展上卻不夠關(guān)注，我們要努力做到高低適度。不管層次多高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都離不開做題，關(guān)鍵的是做怎樣的題。決定學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不是做題的數(shù)量，而是題目的質(zhì)量。衡量一個(gè)學(xué)生的收獲不是題目做了多少，而是思維能力的發(fā)展。有的題做得再多，也只是技能的短時(shí)熟練，而有的題做得不多，促進(jìn)的卻是思維的長(zhǎng)期發(fā)展。

一、留足空間，積極思考

數(shù)學(xué)是學(xué)生自己通過思考的產(chǎn)物，首先要讓學(xué)生思考起來，把自己的方法和別人的方法交換，收到的效果就會(huì)更佳。思考數(shù)學(xué)問題是很費(fèi)時(shí)的，我們?cè)谡n堂上要留下足夠的時(shí)間和空間，能夠提供給學(xué)生思考，努力幫助學(xué)生更積極地思考，并逐步學(xué)會(huì)想得更合理、更深遠(yuǎn)、更清晰。只有通過自己思考，才能真正做到“心中有數(shù)”，更好地實(shí)現(xiàn)超越具體計(jì)算，分析、變化和比較，并在老師的指導(dǎo)下慢慢感悟，不斷進(jìn)行優(yōu)化。

“100以內(nèi)的退位減法”是二年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，以往的教學(xué)總是聚焦在計(jì)算方法上：借助學(xué)具操作，明白個(gè)位不夠減，從十位退“1”作“10”再減的計(jì)算方法。這樣的教學(xué)定位，雖然能很好地訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算技能，但是缺乏思維含量。為了使學(xué)生從會(huì)計(jì)算到會(huì)思考，我決定放手讓學(xué)生利用已有知識(shí)進(jìn)行自主探索。學(xué)生的基礎(chǔ)不一樣，在完成題目的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)時(shí)間先后的差異和計(jì)算方法的差異，這些差異就是教學(xué)展開的資源。

學(xué)生在動(dòng)手計(jì)算和獨(dú)立思考后，主要得出以下幾種方法。

51-36=？（新人教版二年級(jí)上冊(cè)第19面例2）

1.用列豎式的方法進(jìn)行計(jì)算。

2.11-6=5 40-30=10 10+5=15（此法與列豎式

方法相同）

3.51-31=20 20-5=15 （把36拆成31和5）

4.51-30=21 21-6=15 （把36拆成30和6）

5.50-6=44 44-30+1=15 （相當(dāng)于20以內(nèi)退位減法

的破十法）

6.6-1=5 50-30=20 20-5=15

這種計(jì)算方法一時(shí)難以判斷是不是巧合，于是就換了兩個(gè)數(shù)試了幾回，結(jié)果都是正確的，但其中的算理該如何解釋？就在大家百思不得其解時(shí)，這位學(xué)生對(duì)自己的算法給出了解釋：6-1=5，是被減數(shù)個(gè)位的1比減數(shù)個(gè)位的6小5，第一步減掉了1個(gè)，接著減去30后還要減去剛才少減的5。學(xué)生的奇思妙想得到了肯定，全班都為之興高采烈，這也是對(duì)學(xué)生的最佳鼓勵(lì)和褒獎(jiǎng)。

學(xué)生的差異就是一部鮮活的教材。以學(xué)生不同的算法為教學(xué)資源，并進(jìn)行算法溝通和優(yōu)化。首先要判斷每一種計(jì)算方法是否正確，如果錯(cuò)了，找出錯(cuò)因并進(jìn)行改正。接著讓學(xué)生說說自己的計(jì)算方法，再看看別人怎么算？找找自己的算法和他人的算法有什么不同？這樣不但能把自己的思維清晰、準(zhǔn)確地表達(dá)出來，而且學(xué)會(huì)了理解別人的思路。在這么多種算法中，學(xué)生自己想出來的方法，往往是最容易理解的，但未必是最簡(jiǎn)捷的。此時(shí)，不必強(qiáng)制學(xué)生接受書本上的算法，而是引導(dǎo)學(xué)生溝通不同算法的聯(lián)系，在明白不同算法的基礎(chǔ)上理解書本上最優(yōu)算法的算理。使學(xué)生既會(huì)書本上的算法，又會(huì)根據(jù)自己的理解選擇不同的計(jì)算方法。這時(shí)學(xué)生既收獲了學(xué)習(xí)的自信和自豪感，又能逐步養(yǎng)成善于思考、勇于探索的習(xí)慣。

