趙娟　管梅

【摘 要】在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，重積分的計(jì)算是教學(xué)重點(diǎn)亦是難點(diǎn)。而在重積分的計(jì)算中積分限的確定是關(guān)鍵，文中結(jié)合筆者的教學(xué)體會(huì)討論重積分計(jì)算中積分限的確定問題。鑒于初學(xué)者易將積分限為變數(shù)的情形誤當(dāng)做積分限為常數(shù)的情況，文中重點(diǎn)討論了積分區(qū)域?yàn)楹畏N形狀時(shí)，二次或者三次積分的各積分限才能都取常數(shù)。文中所做討論的結(jié)果若為初學(xué)者借鑒，可有效避免在重積分的計(jì)算中出錯(cuò)。

【關(guān)鍵詞】重積分；二次積分；三次積分；積分限；積分區(qū)域

【Abstract】In the teaching of higher mathematics， the calculation of the integral is both the focus and difficult points. And the integral limit is the key in the calculation of the integral. The paper combines the authors teaching experience to discuss the problem of the determination of the integral limit. In view of the fact that the beginners to limit integral variable error as the limit of integral constant. In this paper focuses on the regional integral why shape， two or three points of the integral limit to are taking a constant. The results discussed in this paper can be used for reference for beginners， which can effectively avoid the error in the calculation of the multiple integrals.

【Key words】Multiple integrals； Second-order integration； Triple integrals； Integral limit； Integral domain

0 引言

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，二重積分和三重積分的計(jì)算是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，而在重積分的計(jì)算中積分限的確定是一個(gè)尤為關(guān)鍵的問題。許多教師從不同方面總結(jié)了積分限確定的技巧和學(xué)生學(xué)習(xí)中容易犯的錯(cuò)誤[1-3]。針對(duì)直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算中積分限的確定問題，筆者已將教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)為一首口訣[4]，事實(shí)證明可以有效幫助初學(xué)者確定二重積分計(jì)算中積分限的確定。但是筆者發(fā)現(xiàn)對(duì)于二重積分的極坐標(biāo)系下的計(jì)算以及三重積分的柱面和球面坐標(biāo)系下的計(jì)算，很多初學(xué)者在確定積分限時(shí)經(jīng)常容易犯一些錯(cuò)誤。其中最容易犯的錯(cuò)誤在于總是將積分限為變數(shù)的情形誤認(rèn)為積分限為常數(shù)的情形。在此，筆者將積分限為常數(shù)的情況作總結(jié)如下，并指出初學(xué)者易犯的錯(cuò)誤，以期所做討論的結(jié)果為初學(xué)者借鑒，從而在重積分計(jì)算過程中對(duì)于積分限的確定有一個(gè)明確的思路。

1 重積分計(jì)算中確定積分限時(shí)容易出現(xiàn)的幾類錯(cuò)誤

重積分計(jì)算時(shí)，對(duì)于直角坐標(biāo)系下積分限為常數(shù)的情形大部分同學(xué)掌握很好，但是對(duì)于極坐標(biāo)下二重積分積分限的確定，以及柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的三重積分積分限的確定很多同學(xué)經(jīng)常會(huì)把積分限為變數(shù)的情形錯(cuò)誤地寫作積分限為常數(shù)，特舉例說明如下。

1.1 極坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算的情形

2 重積分化為累次積分時(shí)積分限確定的相關(guān)結(jié)論

2.1 極坐標(biāo)變換下二重積分計(jì)算的結(jié)論

2.2 柱面坐標(biāo)變換下三重積分計(jì)算的結(jié)論

通過上述討論，初學(xué)者首先應(yīng)該掌握什么情況下運(yùn)用柱面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分，然后要掌握三重積分化為三次積分時(shí)積分順序通常是先對(duì)z，再對(duì)r，最后對(duì)θ積分。最會(huì)要清楚，只有當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A柱面和平面所圍成立體，且該立體在某一坐標(biāo)面投影為圓心在原點(diǎn)的圓或者扇形、圓環(huán)時(shí)，所得三次積分的積分限才均為常數(shù)。

2.3 球面坐標(biāo)變換下三重積分計(jì)算的結(jié)論

利用球面坐標(biāo)變換求三重積分，初學(xué)者首先應(yīng)該掌握什么情況下運(yùn)用球面坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分，然后要掌握三重積分化為三次積分時(shí)積分順序通常是先對(duì)ρ，再對(duì)θ，最后對(duì)φ積分。最會(huì)要清楚，只有當(dāng)積分區(qū)域?yàn)榍蛐脑谧鴺?biāo)原點(diǎn)的球面所圍立體或者一部分時(shí)，所得三次積分的積分限才均為常數(shù)。

3 結(jié)束語

文中結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，剖析了在極坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)以及球面坐標(biāo)變換下，將二重積分和三重積分化為累次積分時(shí)積分限的確定過程中初學(xué)者容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，主要是容易將積分限為變數(shù)的情形誤寫為積分限為常數(shù)的情形。通過總結(jié)初學(xué)者在重積分計(jì)算中常犯錯(cuò)誤的并給出正確解法和有關(guān)結(jié)論，可以有效幫助初學(xué)者走出重積分計(jì)算的誤區(qū)，起到事半功倍的效果。

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[責(zé)任編輯：楊玉潔]