朱道宇

一類三維分段線性系統(tǒng)的異宿軌的存在性

朱道宇

(貴州民族大學理學院，貴州貴陽550025)

研究一類具有3個參數(shù)的連續(xù)分段線性微分動力系統(tǒng)的異宿軌的存在性.利用光滑子系統(tǒng)的流建立切換流形上的Poincare映射，并結(jié)合Taylor展開等方法，證明系統(tǒng)在一定參數(shù)條件下存在簡單二維異宿軌.

異宿軌;Poincare映射;平衡點;流形

1 預備知識

近年來，非光滑微分動力系統(tǒng)中的分段線性系統(tǒng)，由于其形式的簡單性和所呈現(xiàn)的動力學行為的復雜性，它的分支和混沌動力學研究一直受到學者的關(guān)注［1－6］.同宿軌和異宿軌是研究高維微分動力系統(tǒng)的混沌動力學的重要工具之一.文獻［7］給出了著名的Shilnikov定理，該定理揭示了三維光滑微分動力系統(tǒng)的同宿軌和異宿軌與混沌現(xiàn)象的緊密聯(lián)系.文獻［8］給出了適用于分段光滑微分動力系統(tǒng)的Shilnikov定理，一個三維的連續(xù)分段光滑微分動力系統(tǒng)的平衡點當其特征值滿足一定條件時，若系統(tǒng)存在同宿軌或異宿環(huán)，則在此同宿軌或異宿環(huán)的任一鄰域內(nèi)存在無窮多可數(shù)個不穩(wěn)定周期軌，因而存在混沌.一般地，無論對光滑動力系統(tǒng)還是非光滑動力系統(tǒng)來說，同宿軌或異宿軌的存在性的理論證明都是一項比較困難的工作，到目前為止，嚴格證明非光滑動力系統(tǒng)存在同宿軌或異宿軌的研究成果相對較少［9－17］.本文考慮一類具有3個參數(shù)的三維連續(xù)分段線性系統(tǒng)，研究其簡單二維異宿軌的存在性.

文獻［2］提出一類如下形式的三維連續(xù)分段線性系統(tǒng)

其中，β＞0是耗散項，fa，μ(x)是一個二參數(shù)的連續(xù)分段線性函數(shù)

為方便討論，將上述系統(tǒng)寫成矩陣形式

其中向量X=(x，y，z)T，b=(0，0，1)T，系數(shù)矩陣

其中

在變換(2)式之下，系數(shù)矩陣A－和A+的特征值分別為λ，－δλ±iω和－L，ρL±iΩ，其中i是虛數(shù)單位，ω和Ω是正實數(shù)，并且

下面選取λ、δ、L為系統(tǒng)(1)的基本參數(shù)，并設參數(shù)的取值范圍是λ，δ，L＞0.由系數(shù)矩陣的特征值的形式知平衡點e－和e+都是系統(tǒng)(1)的鞍－焦點.

由矩陣A－的對應于特征值λ的特征向量(1，λ，λ2)T，可算得平衡點e－的一維不穩(wěn)定流形Wu(e－)在{x≤0}內(nèi)的部分是半直線I－與切換流形{x=0}相交于點T.由矩陣A－的對應于特征值－δλ+iω的特征向量的實部(1，－δλ，δ2λ2－ω2)T和虛部(0，ω，－2δλω)T，可得平衡點e－的二維穩(wěn)定流形Ws(e－)在{x≤0}內(nèi)是半平面

的一部分.P－與切換流形{x=0}相交于直線

要注意的是直線H－只有一部分屬于Ws(e－).

由矩陣A+的對應于特征值－L的特征向量(1，－L，L2)T，可得平衡點e+的一維穩(wěn)定流形Ws(e+)在{x≥0}內(nèi)的部分是半直線I+與切換流形{x=0}相交于點)T.由矩陣A+的對應于特征值ρL+iΩ的特征向量的實部(1，ρL，ρ2L2－Ω2)T和虛部(0，Ω，2ρLΩ)T，可得平衡點e+的二維不穩(wěn)定流形Wu(e+)在{x≥0}內(nèi)是半平面

的一部分.P+與切換流形{x=0}相交于直線

同樣，直線H+也只有一部分屬于Wu(e+).

2 系統(tǒng)在{x≥0}和{x≤0}內(nèi)的流

對R3中任意一點p=(xp，yp，zp)T，記過點p的軌線為γp.如果點p在{x≥0}內(nèi)，令(t)= ((t)(t)，(t))T是系統(tǒng)(1)的滿足初值條件(0)=p的解.當(t)≥0時有

其中

如果xp=0，yp＞0，則由系統(tǒng)(1)的第一個表達式得e＞0，其中e1=(1，0，0)T，表示系統(tǒng)(1)在點p處的向量場.此時軌線γp從區(qū)域{x＜0}穿過切換流形{x=0}進入?yún)^(qū)域{x＞0}.由于系統(tǒng)(1)在{x≥0}內(nèi)是線性的并且鞍－焦點e+的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形都與{x=0}相交，如果點p不在e+的穩(wěn)定流形上，則存在回復時間＞0使得()=0，并且當t∈(0，)時，(t)＞0.簡而言之，如果點p滿足xp=0且yp＞0，則定義Poincare映射Π+為