二、精練細(xì)導(dǎo)，以練提思

練習(xí)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著“半壁江山”，如果發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維僅僅是新授課的教學(xué)任務(wù)，肯定會(huì)對(duì)優(yōu)化效果產(chǎn)生負(fù)面影響，練習(xí)課同樣也要承擔(dān)起提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)任務(wù)，要從純粹的解題走向思考感悟和經(jīng)驗(yàn)積累。因此教師應(yīng)積極挖掘練習(xí)題中的數(shù)學(xué)思維因素，放慢教學(xué)的腳步，放大數(shù)學(xué)思維的空間，讓“小”習(xí)題閃耀出“大”思維的光芒。

例如：新人教版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)除法”P31練習(xí)七中的第9題：

9.計(jì)算下面各題，你能發(fā)現(xiàn)什么？

6÷1.5 1.2÷1.2 49.5÷1.1

6÷1 1.2÷1 49.5÷1

6÷0.5 1.2÷0.8 49.5÷0.45

通過計(jì)算、比較商與被除數(shù)的關(guān)系，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：

一個(gè)數(shù)（0除外）除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）除以等于1的數(shù)，商等于被除數(shù)。

一個(gè)數(shù)（0除外）除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)。

當(dāng)學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：一個(gè)數(shù)（0除外）除以大于1（等于1或小于1）的數(shù)時(shí)，商與被除數(shù)之間大小關(guān)系的規(guī)律后，我順手把原來題目中的除號(hào)全都改成乘號(hào)。讓學(xué)生不計(jì)算先說一說：計(jì)算的結(jié)果和第一個(gè)因數(shù)的關(guān)系比較有什么變化規(guī)律？這變化規(guī)律與剛才的除法規(guī)律一樣嗎？然后再讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，得出規(guī)律。到這里我并沒有就此罷手，而是接著問：為什么乘法和除法的規(guī)律會(huì)不一樣呢？請(qǐng)你舉例說明。一學(xué)生答道：6×0.5表示：6的一半是多少？答案肯定比6小。而6÷0.5表示：什么數(shù)的一半是6？這個(gè)數(shù)肯定比6大。經(jīng)過這位同學(xué)的啟發(fā)，又一學(xué)生搶答道：6×1.5表示：6的1.5倍是多少？一倍剛剛是6，一倍多的數(shù)肯定比6大。而6÷1.5恰恰相反，表示：什么數(shù)的1.5倍是6。這個(gè)數(shù)肯定比6要小。在練習(xí)商與被除數(shù)關(guān)系時(shí)順帶復(fù)習(xí)積與第一個(gè)因數(shù)的關(guān)系，以補(bǔ)全學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于此類練習(xí)，教師在備課過程中就要做到心中有數(shù)，進(jìn)而有的放矢。

數(shù)學(xué)思維的提升不是一蹴而就的，需要長(zhǎng)期不斷積累。練習(xí)題的解決過程往往就是數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用過程，暗藏著數(shù)學(xué)思維開發(fā)的契機(jī)。有時(shí)只要一個(gè)小小的改變，一個(gè)小小的追問，創(chuàng)造機(jī)會(huì)敏銳地捕捉數(shù)學(xué)思維開發(fā)的機(jī)會(huì)，使學(xué)生的思維過程得以展現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)隱性思維可視化，在練習(xí)鞏固過程中鍛煉推理能力。

三、變式練習(xí)，攪動(dòng)思維

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)養(yǎng)成這樣一種解題習(xí)慣，遇到一個(gè)問題時(shí)，首先想到的是怎么算，關(guān)注問題的解決，而不是對(duì)問題的分析與思考。通過課堂觀察，我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)學(xué)生遇到問題時(shí)，他們首先想到的是：如何求得結(jié)果，而不是分析數(shù)量關(guān)系。因此我們應(yīng)從源頭出發(fā)，不僅要把握學(xué)生的思維動(dòng)向，還要了解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。從問題的預(yù)設(shè)開始，提出與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)的問題，優(yōu)化設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生完善思維歷程。

