鄧　裕　秦永松　董　凱

(浙江師范大學(xué)　數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江　金華321004)

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NA樣本下含附加信息時(shí)概率密度函數(shù)的估計(jì)

鄧裕秦永松董凱

(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江金華321004)

摘要：利用分塊方法證明了NA樣本下含附加信息時(shí)概率密度估計(jì)的漸進(jìn)分布為正態(tài)分布.

關(guān)鍵詞：NA樣本；概率密度估計(jì)；分塊經(jīng)驗(yàn)似然；漸近分布

1引言

首先給出NA樣本和核密度估計(jì)的定義.

其中f和g是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在的且對每個(gè)變元均非降(或?qū)γ總€(gè)變元均非升)的函數(shù),則稱該序列為負(fù)相協(xié)(NA)隨機(jī)變量序列.

其中K(·)為核函數(shù),0

在獨(dú)立樣本情形時(shí),Rosenblatt[2],Pazren[3],Rao[4]以及Silverman[5]等對密度核估計(jì)做了比較深入的研究,也得到了比較好的結(jié)果.Roussas[6]研究了在不含附加信息是NA序列下概率密度函數(shù)的估計(jì),并證明了其漸進(jìn)分布為正態(tài)分布.Chen[7]在1999年給出了在獨(dú)立樣本情況下含附加信息時(shí)概率密度函數(shù)的估計(jì),但還尚未見在NA樣本序列的情況下含附加信息時(shí)概率密度函數(shù)的估計(jì).本文將在NA序列樣本下討論含附加信息的概率密度函數(shù)的估計(jì).

2假設(shè)條件及主要結(jié)果

(2.1)

定義如下經(jīng)驗(yàn)似然函數(shù)

(2.2)

其中

為了獲得在含附加信息時(shí)的核密度估計(jì)的漸進(jìn)性質(zhì),我們需要如下假設(shè)條件:

(A1)1)隨機(jī)變量序列為強(qiáng)平穩(wěn)序列,是該序列對于Lebesgue測度的一維邊緣密度函數(shù).

3)隨機(jī)變量X1,Xj+1的聯(lián)合概率密度函數(shù)f1,j并且滿足條件

4)f的導(dǎo)數(shù)f'存在并且有界;

(A2)～核函數(shù)K是一個(gè)有界的概率密度函數(shù),并且滿足

∫RuK(u)du=0,∫Ru2K(u)du<,<.

注1條件(A1)-(A4)在文獻(xiàn)[6]中給出用于研究NA樣本情形下不含附加信息的概率密度函數(shù)的估計(jì).

定理2.1

假設(shè)條件(A1)-(A5)滿足,則有

3模擬結(jié)果

CIB在置信水平為1-α的NACI為

表1

CPALxnCIACIBCIACIBx=0.52000.95900.95170.41290.41463000.95830.95300.37230.37354000.95660.95330.34510.34635000.95680.95200.32530.32626000.95550.95270.30970.31047000.95580.95000.29700.2983x=12000.96050.95130.52980.53073000.95750.95130.47770.47894000.95770.94900.44290.44445000.95690.95170.41750.41826000.95650.95230.39770.39827000.95670.94630.38150.3819

由上述模擬結(jié)果可知,隨著n的增加,兩種模型的CP趨于置信水平,置信區(qū)間的AL逐漸變小.并且看到CIA比CIB有更好的CP及更短的AL.

4引理

引理4.1[8]

引理4.2[9]

設(shè)條件(A1)-(A3)滿足,則

(4.3)

引理4.3[6]

當(dāng)條件A(1)-A(4)都滿足時(shí),

引理4.4

當(dāng)條件(A1),(A4),(A5)～都滿足時(shí)，則

(4.4)

為證明引理4.4,首先證明

(4.5)

由文獻(xiàn)[9]中式(4.7)的證明知

對于其他項(xiàng),計(jì)算以下式子

并利用文獻(xiàn)[10]的引理1.1和引理1.2,可得

用類似的方法可證

結(jié)合以上結(jié)果,式(4.5)得證.

