魏正元，李　娟，羅云峰

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶　400054)

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基于EGARCH-GPD模型的滬深300指數(shù)的VaR度量

魏正元，李娟，羅云峰

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054)

摘要：結(jié)合經(jīng)典的EGARCH模型和基于廣義Pareto分布的極值理論，建立了一種新的EGARCH-GPD模型，并研究了新模型的動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)問題。滬深300指數(shù)VaR估計(jì)的返回測試結(jié)果表明：該EGARCH-GPD模型比傳統(tǒng)的基于正態(tài)分布的EGARCH模型能更好地刻畫金融數(shù)據(jù)分布的“厚尾”特征和波動(dòng)率的時(shí)變性，在一定程度上提高了VaR估計(jì)的預(yù)測精度。

關(guān)鍵詞：EGARCH模型；廣義Pareto分布；POT；VaR；Kupiec失敗率檢驗(yàn)

近年來，隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，經(jīng)濟(jì)和金融全球化的步伐不斷加快，金融市場的波動(dòng)性日趨激烈，對國家、企業(yè)的影響也越來越大，因此金融風(fēng)險(xiǎn)管理已經(jīng)為越來越多的公司、部門、機(jī)構(gòu)所重視，金融風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)也成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。金融風(fēng)險(xiǎn)度量方法經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展已經(jīng)取得了相當(dāng)大的進(jìn)步，尤其是隨著復(fù)雜數(shù)學(xué)方法的成功運(yùn)用，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多度量風(fēng)險(xiǎn)的方法，其中以VaR(value at risk)的使用最為廣泛，其在現(xiàn)代金融風(fēng)險(xiǎn)管理中具有核心的地位。市場風(fēng)險(xiǎn)的VaR度量是指一個(gè)投資組合在某一給定的時(shí)間段內(nèi)，以某個(gè)給定的概率α得到的所能承受的最大損失。換句話說，如果已知某一特定時(shí)間段內(nèi)精確的 VaR，那么在這一時(shí)間段內(nèi)發(fā)生比VaR更大的損失的概率就可以控制在α內(nèi)。從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度解釋，VaR即是一隨機(jī)變量的上側(cè)α分位數(shù)。

如何估計(jì)收益率序列的波動(dòng)率是VaR估計(jì)的核心問題之一。目前，在金融計(jì)量中，收益率序列波動(dòng)率的估計(jì)絕大部分基于以Bollerslev為代表的學(xué)者們提出的一系列GARCH族模型[1]，其基本思想是金融時(shí)間序列在大的波動(dòng)后緊接著是更大的波動(dòng)，其波動(dòng)性隨時(shí)間的變化而變化[2]。Nelson[3]提出的EGARCH模型更體現(xiàn)了正和負(fù)的收益率的非對稱效應(yīng)，在一定程度上更準(zhǔn)確地描述和預(yù)測了金融資產(chǎn)收益的波動(dòng)性。

GARCH族模型中所采用的信息分布多為參數(shù)分布，例如正態(tài)分布、學(xué)生t分布、廣義誤差分布等。分布假設(shè)的合理性將直接影響VaR估計(jì)的準(zhǔn)確性[4]。近年來發(fā)展起來的極值理論預(yù)先對數(shù)據(jù)不做分布假定，直接對尾部進(jìn)行建模，而VaR關(guān)注的也是資產(chǎn)損益的尾部特征，這在一定程度上增加了VaR預(yù)測的精度[5]。Danielsson[6]用極值理論對VaR進(jìn)行計(jì)算，將其與基于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)計(jì)算的VaR值進(jìn)行對比，證明極值理論能有效提高VaR預(yù)測精度。Reiss[7]對極值理論在金融風(fēng)險(xiǎn)中的應(yīng)用進(jìn)行了具體的分析和論證。趙樹然、任培民[8]在極值理論的基礎(chǔ)上對參數(shù)進(jìn)行了點(diǎn)估計(jì)，給出了 VaR 和CVaR的估計(jì)值，通過返回測試，證明了極值理論可以比較精確地度量VaR。在2012年的國際會(huì)議和金融工程中，WANG[9]進(jìn)一步給出了基于極值理論的風(fēng)險(xiǎn)值估計(jì)的新方法。然而，極值理論的統(tǒng)計(jì)推斷大都要求樣本是獨(dú)立同分布的，而在實(shí)際研究中，樣本數(shù)據(jù)很難滿足這一要求[10]。MCNILE和FREY[11]在具體的研究中發(fā)現(xiàn)，金融數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列能有效滿足獨(dú)立、同分布的條件。

