湯建明

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例析與增根有關(guān)的分式方程解的問(wèn)題

湯建明

解分式方程時(shí)，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根.因此，解分式方程時(shí)，驗(yàn)根成了必不可少的步驟.分式方程有增根不一定無(wú)解，但如果解出的所有根都是增根，這時(shí)原分式方程就一定無(wú)解了.反之，分式方程無(wú)解可能原方程無(wú)解，也可能轉(zhuǎn)化后的整式方程無(wú)解.巧妙利用其增根與方程之間的關(guān)系，可以幫助我們尋求解答與增根有關(guān)問(wèn)題的解題策略，現(xiàn)舉例說(shuō)明，供大家參考.

一、根據(jù)方程增根求待定系數(shù)

A. m=-1B. m=0

C. m=3D. m=0或m=3

【剖析】方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母（x-3），把分式方程化為整式方程，得2-x-m=2（x-3）.再根據(jù)分式方程的增根就是使最簡(jiǎn)公分母等于0的未知數(shù)的值求出x的值為3，所以2-3-m=2（3-3），解得m=-1.

【解答】本題應(yīng)該選A.

【點(diǎn)評(píng)】解答這類(lèi)方程增根問(wèn)題，往往先根據(jù)最簡(jiǎn)公分母為0確定增根，再化分式方程為整式方程，最后把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

二、根據(jù)方程無(wú)解確定待定系數(shù)值

【剖析】分式方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母（x+2）（x-2），得關(guān)于x的一元一次方程m-（x-2）=0，解得：x=2+m.由于該分式方程的增根可能是x=2，也可能是x=-2.當(dāng)x=2時(shí)，2+ m=2，∴m=0時(shí)方程無(wú)解；當(dāng)x=-2時(shí)，2+m=-2，∴m=-4時(shí)方程無(wú)解.因此，m=0或m=-4.

【解答】本題應(yīng)該填：m=0或m=-4.

【點(diǎn)評(píng)】分式方程無(wú)解的條件有兩種：（1）分式方程化成的整式方程無(wú)解，則分式方程也無(wú)解；（2）化成的整式方程的解都是該分式方程的增根，均被舍掉，則分式方程無(wú)解.本題屬于第2種情形，需要對(duì)方程的兩個(gè)增根進(jìn)行分類(lèi)討論.

【解答】本題應(yīng)該填：1或-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題從兩種情形分別加以討論：分式方程化成的整式方程無(wú)解，則分式方程也無(wú)解；化成的整式方程的解也是該分式方程的增根，則分式方程無(wú)解.

三、根據(jù)方程有解確定待定系數(shù)的取值范圍

A. a=5或a=0 B. a≠0

C. a≠5D. a≠5且a≠0

【解答】本題應(yīng)該選D.

【點(diǎn)評(píng)】解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往先根據(jù)所給的分式方程有解的條件確定轉(zhuǎn)化為整式方程有解，進(jìn)而取值確定其中待定系數(shù)的取值范圍，再應(yīng)用分式方程有解隱含其解不可能是增根的條件，求得待定系數(shù)取值范圍.

A. 2B. 1

C.不為±2的數(shù)D.無(wú)法確定

【剖析】去分母，把分式方程化為整式方程，x（x+1）-k=x（x-1），解關(guān)于k的方程，得k=2x.由題意，分式方程無(wú)增根，則公分母（x+1）（x-1）≠0，即x≠-1且x≠1，則k≠±2.

【解答】本題應(yīng)該選C.

【點(diǎn)評(píng)】方程無(wú)增根，就意味著對(duì)應(yīng)的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0，利用這一點(diǎn)可以確定字母系數(shù)的值或取值范圍.

四、根據(jù)方程解的取值確定待定系數(shù)取值范圍

A. m＞-1B. m≥-1

C. m＞-1且m≠1D. m≥-1且m≠1

【解答】本題應(yīng)該選D.

【點(diǎn)評(píng)】解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往先根據(jù)所給方程解的取值確定轉(zhuǎn)化后整式方程解的取值范圍，從而確定其中待定系數(shù)的取值范圍，再挖掘方程中隱含的增根條件求得待定系數(shù)取值范圍.

（作者單位：江蘇省建湖縣城南實(shí)驗(yàn)初中教育集團(tuán)城南校區(qū)）