現(xiàn)證

(4.6)

其中

為證式(4.6)首先證明

(4.7)

為此先證對于任意的l∈Rr+1滿足lτl=1,有

(4.8)

只要證明

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

類似可證

(4.13)

通過式(4.12)以及(4.13)容易得到式(4.9)和(4.10)

(4.14)

從而有

(4.15)

由式(4.6)和強(qiáng)平穩(wěn)性,利用文獻(xiàn)[6]中引理3.3的類似證明方法可得

是收斂的.設(shè)bs是Rr+1中的第s個(gè)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量,1sr+1.取l=bs,bt以及s,tr+1,s≠t,當(dāng)q→時(shí),得

(4.16)

進(jìn)而,

(4.17)

結(jié)合式(4.15)和(4.17)有

這樣式(4.11)得證.綜上,式(4.8)證.

下面再證

(4.18)

令

其中

(4.19)

通過引理1,式(4.5)以及條件A(3),A(4)可得

類似可以證明

以及

這樣,式(4.18)得證.

通過式(4.8)和(4.18)可得

(4.20)

設(shè)bs是Rr+1中的第s個(gè)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)向量,1sr+1.設(shè)的第(s,t)個(gè)元素為Sqst.設(shè)l=bs,bt以及s,tr+1,s≠t,再次利用式(4.20)便可得到,s≠t,式(4.6)得證,從而得到.引理得證.

引理4.5

下證

(4.21)

即證

(4.22)

其中l(wèi)τl=1.由條件A(4)可得

則式(4.22)得證,從而式(4.21)成立.引理得證.

5定理的證明

定理2.1的證明

定理得證.

參考文獻(xiàn):

[1]Esary J D, Proschan F, Walkup D W. Association of random variables with application[J]. Ann. Math. Statist.,1967,38(5):1466-1474.

[2]Rosenblatt M, Remark on Nonparametric Estimates of a Density Function[J]. Ann. Math.Statist.,1956(27):832-837.

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[5]Sliver B W. Density Estimation for Statistics and Bata Analysis[M].London: Chapman and Hall,1986.

[6]Roussas G G. Asymptotic normality of the kernel estimate of a probability density function under association[J]. Statistics. and Prob. Lett,2000(50):1-12.

[7]Chen S X. Empirical likelihood-based kernel density estimation[J]. Austral. J. Statist,1997,39(1):47-56.

[8]Yang S C. Uniformly asymptotic normality of the regression weighted estimator for negatively associated samples[J]. Statist Probab Lett,2003(62):101-110.

[9]Qin Y S, Lei Q Z. Quantile Estimation in the Presence of Auxiliary Information under Negatively Associated Samples[J]. Statistics-Theory and Methods,2011(40):4289-4307.

[10]Zhang L X. The weak convergence for functions of negatively associated random variables[J]. Journal of Multivariate Analysis,2001(3):1325-1332.

(責(zé)任編輯魯越青)

Estimator of Probability Density Functions inPresence of Auxiliary Information under Negatively Associated Samples

DengYu Qin Yongsong Dong Kai

(School of Mathematics, Physics and Information Engineering, Zhejiang Normal University, Jinhua, Zhejiang 321004)

Abstract：By using the block-wise technique, this paper demonstrates that the asymptotic distribution of the probability density functions including extra messages is of normal distribution under negatively associated samples.

Key words：negatively associated sample; probability density estimation; block-empirical likelihood; asymptotic distribution.

收稿日期：2015-10-26基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11271088，11361011)

作者簡介：鄧裕(1991-)，男，浙江杭州人，在讀研究生，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

doi：10.16169/j.issn.1008-293x.k.2016.07.08

中圖分類號：O212

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1008-293X(2016)07-0039-09