王志斌 湯祖平 趙煉恒 程肖

摘要：實(shí)際邊坡動力穩(wěn)定性受地震豎向與水平方向效應(yīng)共同作用，傳統(tǒng)邊坡地震永久位移計(jì)算方法較少考慮豎向地震波影響，采用實(shí)際地震的豎向與水平方向加速度時程曲線共同效應(yīng)更符合工程實(shí)際?；跇O限分析上限法和Newmark剛塑性滑塊模型，提出一種基于實(shí)際水平向與豎向地震加速度時程曲線的邊坡永久位移計(jì)算改進(jìn)方法，以3個工程邊坡為例，探討了兩組具有代表性實(shí)測典型水平和豎向地震地面運(yùn)動記錄對邊坡地震永久位移計(jì)算的影響。研究結(jié)果表明：不考慮豎向地震加速度時程曲線時，本文方法可蛻化為與前人方法兼容；不同地震波的豎向與水平地震動時程曲線的疊加效應(yīng)不同，豎向地震對邊坡永久位移的影響不可忽略。

關(guān)鍵詞：邊坡；地震永久位移；加速度時程曲線；Newmark法；極限分析上限法

中圖分類號：TU435

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-4764（2016）02-0035-09

Abstract：The dynamic stability of slopes is influenced by the horizontal and vertical earthquake forces. The traditional method of calculating the seismic permanent displacement does not take enough consideration about the vertical seismic effect. However， considering the combined effect of horizontal and vertical accelerations is more accord with the engineering practice. Based on the upper bound limit analysis and the model of Newmarks rigid-plastic block， an approach for evaluating the permanent displacement of slopes based on the actual horizontal and vertical earthquake acceleration time-history curves is proposed. Three types of engineering slopes are studied to discuss the impact of two typical earthquake ground motions on seismic permanent displacement. The results show that： this method is compatible with the previous method without considering the vertical acceleration； the combined effect of horizontal and vertical accelerations is different for various earthquake records， and the influence of vertical acceleration on the permanent slope displacement cannot be ignored.

Keywords： slope； seismic permanent displacement； acceleration time-history curves； Newmarks method； upper bound limit analysis

1965年，Newmark[1] 提出了估算地震滑移量的剛塑性滑塊模型，并給出了采用邊坡滑移量代替安全系數(shù)以評價(jià)邊坡的抗震性能的建議。過去50年中，基于Newmark“滑塊模型”，許多學(xué)者結(jié)合土工試驗(yàn)與實(shí)際震害資料，進(jìn)一步探討了地震作用下邊坡的永久位移問題[2] 。Chang等[3] 將Newmark的剛塑性滑塊模型應(yīng)用在自然邊坡的地震穩(wěn)定性分析中，基于極限分析上限法推導(dǎo)了直線型滑面和對數(shù)螺旋滑面邊坡永久位移的計(jì)算公式；You 等[4-5] 采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，給出了水平地震效應(yīng)下邊坡與加筋邊坡永久位移的設(shè)計(jì)圖表?，F(xiàn)有大部分研究均只考慮了水平向地震效應(yīng)[6-8]，但大量地震譜記錄都表明震中部位的豎向加速度峰值往往也較大[9-13] ，關(guān)于豎向地震效應(yīng)對邊坡抗震性能影響的研究日益受到學(xué)者們的重視和關(guān)注[14] 。欒茂田等[15] 基于兩種曲面滑動面（圓弧和光滑漸變非圓?。⒖紤]水平向與豎向加速度響應(yīng)，對于滑體位移計(jì)算模型進(jìn)行了改進(jìn)。分析表明：潛在滑動體的地震位移總是小于僅考慮水平向地震響應(yīng)加速度時所得到的位移，且滑體位移取決于滑體上水平向與豎向地震響應(yīng)加速度的綜合作用。Ling等[16] 采用極限平衡法和Newmark滑塊模型對陡坡的安全系數(shù)與永久位移進(jìn)行了研究，研究表明：豎向地震效應(yīng)對陡坡穩(wěn)定性影響顯著。當(dāng)水平加速度較大時，豎向加速度對邊坡抗震性能和永久位移的影響不容忽略。Simonelli等[17] 應(yīng)用數(shù)值分析方法，針對干砂所組成的無限土坡，選取具有不同頻譜特性的多個實(shí)測地震加速度時程曲線，考慮水平與豎向地震加速度的不同組合方式對邊坡永久位移進(jìn)行分析，分析結(jié)果表明：當(dāng)邊坡永久位移高于厘米級時，豎向加速度影響可以忽略。黃建梁等[18] 將豎向加速度幅值固定為水平向加速度幅值的2/3，假定3種水平與豎向地震疊加情況對算例邊坡進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算表明可以忽略豎向地震加速度的影響。同樣，針對無限邊坡，Jacques等[19] 給出了考慮豎向與水平向地震效應(yīng)下永久位移的計(jì)算方法，但研究結(jié)果表明：豎向地震效應(yīng)顯著影響邊坡永久位移。上述研究成果表明，同時考慮水平向和豎向加速度效應(yīng)對邊坡永久位移的影響時，以往不考慮豎向加速度效應(yīng)的方法可能低估了同時疊加豎向與水平向地震動效應(yīng)的影響[20-21] 。