為對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行更加準(zhǔn)確的度量，本文主要通過標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列，將經(jīng)典EGARCH模型和基于GPD的極值理論結(jié)合起來，建立動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)模型。

1極值理論

本文采用的極值理論為基于廣義Pareto分布的POT方法。該方法著重討論對某個(gè)閾值的超出量。

定理1對于一個(gè)遞增的閾值u，隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的超越量分布函數(shù)Fu可由GPD近似：

上式中的Gξ,σ即為如下的廣義Pareto分布(GPD):

(1)

其中σ>0，且當(dāng)ξ≥0時(shí)，y≥0; 當(dāng) ξ<0 時(shí)，0≤y≤σ/ξ。這里 ξ 和 σ 分別是GPD的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

對GPD的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)后，給定上尾概率p，VaR可以由式(2)估計(jì)[12]。

(2)

其中:N為樣本容量，即觀測的總次數(shù)；Nu為超越閾值 u的次數(shù)。

2EGARCH-GPD模型

為了在模型中刻畫正和負(fù)的資產(chǎn)收益率序列{rt,t=1,2,…}所引起的非對稱效應(yīng)，也即所謂的“杠桿效應(yīng)”，1991年Nelson 在GARCH模型的基礎(chǔ)上考慮加權(quán)的擾動(dòng)，提出了如下的EGARCH 模型：

(3)

(4)

在EGARCH模型中，{εt}的分布無論是正態(tài)分布、學(xué)生t分布還是誤差分布，均存在分布假設(shè)所帶來的模型誤差，當(dāng)假設(shè)與實(shí)際偏差較大時(shí)，會(huì)直接影響到VaR估計(jì)的準(zhǔn)確性?？紤]到VaR的估計(jì)只涉及分布的尾部行為，而極值理論又可以在非參數(shù)的情況下對分布的尾部近似描述，因此本文在EGARCH模型的框架下，引入極值理論來描述{εt}分布的尾部行為，并借助GPD的VaR計(jì)算方法和EGARCH模型，實(shí)現(xiàn)基于EGARCH-GPD模型的VaR度量。

綜上，基于EGARCH-GPD模型的VaR度量的具體操作流程為：

1) 對收益率序列建立EGARCH模型，借助正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布的新息過程εt，并利用極大似然法對參數(shù)μ, ω, αi, βj進(jìn)行估計(jì)。

2) 將參數(shù)的估計(jì)值代入式(4)，通過迭代的方法求出σt，再由

得到εt的近似估計(jì)序列，稱其為修正的殘差序列。

5) 根據(jù)VaR的正齊次性和平移不變性[13]，得到EGARCH-GPD模型的VaR估計(jì)量，即

3實(shí)證分析

3.1數(shù)據(jù)與樣本說明

本文采集的數(shù)據(jù)是滬深300指數(shù)2000-01-07—2015-04-03的日對數(shù)收益率，共計(jì)3 207個(gè)樣本見圖1。數(shù)據(jù)來源為銳思數(shù)據(jù)庫www.resset.cn。

圖1　滬深300指數(shù)從2000-01-07—2015-04-03的日對數(shù)收益率

表1列出了滬深300指數(shù)日對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計(jì)量，峰度6.460 549>3，且其JB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值非常小，拒絕了正態(tài)性的原假設(shè)。

表1　滬深300指數(shù)日對數(shù)收益率序列的

3.2EGARCH模型擬合

從圖2可以看出：日對數(shù)收益率的樣本ACF的值均在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，其序列相關(guān)性較弱；而平方收益率的樣本ACF均超出兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，表現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性，說明收益率序列存在非常顯著的ARCH效應(yīng)[8]。故在此用EGARCH(1,1)模型來擬合該數(shù)據(jù)。表2給出了EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)，其中括號(hào)內(nèi)為估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

圖2　滬深300指數(shù)日對數(shù)收益率序列和平方收益率序列的ACF圖表2　EGARCH(1,1)模型的參數(shù)估計(jì)

μtωα1β1γ10.000132(0.000308)-0.92178(0.006589)-0.013694(0.010349)0.988046(0.000656)0.144162(0.019526)

