郭海寬，趙新文，蔡　琦，張永發(fā)，黃麗琴，邢　晉

(1.海軍工程大學(xué) 核能科學(xué)與工程系,武漢　430033;2.南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，南昌　330063;3.海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶　400000)

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核動力設(shè)備無信息先驗研究

郭海寬1，趙新文1，蔡琦1，張永發(fā)1，黃麗琴2，邢晉3

(1.海軍工程大學(xué) 核能科學(xué)與工程系,武漢430033;2.南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，南昌330063;3.海軍裝備部駐重慶地區(qū)軍事代表局，重慶400000)

摘要：故障時間數(shù)據(jù)服從單參數(shù)情形下使用Jeffreys先驗可以得到很好的推斷結(jié)果，但對于服從雙參數(shù)的情形，并且參數(shù)之間具有相關(guān)性時，需要對Jeffreys先驗作特定的修改才能使用；推導(dǎo)出服從正態(tài)分布的核動力設(shè)備故障時間的Jeffreys先驗和Reference先驗，通過分析它們的后驗頻率性質(zhì)得到：Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗、μ的二階概率匹配先驗；在Jeffreys先驗下，σ2水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平α，其差異會隨著樣本容量的增大而逐漸縮小；對實例進行分析，首先推導(dǎo)出核動力設(shè)備泵的正態(tài)分布故障時間數(shù)據(jù)的Reference無信息先驗，應(yīng)用此先驗對故障時間數(shù)據(jù)進行分析，然后通過Bayesian χ2擬合優(yōu)度對所建立的無信息先驗?zāi)Ｐ瓦M行檢驗，發(fā)現(xiàn)僅有15.5%的rB超過0.95分位數(shù)，表明所建立的正態(tài)分布Reference無信息先驗?zāi)Ｐ涂梢院芎玫拿枋霰緦嵗泻藙恿υO(shè)備泵的故障時間數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：核動力設(shè)備；Reference先驗；Jeffreys先驗；概率安全評價

可靠性數(shù)據(jù)是核電站概率安全評價(PSA)的基礎(chǔ)，目前，核電站的PSA研究廣泛利用Bayes方法將特定數(shù)據(jù)作為“新證據(jù)”來修正或更新通用數(shù)據(jù)，從而得到適用于本電站PSA的可靠性參數(shù)[1]。這種方法既能彌補通用數(shù)據(jù)不能代表本電廠特征的弊端，又能彌補特定數(shù)據(jù)量少、不確定性大的缺陷，因此被認為是目前最有效的數(shù)據(jù)處理方法。在核電站PSA分析中，有些始發(fā)事件的頻率或設(shè)備失效的記錄屬于首次出現(xiàn)，沒有歷史數(shù)據(jù)依托，在PSA分析中，此種情況稱為無先驗信息。為了計算無先驗信息的可靠性參數(shù)或始發(fā)事件頻率，將無先驗信息的設(shè)備可靠性參數(shù)或始發(fā)事件頻率簡單地設(shè)為0是不合適的。何劼采用Bayes統(tǒng)計學(xué)中的Jeffreys方法[2]，分別導(dǎo)出了Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys無信息先驗公式和不確定性區(qū)間，并結(jié)合反應(yīng)堆冷卻劑小破口失水事故(SLOCA)實例介紹了如何應(yīng)用Jeffreys先驗計算始發(fā)事件頻率；沈志遠在Gamma-Poisson模型和Beta-Binomial模型的Jeffreys無信息先驗公式基礎(chǔ)上，通過Bayes方法得到通用數(shù)據(jù)分布超參數(shù)計算表達式[3]。上述兩篇文章處理的可靠性數(shù)據(jù)是離散的，而最常見的可靠性數(shù)據(jù)是故障時間數(shù)據(jù)，具有連續(xù)性，其記錄了核動力零部件故障前的持續(xù)工作時間[4]。故障時間數(shù)據(jù)既有符合單參數(shù)分布(如指數(shù)分布)的，也有符合雙參數(shù)分布(如正態(tài)分布)的。故障時間數(shù)據(jù)服從單參數(shù)情形下使用Jeffreys先驗可以得到很好的推斷結(jié)果，但對于服從雙參數(shù)的情形，并且參數(shù)之間具有相關(guān)性時需要對Jeffreys先驗作特定的修改才能使用[5]。Bernardo通過Reference方法成功地改進了多參數(shù)模型中Jeffreys先驗[6]。對于核動力設(shè)備正態(tài)分布的故障時間數(shù)據(jù)，W.Nelson指出，當(dāng)μ(正態(tài)分布的均值)相對于σ(正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差)很大時，正態(tài)分布小于0的概率是可以忽略的，此時，正態(tài)分布可以近似地用于處理故障時間數(shù)據(jù)[7]。本文分別推導(dǎo)出設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)的Jeffreys先驗和Reference先驗且分析了它們的后驗頻率性質(zhì)，通過核動力設(shè)備泵的實例分析，對所建立的正態(tài)分布故障時間數(shù)據(jù)的Reference無信息先驗?zāi)Ｐ瓦M行Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗。