此外，傳統(tǒng)方法往往為簡化分析過程，假定豎向與水平地震波波形一致，并假定豎向地震波為水平地震波量值的固定比值。然而，實(shí)際地震中豎向地震波與水平方向的地震波的時程曲線并非一致，波形一致假定和量值比例假定可能導(dǎo)致較大誤差。

本文基于極限分析上限法和強(qiáng)度折減技術(shù)，提出了一種基于實(shí)際水平與豎向方向的地震加速度時程曲線的邊坡地震永久位移計(jì)算方法。采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，按照地震波水平與豎向加速度時程曲線特性，提出一種基于水平加速度時程和豎向加速度時程曲線的邊坡永久位移計(jì)算方法，探討兩組具有代表性實(shí)測典型水平和豎向地震地面運(yùn)動記錄對邊坡永久位移的影響。

1 基于水平加速度時程曲線的邊坡

永久位移簡化計(jì)算方法

基于極限分析上限分析方法，采用對數(shù)螺旋面旋轉(zhuǎn)破壞機(jī)構(gòu)開展地震作用下邊坡永久位移分析。破壞機(jī)構(gòu)引用Chen[22] 、Chang等[3] 和You等[4] 提出的經(jīng)典機(jī)構(gòu)，并考慮了豎向地震影響效應(yīng)[23] ，如圖1所示。

圖1中：H為邊坡豎直高度，m；β為邊坡傾角，（°）；kv表示豎向地震加速度系數(shù)；kh表示水平地震加速度系數(shù)，且kv=αv/g，kh=αh/g，αv、αh分別為豎向和水平地震加速度；g為重力加速度；θ0和θh為角度參數(shù)，用于描述對數(shù)螺旋線破壞機(jī)構(gòu)形態(tài)；r為與θ定義相對應(yīng)的極徑；r0為θ=θ0相對應(yīng)的極徑；φ為巖土材料內(nèi)摩擦角。同時，本文應(yīng)用了如下假定：1）分析問題基于平面應(yīng)變條件考慮；2）巖土體材料假定為理想剛塑性體，服從摩爾庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，并遵循相關(guān)聯(lián)流動法則；3）邊坡內(nèi)部孔隙水壓力效應(yīng)、巖土體抗剪強(qiáng)度參數(shù)c和φ因地震影響而發(fā)生弱化均不考慮；4）引入水平和豎向效應(yīng)時采用常見的擬靜力方法。

水平和豎向地震作用下邊坡處于臨界極限狀態(tài)時，外力功率包括滑體自重和地震力所做功率，內(nèi)部耗能沿滑面發(fā)生[23] 。邊坡滑體自重功率、豎向和水平地震效應(yīng)所做功率和間斷面BC發(fā)生的內(nèi)部耗能計(jì)算過程參見文獻(xiàn)[3，4，22] 。

以上分析過程即為假定豎向與水平地震波時程波形一致，并假定豎向地震波時程幅值為水平地震波時程幅值的固定比值，以基于水平加速度時程曲線的邊坡永久位移簡化計(jì)算方法。實(shí)際地震中豎向地震波與水平向地震波的時程曲線并非一致，波形一致假定和量值比例假定可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。以下進(jìn)一步提出基于水平與豎向加速度時程曲線的邊坡永久位移計(jì)算思路與方法。