圖3上面為殘差序列概率密度直方圖，曲線則是與殘差序列等均值、等方差的正態(tài)分布概率密度。圖3下面是殘差序列對正態(tài)分布的QQ圖，以樣本分位數(shù)為縱坐標(biāo)、正態(tài)分位數(shù)為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在兩端偏離了斜率為1的直線，殘差序列表現(xiàn)出明顯的“尖峰厚尾”性。對其做Jarque-Bera正態(tài)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值小于2.2×10-16，拒絕了其正態(tài)性假設(shè)[14]。

圖3　修正殘差序列概率密度函數(shù)及QQ圖

在金融中最小收益率與持有多頭金融頭寸有關(guān)，所以一般將極值理論應(yīng)用到給定時(shí)間的資產(chǎn)最小收益率上；又由于負(fù)的序列的最大值的相反數(shù)即為正的序列的最小值，所以利用變換-rt=-μt-at, -at=σt·(-εt)將極值理論應(yīng)用至修正殘差序列的負(fù)值而不是其本身。本文對極值理論的分析采用的是R軟件中evir程序包。

3.3對修正殘差序列擬合GPD

POT方法要求指定一個(gè)閾值u，閾值u的選擇依賴于對象序列。經(jīng)驗(yàn)表明：可以通過選擇閾值u使得超越的次數(shù)大約為樣本總數(shù)的5%[8]。由于本文的重點(diǎn)不在閾值的選取上，在此選用經(jīng)典的超越量均值函數(shù)圖選取閾值。當(dāng)u大于某個(gè)閾值u0時(shí)，超越量均值函數(shù)關(guān)于u是線性的[15]。圖 4給出了修正殘差序列的超越量均值函數(shù)圖，由圖可知：閾值選1.5是比較合理的。

表3給出了負(fù)的修正殘差序列在閾值選1.5時(shí)擬合GPD參數(shù)的極大似然估計(jì)。

圖5是負(fù)的修正殘差序列擬合GPD的診斷檢驗(yàn)圖，其中：(a)是超越量的分布函數(shù)圖(橫坐標(biāo)取對數(shù)刻度);(b)是殘差的碎石圖；(c)為尾概率估計(jì)(取對數(shù)刻度);(d)為QQ圖。結(jié)果表明：GPD很好地?cái)M合了數(shù)據(jù)。

圖4　負(fù)的修正殘差序列超越量均值函數(shù)圖表3　負(fù)的修正殘差序列擬合GPD的參數(shù)估計(jì)

Nuξ^^σu=1.5205(約占樣本總量的6.4%)-0.09688922(0.07712182)0.71142533(0.07387009)

圖5　負(fù)的修正殘差序列擬合GPD的診斷檢驗(yàn)

3.4VaR的返回測試

無論采用哪種方法得到收益率序列的VaR值，其實(shí)質(zhì)都是一個(gè)估計(jì)值，這樣就不可避免地存在誤差，這些誤差可能是由于模型的不充分、估計(jì)方法的缺陷或是隨機(jī)誤差造成的，所以要對其結(jié)果進(jìn)行返回測試。VaR返回測試的方法很多，其中最常用的是文獻(xiàn)[16]提出的失敗率檢驗(yàn)法。該方法是將觀測到的收益率與計(jì)算的VaR進(jìn)行比較，小于VaR的情形可以被看作一個(gè)二項(xiàng)分布中出現(xiàn)的獨(dú)立事件。定義示性變量

在此采用2014-01-02—2015-04-03共305天的數(shù)據(jù)對滬深300指數(shù)的日對數(shù)收益率進(jìn)行返回測試。表4列出了兩種模型的VaR返回測試結(jié)果，可見對修正殘差序列采用極值理論得到的VaR在q=95%和q=99%的置信水平下均通過了檢驗(yàn)，而傳統(tǒng)的殘差序列服從正態(tài)分布的模型在q=99%的置信水平下卻沒有通過檢驗(yàn)。

圖6和圖7分別展示的是在q=95%和q=99%置信水平下對修正殘差序列采用極值理論和正態(tài)分布擬合得到的VaR?？梢钥闯觯簩埐钚蛄兄苯硬捎谜龖B(tài)分布擬合往往低估了風(fēng)險(xiǎn)，而對修正殘差序列采用極值理論擬合GPD得到的VaR對風(fēng)險(xiǎn)的度量更準(zhǔn)確。