例如：新人教版五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)乘法”P17練習(xí)四中的第5題：

學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了小數(shù)乘法，已經(jīng)熟練掌握了小數(shù)乘法的計(jì)算方法。一看到題目就迫不及待地動(dòng)筆算起來，使探索解題的思考過程縮水了。當(dāng)然練習(xí)的主要目的是鞏固和內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知。但是在鞏固和內(nèi)化的過程中我們不能一味“傻練”，而應(yīng)有所變化——從不同角度破除認(rèn)知的僵硬模式，借助問題設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生逐步實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的抽象化和深刻化。為此，我把題目做了如下改變：

把水果的價(jià)格變成不確定，逼著學(xué)生思考：蘋果和梨的總價(jià)最高為49.1元，香蕉每箱價(jià)格不能超過多少元，100元錢夠了。如果香蕉每箱為29.8元，要想購買這四箱水果，蘋果的價(jià)格只能是多少元？香蕉每箱的價(jià)格還有可能是多少元？要想用100元買下這四箱水果，蘋果的價(jià)格有可能是多少？為什么大家很少考慮梨的價(jià)格呢？對(duì)問題做這樣的改變，目的是打破學(xué)生一貫的思維模式，順著問題設(shè)計(jì)展開教學(xué)，讓教學(xué)的指向與學(xué)生的思維發(fā)展的進(jìn)程合拍，引領(lǐng)學(xué)生一步步經(jīng)歷思維過程。學(xué)生思維的深入需要老師有意識(shí)地引導(dǎo)，通過對(duì)問題進(jìn)行發(fā)掘，幫助學(xué)生在更高層面上展開有根有據(jù)的思考。

四、魅力共振，深思致遠(yuǎn)

教學(xué)的情境設(shè)置對(duì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有一定的意義，但這些外在的力量相較于數(shù)學(xué)自身內(nèi)在的魅力會(huì)黯然失色。數(shù)學(xué)的理性美、智慧精神、至高無上的魅力更能吸引學(xué)生探索真知、渴求智慧、涵養(yǎng)心性。蘇霍姆林斯基說過：人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。在兒童的精神世界中，這種需求特別強(qiáng)烈，我們要不斷向這種需求提供養(yǎng)料，否則它就會(huì)逐漸消失，探索與求知的欲望也會(huì)與之一道熄滅。于是我們要努力讓自己保持對(duì)數(shù)學(xué)的新奇感，開發(fā)與學(xué)生共同分享的課程，以便與學(xué)生一起沉浸于智慧挑戰(zhàn)、發(fā)現(xiàn)樂趣與數(shù)學(xué)美的享受中。

數(shù)學(xué)課堂既是問題不斷產(chǎn)生的地方，又是問題不斷消失的地方。讓問題滲透貫穿教學(xué)每個(gè)過程，見縫插針，因“題”制宜，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在具體生動(dòng)的習(xí)題中，感受數(shù)學(xué)魅力，逐漸形成認(rèn)識(shí)的樂趣。例如：新人教版一年級(jí)上冊(cè)“整理與復(fù)習(xí)”P101的第一道練習(xí)題：這是對(duì)20以內(nèi)所有的進(jìn)位加法算式進(jìn)行整理。