2 基于水平與豎向加速度時程曲線

的邊坡永久位移計(jì)算方法

2.1 基本步驟

采用極限分析上限法，結(jié)合Newmark“滑塊模型”的概念，以往僅基于水平加速度時程曲線的邊坡永久位移計(jì)算方法直接以水平屈服加速度評估邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)，進(jìn)而估算邊坡地震永久位移量，基本步驟可以概括為：

1）確定臨界屈服加速度，其中臨界屈服加速度為使邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)需施加的水平向地震加速度；

2）對于給定水平加速度時程曲線中大于水平屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分便求得滑塊的總位移。

本文由于同時引入了水平和豎向地震影響效應(yīng)，直接以水平和豎向屈服加速度評估邊坡處于臨界極限平衡狀態(tài)時存在困難。故本文通過引入工程實(shí)際中常用的以安全系數(shù)Fs=1.0為標(biāo)準(zhǔn)來評判邊坡是否處于臨界極限平衡狀態(tài)，由此確定邊坡安全系數(shù)Fs=1.0為節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的水平和豎向臨界屈服加速度，進(jìn)一步對給定的水平和豎向加速度時程曲線中大于水平和豎向臨界屈服加速度的部分進(jìn)行二次積分求得對數(shù)螺旋線滑塊的總位移。

該分析思路實(shí)際上依然是基于Newmark“滑塊模型”假定進(jìn)行的，區(qū)別在于：以往以水平臨界屈服加速度評估邊坡第一次處于臨界極限平衡狀態(tài)，本文以水平和豎向地震時程波效應(yīng)下，邊坡第一次安全系數(shù)Fs恰好等于1.0為標(biāo)準(zhǔn)來評判邊坡達(dá)到了臨界極限平衡狀態(tài)?；谒脚c豎向地震加速度時程曲線計(jì)算邊坡永久位移的基本步驟可以概括為：

1）基于實(shí)際水平與豎向地震加速度時程曲線，將水平和豎向地震動時程曲線在有效影響時長范圍內(nèi)劃分為時間步非常短的多個時間節(jié)點(diǎn)；結(jié)合強(qiáng)度折減技術(shù)，通過從第一個時間節(jié)點(diǎn)開始向后遍歷水平和豎向加速度時程曲線每個時刻，對邊坡進(jìn)行穩(wěn)定性分析，結(jié)合數(shù)學(xué)插值方法找出邊坡安全系數(shù)Fs第一次等于1.0的時刻（為保證計(jì)算精度，設(shè)置相對誤差限值為10-3），此時刻即邊坡開始滑動的時刻；由此獲得相應(yīng)此刻的水平地震加速度值kh和豎向地震加速度值kv，進(jìn)一步獲得此時刻邊坡的滑裂面參數(shù)（θ0，θh） ，并假定此后邊坡在地震作用下以此滑裂面保持不變。

2）依據(jù)所確定第一次滑動的滑動面參數(shù)（θ0，θh），可以通過動力平衡方程求得開始滑動以后邊坡每一時刻的加速度，通過兩次積分便可以求出邊坡在這段時間內(nèi)所產(chǎn)生的位移，將其累積疊加在一起即為邊坡在整個地震過程中的永久位移。

2.2 計(jì)算方法和原理

2.2.1 強(qiáng)度折減法基本原理

根據(jù)上限解答的基本意義，當(dāng)邊坡體外力做功和內(nèi)部耗能值為最小時與其對應(yīng)的安全系數(shù)才為邊坡的最小安全系數(shù)。即強(qiáng)度折減系數(shù)Fs的上限意義解答實(shí)際上轉(zhuǎn)化成了一個最優(yōu)化問題。對于兩個或兩個以上不同的自變量或自變量組合能得到多個該不同條件下的邊坡臨界狀態(tài)。將求Fs最小值問題轉(zhuǎn)化為約束非線性最優(yōu)化問題，同時，由于安全系數(shù)FS實(shí)際上是一個隱函數(shù)，因而在進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時還需要進(jìn)行迭代運(yùn)算。通過引入MATLAB中求解單目標(biāo)多變量非線性約束函數(shù)Fmincon函數(shù)[25] ，編程采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行優(yōu)化迭代計(jì)算，詳細(xì)過程可參見文獻(xiàn)[26-27] 。