1核動力設(shè)備無信息先驗

假設(shè)核動力設(shè)備故障時間滿足正態(tài)分布規(guī)律，設(shè)T=(T1,…,TN)是設(shè)備故障時間數(shù)據(jù)，其中Ti是第i個部件的故障時間，則正態(tài)故障時間Ti的概率密度函數(shù)為

1.1核動力設(shè)備的Jeffreys先驗

通過Jeffreys先驗理論[5]可得(μ,σ2)的Fisher信息陣為

則正態(tài)分布的核動力設(shè)備故障時間數(shù)據(jù)的Jeffreys先驗為：

1.2核動力設(shè)備的Reference先驗

設(shè)π=(μ，σ2)，其中μ為感興趣參數(shù)，σ2為討厭參數(shù)，又設(shè)

為(μ，σ2)的Fisher信息陣。(μ，σ2)的Reference先驗可由以下四步計算得到[8]：

1)求μ給定時σ2的Reference先驗π=(μ，σ2)。由于一維場合Reference先驗與Jeffreys先驗的一致性，所以

上是有限的。由此對π(σ2|μ)在ωi,μ上正則化得到

其中iA(x)表示集合A上的示性函數(shù)，而

3)求參數(shù)μ關(guān)于π(σ2|μ)的邊際Reference先驗πi(μ)。

4)求極限(假定存在)得到(μ，σ2)的Reference先驗

其中μ10為任一固定點。

2核動力設(shè)備無信息先驗的后驗頻率性質(zhì)

2.1后驗頻率性質(zhì)

考慮核動力設(shè)備Reference先驗的后驗頻率性質(zhì)，πr(μ,σ2)的后驗分布為

(1)

根據(jù)伽瑪分布、倒伽瑪分布和χ2分布的關(guān)系[9]，得倒伽瑪分布的α分位數(shù)可用χ2分布的α分位數(shù)表示，即

有

(2)

式(2)表明Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗。

為了得到參數(shù)μ的邊沿后驗分布，需要對σ2進行積分計算

(3)

(4)

計算Jeffreys先驗關(guān)于σ2的邊沿后驗分布，式(6)是倒伽瑪分布IG(N/2,(N-1)σ2/2)，其α分位數(shù)IGα(N/2,(N-1)σ2/2)就是σ2的水平α的可信上限。

(5)

式(5)表明：在Jeffreys先驗下，σ2的水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平，其差異會隨著樣本容量的增大而逐漸縮小。利用Matlab分析核動力設(shè)備無信息先驗的后驗頻率性質(zhì)，如圖1所示。

圖1　置信水平α=0.05與α=0.95的覆蓋率比較

圖1左右兩圖中圈點為在Reference先驗下模擬得到的可信度分別為α=0.05和α=0.95的可信上限的頻率覆蓋概率；而圖中的星點為在Jeffreys先驗下模擬得到的可信度分別為α=0.05和α=0.95的可信上限的頻率覆蓋概率?？梢钥闯鯦effreys先驗的確不具有良好的頻率性質(zhì)，特別是在小樣本場合。圖1上的水平線與曲線分別表示α=0.05與α=0.95時與Reference先驗與Jeffreys先驗對應(yīng)的可信上限的理論結(jié)果。圖1上的結(jié)果是顯示模擬結(jié)果與理論結(jié)果相當(dāng)吻合，還表現(xiàn)出Reference先驗與Jeffreys先驗下可信上限的頻率覆蓋概率的差異。當(dāng)N較小時這個差異是很顯著的，而當(dāng)n增大時這種差異逐漸縮小。

