徐志玲

若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)），再根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?lái)確定這些系數(shù)，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法. 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一，它滲透于初中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)部分.

應(yīng)用待定系數(shù)法解題通常有三種方法：比較系數(shù)法、特殊值法和消除待定系數(shù)法，其中以特殊值法應(yīng)用最為廣泛，下面以兩道考題為例，輔導(dǎo)講解.

例1 （2015·南京）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等. 如圖1中的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1（單位：元）、銷售價(jià)y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1） 請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義.

（2） 求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

（3） 當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【思路突破】（1） 點(diǎn)D表示成本與售價(jià)相等；

（2） 將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式；

（3） 求出獲利的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)求解.

解：（1） 點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義為：當(dāng)產(chǎn)量為130 kg時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格相等，都為42元.

（2） 設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=k1x+b1，

∵AB過(guò)點(diǎn)A（0，60）和B（90，42），

∴b1=60，90k1+b1=42.解得k1=-0.2，b1=60.

∴y1與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y1=-0.2x+60（0≤x≤90）.

（3） 利用待定系數(shù)法可得y2與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y2=-0.6x+120（0≤x≤130）.

設(shè)該產(chǎn)品產(chǎn)量為x時(shí)，獲得的利潤(rùn)為W，W=x（y2-y1），注意x要分類討論：

①當(dāng)0≤x≤90時(shí)，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120+0.2x-60）

=-0.4（x-75）2+2 250，

∴當(dāng)x=75時(shí)，W值最大，最大值為2 250；

②當(dāng)90≤x≤130時(shí)，

W=x（y2-y1）=x（-0.6x+120-42）

=-0.6（x-65）2+2 535，

∴當(dāng)x=90時(shí)，W值最大，最大值為2 160.

因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為75kg時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2 250元.

【解后反思】用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是中考考查重點(diǎn)，也是本題的解題關(guān)鍵，特別是第三問(wèn)，要想求得最大利潤(rùn)必須要先求出CD段的函數(shù)解析式，然后根據(jù)利潤(rùn)=產(chǎn)量×（銷售價(jià)-生產(chǎn)成本）得出利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

例2 （2015·無(wú)錫）一次函數(shù)y=x的圖像如圖2所示，它與二次函數(shù)y=ax2-4ax+c的圖像交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與這個(gè)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C.

（1） 求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2） 設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D.

①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

【思路突破】（1） 由二次函數(shù)的解析式，可求其對(duì)稱軸為x=2，將x=2代入一次函數(shù)便可求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2） 由點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，可求點(diǎn)D的坐標(biāo)及CD的長(zhǎng)度；由△ACD的面積，可求A點(diǎn)的坐標(biāo)從而求出函數(shù)解析式.

解：（1） ∵y=ax2-4ax+c=a（x-2）2-4a+c，

∴二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線x=2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=x=，故點(diǎn)C2，.

（2） ①如圖3，∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，且C2，，所以D2，-，CD=3，設(shè)Am，m，由S△ACD=3得：×3×（2-m）=3，

解得m=0，∴A（0，0）.

由頂點(diǎn)D2，-，可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-2）2-，過(guò)點(diǎn)A（0，0），

∴a=，∴y=（x-2）2-=x2-x.

②如圖4，設(shè)Am，m（m<2），過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E，則AE=2-m，CE=-m，

AC==（2-m），

∵CD=AC，S△ACD=10，得×（2-m）·（2-m）=10，

解得：m=-2或m=6（舍去），

∴m=-2，∴A（-2，-），CD=5.

當(dāng)a>0時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C下方，

∴D2，-，

由A-2，-、D2，-，

得：y=x2-x-3；

當(dāng)a<0時(shí)，則點(diǎn)D在點(diǎn)C上方，如圖5，

∴D2，，

由A-2，-，

D2，，

得：y=-x2+2x+.

【解后反思】二次函數(shù)解析式有三種表達(dá)形式，即一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，先選定一種表達(dá)形式，再找到函數(shù)圖像所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入求出解析式.