以上分析過程通過引入工程技術(shù)人員熟悉的強(qiáng)度折減技術(shù)進(jìn)行邊坡臨界失穩(wěn)狀態(tài)描述。遍歷地震動時程曲線范圍，尋找到某一時刻的水平和豎向地震影響效應(yīng)作用時邊坡安全系數(shù)Fs第一次恰好等于1.0判定為邊坡第一次達(dá)到臨界極限平衡狀態(tài)，該臨界狀態(tài)即為邊坡開始滑動的時刻，與該臨界狀態(tài)對應(yīng)的水平和豎向加速度即為臨界屈服水平和豎向加速度。

2.2.3 地震作用下邊坡開始滑動時刻及臨界滑動面的確定

同時考慮水平和豎向地震加速度時程曲線時，由于并未假定λ=kv/kh為常量，則kv、kh兩者的比例關(guān)系不確定，故不能基于傳統(tǒng)Newmark滑塊法如式（9）采用屈服加速度的概念來判斷邊坡的產(chǎn)生滑動的時刻。自1955年Bishop提出強(qiáng)度折減法以來，許多學(xué)者都采用此概念來評價(jià)邊坡的穩(wěn)定性，即分析邊坡的臨界狀態(tài)。對一個特定邊坡（給定邊坡參數(shù)β、γ、c、φ），以下采用強(qiáng)度折減的概念來判斷邊坡在水平和豎向地震時程效應(yīng)下邊坡開始產(chǎn)生滑動的初始臨界狀態(tài)。具體描述為：

3.2 豎向地震效應(yīng)的影響分析

同時輸入Northridge（1994）的水平和豎向地震波（圖7（a）），其豎向加速度峰值為155.98 cm/s2，時間步長取值為0.02。采用本文方法計(jì)算所得的邊坡角速度和位移時程圖如圖5和圖6所示。邊坡永久位移計(jì)算結(jié)果為4.48 cm，比只考慮水平地震效應(yīng)的永久位移計(jì)算結(jié)果略有增大，表明忽略豎向地震可能使邊坡永久位移計(jì)算結(jié)果偏于不安全。

由于天然地震具有強(qiáng)烈的隨機(jī)效應(yīng)，不同的豎向地震波與水平地震波的疊加效應(yīng)對邊坡永久位移影響不一樣。為更全面地分析豎向地震對邊坡永久位移的影響，本文中選取兩組具有不同頻譜特性的實(shí)測地震地面運(yùn)動記錄（地震動的信息見表1，加速度時程如圖7所示）作用在傾角為45°、70°、90°邊坡上（邊坡參數(shù)見表2），采取本文邊坡地震永久位移計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果見表3。

由表3可以看出地震a的水平與豎向地震疊加效應(yīng)將使邊坡的永久位移計(jì)算值增加，地震b的水平與豎向地震疊加效應(yīng)將使邊坡的永久位移計(jì)算值減小，不同地震記錄的豎向與水平地震的疊加效應(yīng)不同；疊加效應(yīng)最大可使邊坡的地震永久位移計(jì)算值增大超過15%，故豎向地震對邊坡永久位移的影響不可忽略。

4 結(jié) 論

1）結(jié)合極限分析上限分析法和強(qiáng)度折減技術(shù)，提出了一種基于水平與豎向地震加速度時程曲線的邊坡地震永久位移計(jì)算改進(jìn)方法。

2）探討了同水平向地震加速度時程曲線成一定比例引入豎向地震加速度時程曲線方法與基于實(shí)際水平與豎向地震加速度時程曲線計(jì)算邊坡永久位移的差異。

3）不考慮豎向地震加速度時程曲線的簡化條件下，與已有研究成果的對比計(jì)算證明本文方法可蛻化為與前人方法兼容。

4）分析了兩組具有代表性實(shí)測典型水平和豎向地震波記錄對邊坡永久位移的影響規(guī)律，計(jì)算結(jié)果表明：不同的豎向地震與水平地震的疊加效應(yīng)不同，豎向地震對邊坡永久位移的影響不可忽略。