一出示表格我就問：你能把余下的算式填完嗎？當(dāng)學(xué)生完成后。師：你是怎么填的？生：我是豎著填，第一個(gè)加數(shù)都是一樣的，第二個(gè)加數(shù)都增加1。師：你們覺得他說得對(duì)嗎？當(dāng)?shù)谝粋€(gè)加數(shù)不變，第二個(gè)加數(shù)增加1，和會(huì)怎么變？學(xué)生會(huì)順利找出規(guī)律。師：如果第一個(gè)加數(shù)不變，第二個(gè)加數(shù)減少，和會(huì)怎么變？生：第一個(gè)加數(shù)不變，第二個(gè)加數(shù)減少幾，和就會(huì)減少幾，比如：7+8=15，7+7=14，7+6=13……生：增加也是一樣的，第一個(gè)加數(shù)不變，第二個(gè)加數(shù)增加幾，和就會(huì)增加幾。得出：一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)增加幾（減少幾），和也會(huì)增加幾（減少幾）。接著利用規(guī)律練習(xí)，讓學(xué)生在相互出題的過程中，利用規(guī)律計(jì)算，感受便捷。正在學(xué)生興奮互算時(shí)，我問：有誰橫著填嗎？橫著填有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：橫著填，和都是一樣的。師：為什么兩個(gè)加數(shù)不一樣，而和卻一樣呢？這兩個(gè)加數(shù)是有什么聯(lián)系？生：就像9+2=11，8+3=11第一個(gè)加數(shù)減少1，第二個(gè)加數(shù)增加1，而和不變。生：還有7+4=11，第一個(gè)加數(shù)減少2，第二個(gè)加數(shù)增加2，和不變，得出：一個(gè)加數(shù)增加幾，另一個(gè)加數(shù)減少相同的數(shù)，和不變。師：如果第一個(gè)加數(shù)增加1，第二個(gè)加數(shù)增加2，和還是不變嗎？如果第一個(gè)加數(shù)減少1，第二個(gè)加數(shù)減少3，和會(huì)怎么變？生：變的。比如：……得出：一個(gè)加數(shù)增加（減少）a，另一個(gè)加數(shù)增加（減少）b，和就會(huì)增加（減少）（a+b）。師：如果一個(gè)加數(shù)增加a，而另一個(gè)加數(shù)減少b，和會(huì)怎么變？從而得出和的變化規(guī)律。

接著讓學(xué)生找出兩個(gè)相同數(shù)相加的式題，并說出得數(shù)。師：你只要知道幾道題的得數(shù)就行了？生：我只要記住二十題就行，其他幾題只是把加數(shù)的位置進(jìn)行交換，和不變。可是有個(gè)學(xué)生大聲叫道：我只要記住一道題就行了，其他各題根據(jù)和的變化規(guī)律，很快就能算出來。不信你們可以考考我……生：這方法真不錯(cuò)！不過我還發(fā)現(xiàn)：第一行的和都是單數(shù)，第二行的和都是雙數(shù)。師：?jiǎn)螖?shù)也叫奇數(shù)，雙數(shù)也叫偶數(shù)。哪兩個(gè)數(shù)相加和是奇數(shù)？哪兩個(gè)數(shù)相加和是偶數(shù)？生：9+2，8+3，7+6……的和是奇數(shù)，9+3，8+4，7+7……的和是偶數(shù)。生：一個(gè)偶數(shù)加一個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù)的和，兩個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)。生：偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。

以上這些都是學(xué)生通過努力，對(duì)表格展開進(jìn)攻所斬獲的。學(xué)生在不斷地思維撞擊中，讓數(shù)學(xué)顯得可感、可操作、奇趣、親切甚至引人入勝，在不停探究中發(fā)現(xiàn)一個(gè)個(gè)奇趣的規(guī)律，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)之美，獲得對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)同。學(xué)生要解決的問題有時(shí)可能會(huì)很平常，很簡(jiǎn)單，如果它能激起學(xué)生的好奇心，把學(xué)生的創(chuàng)造力發(fā)揮出來，并能用自己的方法解決，那么學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷解決問題的那種快感，享受發(fā)現(xiàn)的喜悅，這樣的經(jīng)歷會(huì)培養(yǎng)出對(duì)思考的愛好，并對(duì)思想和性格產(chǎn)生終身影響。

數(shù)學(xué)能讓一部分人終身追隨，不僅僅因?yàn)楹?jiǎn)單，而是有點(diǎn)難，數(shù)學(xué)因此而變得更有魅力。想方設(shè)法地讓學(xué)生思考——問題能解決又不能信手可得，學(xué)習(xí)有信心又需要再努力。使學(xué)生從此愛上了思考，努力地克服一個(gè)個(gè)難題，不斷體驗(yàn)思考的快樂。

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