其中

如果xp=0，yp＜0，則e＜0，此時過點p的軌線γp從區(qū)域{x＞0}穿過切換流形{x=0}進入?yún)^(qū)域{x＜0}.由于系統(tǒng)(1)在{x≤0}內(nèi)是線性的并且鞍－焦點e－的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形都與{x=0}相交，如果點p不在e－的穩(wěn)定流形上，則存在回復時間＞0使得()=0，并且當t∈(0，)時，(t)＜0.簡言之，如果點p滿足xp=0，yp＜0，則定義Poincaré映射Π－為

如果點p在z軸上，即xp=yp=0，則e=0，這樣的點叫做系統(tǒng)(1)的流與切換流形{x=0}的一個接觸點.對于這樣的點，設Xp(t)為系統(tǒng)(1)的滿足初值條件Xp(0)=p的解.將Xp(t)在t=0處Taylor展開到四階，并把常數(shù)項移到等號左端，得到其第一個分量為

其中ξ的取值介于0和t之間.因此，當zp＜0時軌線γp局部包含在{x≤0}內(nèi)，當zp＞0時軌線γp局部包含在{x≥0}內(nèi)，當zp=0時軌線γp從{x＜0}穿過切換流形{x=0}進入{x＞0}.

3 引理和主要結(jié)果

系統(tǒng)(1)的簡單二維異宿軌是指一條連接平衡點e+和平衡點e－的軌線ρ±?Wu(e+)∩Ws(e－)且ρ±與切換流形{x=0}有且只有一個交點.事實上，點就是直線H－與H+的交點，即

考慮半平面P－和P+分別與z軸的交點q－=(0，0，－1/λ)T和q+=(0，0，1/L)T，顯然q－和q+都是系統(tǒng)(1)的流與切換流形的接觸點.令S－?H－是以q－和(q－)為端點的線段，其中是Poincaré映射Π－的逆映射，則與直線H－相交的軌線沿著平衡點e－的穩(wěn)定流形Ws(e－)進入e－的充分必要條件是交點q－在線段S－上.令S+?H+是以q+和Π+(q+)為端點的線段，則與直線H+相交的軌線沿著平衡點e+的不穩(wěn)定流形Wu(e+)按負向時間進入e+的充分必要條件是交點q－在線段S+上.

證明因為點q+=(0，0，1/L)T在z軸上且z坐標分量大于0，由第2節(jié)的分析知軌線γq+局部包含在{x≥0}內(nèi).由(10)式得系統(tǒng)(1)的滿足初值條件X(0)=q+的解為

q+

此方程在(π，2π)內(nèi)有唯一的零點θ0.因此，軌線從點q+到Π+(q+)的回復時間滿足Ωt∈(π，2π).將(3)式中Ω的表達式關(guān)于變量L作Taylor展開得

其中

求解關(guān)于未知數(shù)t的方程

將此近似值帶入(13)式的第一式，可算得

容易驗證當0＜ρ＜1.2時，因式πρ3+12πρ2+32πρ－ 30ρ－180＜0，即當且充分小時，10L2)與xq+()異號，于是由零點存在定理有

由此得

下面計算Π+(q+)的y坐標分量.由(13)式的第二式得

移項得

利用與引理1類似的推導方法，可得:

定理1設λ＞0且充分小，0＜δ＜1.3，則當且充分小時，系統(tǒng)(1)有一條二維異宿軌，該異宿軌與切換流形{x=0}有且只有一個交點.

證明由本節(jié)一開始的討論知，只需證明在定理的條件下，直線H－與H+的交點q－∈S+且q－∈S－.由于，而點q+的y坐標分量等于0，因此如果Π+(q+)的y坐標分量小于，則∈S+.由條件(14)式知L＞，所以當λ＞0且充分小時，由引理1得Π+(q+)的y坐標分量為+O(L).又由條件(14)式知+2λδ－λ，所以

由此知點Π+(q+)的y坐標分量滿足因而有q－∈S+.同理可證，當λ＞0且充分小，0＜δ＜1.且充分小時，∈S－.定理證完.

此定理說明系統(tǒng)(1)當3個參數(shù)滿足一定條件時存在一條從平衡點e+到平衡點e－的異宿軌，該異宿軌與切換流形{x=0}有且只有一個交點.根據(jù)Shilnikov定理，如果此時還存在一條從平衡點e－到平衡點e+的異宿軌并且參數(shù)δ和ρ的取值都在(0，1)區(qū)間內(nèi)，則系統(tǒng)(1)存在混沌.從e－到e+的異宿軌與切換流形{x=0}至少有3個交點，這樣的異宿軌的存在性證明對于多參數(shù)的分段線性系統(tǒng)來說是困難的，作者將在以后作進一步探討.

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Existence of Heteroclinic Orbits for Three-dimensional Piecewise Linear Systems

ZHU Daoyu
(College of Science，Guizhou Minzu University，Guiyang 550025，Guizhou)

The existence of heteroclinic orbits for a three-parametric family of continuous piecewise linear systems is studied.Using Poincare maps established by the flow of smooth subsystems on switch manifold，and combining with Taylor series expansion method，the existence of a simple 2-dimensional heteroclinic orbit under certain parametric conditions is proved.

Heteroclinic orbit;Poincare map;equilibrium;manifold

O193

A

1001－8395(2016)03－0377－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.014

(編輯鄭月蓉)

2015－04－03

貴州省科技廳聯(lián)合基金(黔科合LH字［2014］7377)

朱道宇(1982—)，女，講師，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)的研究，E－mail:daoyu513@163.com

2010 MSC:34C40