2.2Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗

建立核動力設(shè)備的無信息先驗?zāi)Ｐ椭?，需要對模型進行擬合優(yōu)度檢驗以評價由此模型得到的Bayes推斷值是否合適?；贐ayes理論的Pearson擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量可以定義為

(6)

通常，k的取值滿足k≈N0.4，N是樣本量。此統(tǒng)計量的一個重要性質(zhì)是：對于很大的N，rB服從自由度為k-1的χ2分布，而與(μ,σ2)的維度無關(guān)[12]。如果后驗分布生成的樣本導(dǎo)致50%的rB超過參考分布的0.95分位數(shù)，則建立的模型存在問題[13]。

3實例分析

泵是核電站的重要設(shè)備，表1列出核電站泵的部分故障時間[14]。

本文利用正態(tài)分布進行故障時間數(shù)據(jù)建模，表1給出的泵的故障時間T1,T2,…,T12模型為

根據(jù)式(1)可以得到σ2的邊沿后驗分布為倒伽瑪分布σ2∈IG(5.5,754 286 093 679 091)。再根據(jù)式(3)得到μ的邊沿后驗分布為T分布，其自由度為11，均值為14 873 072，尺度參數(shù)為114 285 771 769 559。圖2顯示了μ和σ2的邊沿后驗分布。

表1　核電站泵的故障時間數(shù)據(jù)

圖2　泵正態(tài)分布故障時間均值μ和方差σ2的后驗分布

4結(jié)論

本文推導(dǎo)出核動力設(shè)備正態(tài)分布故障時間的Jeffreys先驗和Reference先驗，發(fā)現(xiàn)Reference先驗πr(μ,σ2)∞1/σ2是σ2的精確概率匹配先驗，是μ的二階概率匹配先驗。分析兩個先驗的后驗頻率性質(zhì)得出，在Jeffreys先驗下，σ2水平為α的可信上限的頻率覆蓋概率低于事先給定的可信水平α，說明Jeffreys先驗的確不具有良好的頻率性質(zhì)，特別是在小樣本場合下。應(yīng)用Reference無信息先驗分析核動力設(shè)備泵正態(tài)分布的故障時間，通過Bayesian χ2擬合優(yōu)度檢驗發(fā)現(xiàn)僅有15.5%的rB超過0.95分位點，表明可以很好的描述核電站泵的故障時間。

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(責(zé)任編輯唐定國)

本文引用格式：郭海寬，趙新文，蔡琦，等.核動力設(shè)備無信息先驗研究[J].兵器裝備工程學(xué)報，2016(5):139-143.

Citation format:GUO Hai-kuan,ZHAO Xin-wen,CAI Qi,et al.Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(5):139-143.

Research on Nuclear Power Plants Based on Non-Informative Priors

GUO Hai-kuan1,ZHAO Xin-wen1,CAI Qi1, ZHANG Yong-fa1,HUANG Li-qin2,XING Jin3

(1.Department of Nuclear Energy Science and Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China;2.Material Science and Engineering Academy,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China;3.Naval Equipment Division Representative Office in Chongqing,Chongqing 400000,China)

Abstract:We could receive very good result based on Jeffreys priors when the failure time data has one-parameter distribution,but we need to revise the Jeffreys priors when the failure time data have two-parameter distribution and there is correlation between parameters.Jeferrys priors and Reference priors for NPPs normal failure times were introduced and their posterior frequency qualities were assessed,we know that the Reference prior is exact probability matching prior for σ2and the 2th order asymptotic probability matching prior forμ; the confidence upper limit coverage of confidence level α on σ2is below the confidence level α for Jefferys priors and the otherness will decrease with the increase of sample.This paper carried on the instance analysis to introduce Reference priors for normal failure time data of NPPs pump,and analyzed the failure time data through Reference priors; we found only 15.5%of theRBvalues exceed this 0.95 quantile through applying a Bayesianχ2goodness-of-fit to test the non-informative priors model,which suggests that the normal Reference priors model could describe the failure time data of NPPs pump very well.

Key words:nuclear power plant; Reference prior; Jeffreys prior; probabilistic safety assessment

doi:【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】10.11809/scbgxb2016.05.033

收稿日期：2015-10-31；修回日期：2015-12-01

基金項目：核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計技術(shù)國家重點實驗室基金資助項目(HT-JXYY-02-2014002)

作者簡介：郭海寬(1988—)，男，博士研究生，主要從事核科學(xué)與技術(shù)研究。

中圖分類號：TL364

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：2096-2304(2016)05-0139-05