吳安琪，舒慧生

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇

吳安琪，舒慧生

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

摘要：構(gòu)造了一個(gè)基于跳擴(kuò)散帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇模型，假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格和累積負(fù)債的變動(dòng)均由布朗運(yùn)動(dòng)與Poisson跳所驅(qū)動(dòng)，利用均值-方差分析方法和隨機(jī)線性二次型控制理論求出最優(yōu)投資組合策略和有效前沿.

關(guān)鍵詞：投資組合選擇； 跳擴(kuò)散過(guò)程； 資產(chǎn)負(fù)債模型； 隨機(jī)線性二次型控制； 有效前沿

投資組合管理是當(dāng)今金融工程中的重要研究?jī)?nèi)容，也是金融風(fēng)險(xiǎn)管理的重要技術(shù)和手段. 文獻(xiàn)[1]為現(xiàn)代投資組合理論奠定了基礎(chǔ)，它闡述了如何構(gòu)造一個(gè)投資組合的邊界，使得在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下組合中的每一證券的預(yù)期收益率都達(dá)到最大化，此即為經(jīng)典的均值-方差理論. 此后，均值方差框架下最優(yōu)投資組合選擇的研究得到很快的發(fā)展，研究?jī)?nèi)容由最初的單周期模型推廣到多周期模型以及連續(xù)時(shí)間模型，研究方法也有很大創(chuàng)新. 文獻(xiàn)[2]采用嵌入法分析研究了多階段的均值-方差問(wèn)題；文獻(xiàn)[3]首次引入隨機(jī)線性二次型控制方法來(lái)研究連續(xù)時(shí)間均值-方差投資組合選擇問(wèn)題.

但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程不一定是連續(xù)過(guò)程，例如遇到重大事件突發(fā)、政策調(diào)整等問(wèn)題時(shí)，股票的價(jià)格會(huì)發(fā)生大幅度的跳躍，且投資者很可能面臨負(fù)債，資產(chǎn)與負(fù)債的管理問(wèn)題也必須考慮. 因此，這兩類(lèi)問(wèn)題的研究得到越來(lái)越多的關(guān)注. 文獻(xiàn)[4]研究了均值-方差下多階段的帶負(fù)債資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略和有效前沿；文獻(xiàn)[5]研究了在均值-方差下連續(xù)時(shí)間的資產(chǎn)與負(fù)債的管理問(wèn)題，并采用隨機(jī)控制理論得到了最優(yōu)投資策略和有效前沿；文獻(xiàn)[6]研究了不完備金融市場(chǎng)上帶有負(fù)債的投資組合選擇問(wèn)題；文獻(xiàn)[7]研究了跳擴(kuò)散過(guò)程的最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題；文獻(xiàn)[8]研究了跳擴(kuò)散金融市場(chǎng)的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題；文獻(xiàn)[9]研究了跳擴(kuò)散市場(chǎng)投資組合選擇問(wèn)題；文獻(xiàn)[10]研究了基于跳躍擴(kuò)散過(guò)程的保險(xiǎn)資金最優(yōu)投資問(wèn)題.

然而，現(xiàn)有的研究沒(méi)有既考慮資產(chǎn)服從跳擴(kuò)散問(wèn)題又考慮資產(chǎn)負(fù)債管理問(wèn)題，實(shí)際上這兩個(gè)問(wèn)題往往同時(shí)存在.源于這一情況，本文在已有研究基礎(chǔ)上做一推廣，研究基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)資產(chǎn)選擇問(wèn)題. 由于金融市場(chǎng)中重大信息發(fā)生的時(shí)間和產(chǎn)生的影響是隨機(jī)的，可以用概率空間上的Poisson過(guò)程來(lái)刻畫(huà). 因此，本文假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程和累積負(fù)債過(guò)程均由布朗運(yùn)動(dòng)加Poisson跳所驅(qū)動(dòng)，采用隨機(jī)線性二次型控制方法求得最優(yōu)投資組合以及相應(yīng)最優(yōu)值函數(shù)的解析解，并利用隨機(jī)分析方法求得該最優(yōu)投資組合選擇問(wèn)題的有效前沿.

1問(wèn)題描述

在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)由兩部分構(gòu)成[11]：第一種變化是價(jià)格的正常波動(dòng)，例如供需的暫時(shí)不平衡、經(jīng)濟(jì)前景引起的變化等，這種變化可以用概率空間上的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述，它具有連續(xù)的樣本路徑；第二種變化是價(jià)格的不正常振動(dòng)，如受到政策調(diào)整等的影響，價(jià)格會(huì)發(fā)生大起大落式的跳躍，這種變化發(fā)生的時(shí)間和產(chǎn)生的影響是隨機(jī)的，可以用概率空間上的Poisson過(guò)程來(lái)刻畫(huà).

設(shè)市場(chǎng)上有m+1種可連續(xù)交易資產(chǎn)，其中一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(債券)價(jià)格A0(t)滿足以下微分方程：

(1)

其中：α(t)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的利率.

另外m種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(股票)的價(jià)格滿足以下跳擴(kuò)散隨機(jī)微分方程：

(2)

假設(shè)投資者初始資產(chǎn)為x0，初始負(fù)債值為l0，L(t)為投資者t時(shí)刻的累積負(fù)債值，滿足以下跳擴(kuò)散隨機(jī)微分方程：

(3)

其中：μ(t)表示負(fù)債增值率；υ(t)=(υ1(t),υ2(t),…,υn(t))∈C([0,T];Rn×n)表示負(fù)債波動(dòng)率；η(t)=(η1(t),η2(t),…,ηn(t))∈C([0,T];Rn×n)表示負(fù)債跳躍幅度. 上述所有方程都假定在t∈[0,T]上可測(cè)且一致有界.