必須指出，本文在同時引入水平和豎向地震波影響效應(yīng)進(jìn)行地震永久位移計(jì)算時，采用了同時遍歷水平和豎向地震加速度時程曲線的方式，來獲求第一次達(dá)到臨界失穩(wěn)的時刻節(jié)點(diǎn)（以邊坡最小安全系數(shù)第一次出現(xiàn)Fs=1.0來表征）；這一時刻節(jié)點(diǎn)即假定為邊坡開始滑動的時刻，并假定此后邊坡在地震作用下此滑裂面保持不變；獲得相應(yīng)此刻的水平地震加速度值kh和豎向地震加速度值kv，進(jìn)一步依據(jù)破壞模式假定獲得此時刻邊坡的滑裂面參數(shù)（θ0，θh） 。這種計(jì)算策略存在如下特點(diǎn)：

1）這種策略與時程曲線上時間間隔大小的選取有密切關(guān)系，當(dāng)時間間隔取得越小時，計(jì)算耗時比較大；對于本文的簡單邊坡算例而言雖然可以接受，但對復(fù)雜邊界條件下邊坡的位移分析有待進(jìn)一步研究；

2）本文在進(jìn)行分析計(jì)算時，依據(jù)Newmark剛性滑塊位移計(jì)算的基本假定開展計(jì)算，認(rèn)為邊坡第一次達(dá)到臨界極限平衡狀態(tài)的時刻節(jié)點(diǎn)為開始位移計(jì)算的初始時刻，此后邊坡在地震作用下以此滑裂面保持不變。且進(jìn)一步依據(jù)所確定第一次滑動的滑動面參數(shù)（θ0，θh）通過兩次積分求得邊坡在整個地震過程中的永久位移。但對于某一特定邊坡而言，在同時輸入某一地震的水平和豎向地震加速度時程曲線進(jìn)行分析時，引起邊坡失穩(wěn)的水平和豎向地震加速度組合可能并不是唯一的。該組合型式與巖土邊坡幾何、抗剪強(qiáng)度特性等參數(shù)，以及分析采用破壞模式均有聯(lián)系。本文方法對于復(fù)雜邊坡地震永久位移分析方法的適用性還有待進(jìn)一步深入。

參考文獻(xiàn)：

[1] NEWMARK N M.Effects of earthquakes on dams and embankments [J].Geotechnique，1965，15（2）：139-160.

[2] CAI Z，BATHURST R J.Deterministic sliding block methods for estimating seismic displacements of earth structures [J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，1996，15（4）：255-268.

[3] CHANG C J，CHEN W F，YAO J T P.Seismic displacements in slopes by limit analysis [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，ASCE，1984，110（7）：860-874.

[4] YOU L Z， MICHALOWSKI R L.Displacement charts for slopes subjected to seismic loads [J].Computers and Geotechnics，1999，25（1）：45-55.

[5] MICHALOWSKI R L，YOU L.Displacements of reinforced slopes subjected to seismic loads [J].Journal of Geotechnical Geoenvironmental Engineering，2000，126（8）：685-694.

[6] CONTI R，VIGGIANI G M B，CAVALLO S.A two-rigid block model for sliding gravity retaining walls [J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2013，55（2）：33-43.

[7] CEORGE G，ANASTASOPOULOS I，GARINI E.Geotechnical design with apparent seismic safety factors well-bellow 1 [J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2014，57（2）：37-45.

[8] JOORABCHIA A E，LIANGB R Y，LI L，et al.Yield acceleration and permanent displacement of a slope reinforced with a row of drilled shafts [J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2014，57（3）：68-77.

[9] KAVAZANJIAN E.Hanshin earthquake-reply [R].California：Geotechnical Bulletin Board， NSF Earthquake Hazard Mitigation Program，1995.

[10] MARIO P，RANDALL W J.A seismic landslide susceptibility rating of geologic units based on analysis of characteristics of landsides triggered by the 17 January， 1994 Northridge， California earthquake [J].Engineering Geology，2000，58（3/4）：251-270.

[11] NOURIA H，F(xiàn)AKHER A，JONES C J F P.Evaluating the effects of the magnitude and amplification of pseudo-static acceleration on reinforced soil slopes and walls using the limit equilibrium Horizontal slices method [J].Geotextiles and Geomembranes，2008，26（4）：263-278.