表4　修正殘差序列不同分布假設(shè)下收益率的VaR返回測試結(jié)果

圖6　q=95%置信水平下修正殘差序列不同分布假設(shè)下的收益率的VaR

圖7　q=99%置信水平下修正殘差序列不同分布假設(shè)下的收益率的VaR

4結(jié)束語

本文在EGARCH模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合了極值理論的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)造出一種新的EGARCH-GPD模型，并將其應(yīng)用于滬深300指數(shù)日收益率的VaR度量上體現(xiàn)了其波動(dòng)率時(shí)變的特征和“杠桿效應(yīng)”?；趶V義Pareto分布的極值理論更有效地刻畫了收益率序列“厚尾”的特點(diǎn)，在一定程度上提高了VaR的預(yù)測精度。

參考文獻(xiàn)：

[1]張銳,魏宇,金煒東.基于MRS-EGARCH模型的滬深300指數(shù)波動(dòng)預(yù)測[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2011,26(5):628-635.

[2]王博.基于ARMA-GARCH模型的上證指數(shù)實(shí)證分析[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2012,12(5):1671-1815.

[3]DANIEL B N.Conditional Heteroskedasticity in Asset Return:A New Approach [J].Econometrica,1991,59(2):347-370.

[4]趙樹然,任培民,趙昕.基于CARR-EVT整體方法的動(dòng)態(tài)日VaR和CVaR模型研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2012( 11):130-148.

[5]俞慧琴.基于極值理論VaR模型的上市公司行業(yè)風(fēng)險(xiǎn)比較研究[D].杭州:浙江大學(xué),2013.

[6]DANIELSSON J,CASPER G D V.Value-at-Risk and Extreme Returns [J].Annales d’Economie et de Statistique,2000,60:239-270.

[7]REISS R D,THOMAS M.Statistical Analysis of Extreme Values [M].Berlin:Birkhauser,2007.

[8]趙樹然,任培民.極值理論在高頻數(shù)據(jù)中的VaR和CVaR的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值研究[J].運(yùn)籌與管理,2007,16(6):128-132.

[9]WANG H,PAN J G.Inspirations from Phylogeny of Market and Credit Risk Measurement Methods Which Benefit to Studies on Operational Risk Measurement International Conference on Engineering and Business Management.USA,2012.

[10]周孝華，張保帥，李強(qiáng).基于SWARCH-GED模型的極值VaR度量[J].系統(tǒng)工程,2013,31(1):29-36.

[11]MCNEIL A J.Calculating quantile risk measure for financial time series using extreme value theory [J].ASTIN Bulletin,2000,27(1):117-137.

[12]ABHAY K S,DAVID E A,POWELL J R.Extreme market risk and extreme value theory [J].Mathematics and Computers in simulation,2013,94:310-328.

[13]孫麗娟.風(fēng)險(xiǎn)定量分析:損失模型及其在保險(xiǎn)與金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,2011.

[14]SMITH R L.Estimating tails of probability distribution [J].The Annals of Statistics,1987,15:1174-1207.

[15]RUEY S T.An Introduction to Analysis of Financial Data with R,First Edition [M].[S.l.]:John Wiley & Sons,2013.[16]PAUL H K.Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models[J].The Journal of Derivatives,1995,3(2):73-84.

(責(zé)任編輯劉舸)

VaR Forecasting for CSI 300 Index Based on EGARCH-GPD Model

WEI Zheng-yuan, LI Juan, LUO Yun-feng

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

Abstract:This paper constructed a new EGARCH-GPD model combined the classical EGARCH model with extreme value theory based on generalized Pareto distribution, and provided the dynamic estimation problems of VaR. The results of VaR back testing on CSI 300 index show that compared with the EGARCH model based on normalized residual, the new model can effectively describe the time-varying volatility and the ‘fat tail’ of financial data, hence increase the prediction accuracy of VaR in a certain extent.

Key words:EGARCH model; generalized Pareto distribution; POT; VaR; Kupiec proportion of failures test

收稿日期：2015-09-22

基金項(xiàng)目：重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(cstc2012jjA00018)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ130810)

作者簡介：魏正元(1975—)，男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)、金融數(shù)學(xué)研究；李娟(1991—)，女，河南信陽人，碩士研究生，主要從事金融統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析相關(guān)研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.05.021

中圖分類號(hào)：O21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2016)05-0119-06

引用格式：魏正元，李娟，羅云峰.基于EGARCH-GPD模型的滬深300指數(shù)的VaR度量[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(5):119-124.

Citation format：WEI Zheng-yuan, LI Juan, LUO Yun-feng.VaR Forecasting for CSI 300 Index Based on EGARCH-GPD Model [J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(5):119-124.