(4)

其中：

B(t)=(γ1(t)-α(t),γ2(t)-α(t),…,γm(t)-α(t))

Z(t)=(Z1(t),Z2(t),…,Zm(t))′，

由此可得

(5)

投資者希望構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)的投資組合策略，使得在均值所刻畫(huà)的期望回報(bào)和方差所刻畫(huà)的風(fēng)險(xiǎn)之間達(dá)到最優(yōu)的平衡. 即均值-方差框架下投資組合選擇遵從：

(6)

由定義可知，問(wèn)題即轉(zhuǎn)為求有效前沿上的有效投資組合. 而根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)最優(yōu)化理論，一個(gè)有效投資組合可以通過(guò)求解一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)獲得. 因此，上述多目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成以下單目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題：

(7)

其中：ω>0.

由于這個(gè)目標(biāo)函數(shù)在動(dòng)態(tài)規(guī)劃意義下是不可分的，根據(jù)文獻(xiàn)[2-3]的結(jié)論，可以將其轉(zhuǎn)化為以下標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)線性二次型問(wèn)題(輔助問(wèn)題)：

(8)

其中：ω>0，-∞<σ<+∞.

2最優(yōu)投資組合策略求解

為了得到最優(yōu)投資組合策略，類(lèi)似文獻(xiàn)[5]的思想，先求出一般的隨機(jī)線性二次型問(wèn)題的解，則基于此解即可得到所需的輔助問(wèn)題的解.

2.1一般的隨機(jī)線性二次型問(wèn)題

以下模型是一個(gè)一般的隨機(jī)線性二次型問(wèn)題：

(9)

(10)

2.2跳擴(kuò)散隨機(jī)線性二次型問(wèn)題的解

為了求解上述隨機(jī)線性二次型問(wèn)題，需要運(yùn)用推廣的伊藤公式.

引理2.1[7]跳擴(kuò)散過(guò)程的廣義伊藤公式.設(shè)跳擴(kuò)散過(guò)程x(t)具有以下微分形式

(11)

其中：W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)；N(t)是強(qiáng)度為λ的m維Poisson過(guò)程.m∈L1([0,T];R)，σ,φ∈L2([0,T];Rn×n)，則對(duì)任意V∈C2×1(R×R+;R)有以下等

式成立.

(12)

定義變分算子LV:R×R+→R，有

(13)

其中：M(t)是與Poisson過(guò)程N(yùn)(t)相關(guān)的鞅，與W(t)相互獨(dú)立.

運(yùn)用上述引理，可以得到下面這個(gè)定理，具體證明過(guò)程省略.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

則隨機(jī)線性二次型問(wèn)題(9)和(10)的最優(yōu)投資組合策略為

Z*(t,χ,y)=-u(t)-1[ξ(t)χ+σ(t)y+θ(t)]

相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)為

(19)

2.3輔助問(wèn)題的解

對(duì)比相應(yīng)的系數(shù)后，應(yīng)用定理2.1，則輔助問(wèn)題的最優(yōu)投資組合策略為

(20)

其中：

最優(yōu)投資組合策略亦可表述成總資產(chǎn)財(cái)富x與負(fù)債L的形式：

(21)

注：當(dāng)跳躍幅度φk(t)與η(t)等于0時(shí)，模型即轉(zhuǎn)化成一般的僅由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的模型,此時(shí)求出最優(yōu)投資組合策略為

其中：

β(t)=μ(t);

該最優(yōu)投資組合策略與文獻(xiàn)[5]中求得的結(jié)果相一致，這也從側(cè)面印證了本文研究結(jié)果的正確性.

3有效前沿

其中：

通過(guò)定理3.1很容易得到凈財(cái)富S(t)的有效前沿為

(22)

其中：

4結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了均值-方差框架下，基于跳擴(kuò)散模型帶負(fù)債的最優(yōu)投資組合選擇問(wèn)題. 采用隨機(jī)線性二次型控制方法得到了最優(yōu)投資組合策略與有效前沿的解析解. 由于本文是先求出一般的隨機(jī)線性二次型問(wèn)題的解，通過(guò)對(duì)比相應(yīng)的系數(shù)得到實(shí)際問(wèn)題的解，因此研究結(jié)果更具有一般性，便于后續(xù)進(jìn)一步研究. 此外具有交易費(fèi)用的跳擴(kuò)散最優(yōu)投資組合的選擇問(wèn)題，仍值得深入探索與研究.

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Optimal Portfolio Selection with Liability Management and Jump-Diffusion Processes

WUAn-qi，SHUHui-sheng

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

Abstract:The optimal portfolio selection model with liability management and jump-diffusion processes is constructed. Assuming that the risk asset prices and the accumulated liabilities are driven by the Brownian motion and Poisson jumps, mean-variance analysis and stochastic linear quadratic control theory are used to obtain the optimal portfolio strategy and the efficient frontier.

Key words:portfolio selection; jump-diffusion process; asset-liability model; stochastic linear quadratic control; efficient frontier

文章編號(hào)：1671-0444(2016)02-0299-07

收稿日期：2014-12-29

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60974030)

作者簡(jiǎn)介：吳安琪(1991—)，女，江西鷹潭人，碩士研究生，研究方向?yàn)楦怕始半S機(jī)方向. E-mail: wuanqitvxq@163.com 舒慧生(聯(lián)系人)，男，教授， E-mail: hsshu@dhu.edu.cn

中圖分類(lèi)號(hào)：O 211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A