[12] LESCHINSKY D，LING H I，WANG J P，et al.Equivalent seismic coefficient in geocell retention systems [J].Geotextiles and Geomembranes，2009，27（1）：9-18.

[13] VAHEDIFARD F，LESHCHINSKY D，MEEHAN C L.Displacement-based internal design of geosynthetic-reinforced earth structures subjected to seismic loading conditions [J].Geotechnique，2013，63（6）：451-462.

[14] 劉紅帥，薄景山，劉德東.巖土邊坡地震穩(wěn)定性分析研究評述[J].地震工程與工程振動，2005，25（1）：164-171.

LIU H S，BO J S，LIU D D.Review on study of seismic stability analysis of rock-soil slopes [J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2005，25（1）：164-171. （in Chinese）

[15] 欒茂田，李湛，范慶來.土石壩擬靜力抗震穩(wěn)定性分析與壩坡地震滑移量估算[J].巖土力學(xué)，2007，28（2）：224-230.

LUAN M T，LI Z，F(xiàn)AN Q L.Analysis and evaluation of pseudo-static aseismic stability and seism-induced sliding movement of earth-rock dams [J].Rock and Soil Mechanics，2007，28（2）：224-230. （in Chinese）

[16] LING H I，LESHCHINSKY D，YOSHIYUKI M.Soil slopes under combined horizontal and vertical seismic accelerations [J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1997，26（12）：1231-241.

[17] SIMONELLI A L，STEFANO P D.Effects of vertical seismic accelerations on slope displacements [C]//Proceedings of Fourth International Conference on Recent Advance in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics and Symposium in Honor of Professor W. D.Liam Finn.University of Missouri-Rolla，San Diego，California，2001：34-39.

[18] 黃建梁，王威中，薛宏交.坡體地震穩(wěn)定性的動態(tài)分析[J].地震工程與工程振動，1997，17（4）：113-122.

HUANG J L，WANG W Z，XUE H J.Dynamic analysis of seismic stability of slopes [J].Earthquake Engineering and Engineering Vibration，1997，17（4）：113-122. （in Chinese）

[19] JACQUES I，JOS D，JEAN-CLAUDE S.Effects of the vertical component of ground shaking on earthquake-induced landslide displacements using generalized Newmark analysis [J].Engineering Geology，2006，86：134-137.

[20] 李紅軍，遲世春，鐘紅，等.考慮時程豎向加速度的Newmark滑塊位移法[J].巖土力學(xué)，2007，28（11）：2385-2390.

LI H J，CHI S C，ZHONG H，et al.Effects of dynamic shear strength and time-histories stress analysis on newmark sliding block analyses [J].Rock and Soil Mechanics，2006，27（11）：1063-1068.（in Chinese）

[21] SAWICKI A，CHYBICKIEATL W.Influence of vertical ground motion on seismic-induced displacements of gravity structures [J].Computers and Geotechnics，2007，34：485-497.

[22] CHEN W F.Limit analysis and soil plasticity [M].Elsevier Science， Amsterdam，1975.

[23] 趙煉恒，李亮，楊峰，等.加筋土坡動態(tài)穩(wěn)定性擬靜力分析[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2009，28（9）：1904-1917.

ZHAO L H，LI L，YANG F，et al.Dynamic stability pseudo-static analysis of reinforcement soil slopes [J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2009，28（9）：1904-1917. （in Chinese）

[24] BISHOP A W.The use of the slip circle in the stability analysis of slopes [J].Geotechique，1955，5（1）：7-17.

[25] 龔純，王正林.MATLAB 語言常用算法程序集[M].北京： 電子工業(yè)出版社，2008.

[26] 唐高朋，趙煉恒，李亮，等.基于MATLAB的邊坡穩(wěn)定性極限上限分析程序開發(fā)[J].巖土力學(xué)，2013，34（7）：2091-2098.

TANG G P，ZHAO L H，LI L，et al.Program development for slope stability using MATLAB software and upper bound limit analysis [J].Rock and Soil Mechanics，2013，34（7）：2091-2098. （in Chinese）

[27] ZHAO L H，LI L，YANG F，et al.Upper bound analysis of slope stability with nonlinear failure criterion based on strength reduction technique [J].Journal of Central South University of Technology，2010，17（4）：836-844.

（編輯 王秀玲）