盛遵冰，陸　磊，呂東方，叢　屾，*

(1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080;2.煙臺(tái)冰輪重型機(jī)件有限公司，山東 煙臺(tái) 264006)

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具有狀態(tài)時(shí)滯的Markov切換系統(tǒng)的穩(wěn)定條件

盛遵冰1，陸磊2，呂東方1，叢屾1，*

(1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080;2.煙臺(tái)冰輪重型機(jī)件有限公司，山東 煙臺(tái) 264006)

摘要：考慮時(shí)滯Markov切換系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性分析。在不計(jì)及Brown運(yùn)動(dòng)的條件下,由于Markov切換系統(tǒng)仍然遵循Riemann-Lebesgue意義下的微積分法則。因此基于較為一般的Lyapunov-Krasovskii泛函構(gòu)造方式,系統(tǒng)地推廣了時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性研究中的解析方法與技巧。通過(guò)引入自由參數(shù)矩陣,建立了以線性矩陣不等式所表述的與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù),由此給出了均方指數(shù)穩(wěn)定性的完整證明。仿真算例證實(shí)了方法的有效性。

關(guān)鍵詞：Markov切換系統(tǒng);狀態(tài)時(shí)滯;穩(wěn)定性分析;線性矩陣不等式

0引言

Markov切換系統(tǒng)是由若干子系統(tǒng)在滿足一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律的邏輯變量的驅(qū)動(dòng)下構(gòu)成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),其邏輯變量的演化過(guò)程由Markov概率轉(zhuǎn)移矩陣生成,并觸發(fā)子系統(tǒng)的依次交替作用。

本文考慮具有狀態(tài)時(shí)滯的Markov切換系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性問題。Markov切換系統(tǒng)的基本理論是在最近20 a發(fā)展起來(lái)的,其穩(wěn)定性研究的思想與方法基本上源于文獻(xiàn)[1-3]的工作。與此同時(shí),時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性問題也成為研究熱點(diǎn),工作主要集中于一般形式的Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造與解析技巧方面,以減少由時(shí)滯大小及其變化率所引起的保守性;其中,普通微積分運(yùn)算的一些基本原理,例如Leibnitz-Newton公式與分部積分公式,是至關(guān)重要的[4-6]。

在概率空間中存在多種意義下的收斂性定義,隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性相應(yīng)地被賦予不同的含義[7-8],其中均方穩(wěn)定與依概率穩(wěn)定較為常用。雖然Markov切換系統(tǒng)歸于隨機(jī)系統(tǒng)范疇,但是其干擾項(xiàng)可以在確定意義下予以考慮[9-11]。因此,不同于在It微積分意義下所考慮的帶有Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)系統(tǒng)[12],Markov切換系統(tǒng)的右端滿足所謂的Caratheodory條件[13],其連續(xù)狀態(tài)的微積分仍然是在Riemann-Lebesgue意義下的普通運(yùn)算。因此,根植于普通微積分法則的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法與技巧可以適當(dāng)?shù)赝茝V至Markov切換系統(tǒng),從而為相應(yīng)Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造及解析提供了方便。如果計(jì)及Brown運(yùn)動(dòng),那么Brown運(yùn)動(dòng)與It隨機(jī)微積分的基本性質(zhì),例如獨(dú)立增量性及It同構(gòu)定理[14-15],具有決定性作用[16]。

在相關(guān)的研究結(jié)果中,以特殊形式的Lyapunov-Krasovskii泛函構(gòu)造方法居多,即泛函具有相同的積分項(xiàng),因此其解析過(guò)程沿襲了普通微積分運(yùn)算,未能體現(xiàn)Markov過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[10,16-18]。本文目的是基于較為一般的泛函構(gòu)造方式,系統(tǒng)地推廣可以有效減少保守性的解析方法與技巧,從而建立與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性判據(jù);同時(shí)給出證明時(shí)滯Markov切換系統(tǒng)均方指數(shù)穩(wěn)定性的完整過(guò)程。

1系統(tǒng)描述

考慮具有狀態(tài)時(shí)滯的Markov切換系統(tǒng):

(1)

(2)

2主要結(jié)論

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

定理1對(duì)于泛函(3),存在α,β>0,使得:

(7)

并且式(4)～式(6)在無(wú)窮小生成算子(2)作用下的表達(dá)式分別為：

(8)

(9)

(10)

從而得到:

式(8),式(9)的證明過(guò)程參見文獻(xiàn)[3],以下論證式(10)。根據(jù)Markov性可知：

由此根據(jù)式(2),即可得證。證畢。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中各項(xiàng)分別為:

因此通過(guò)式(14)得到：

(16)

進(jìn)而,由式(12),式(16)推知：

(17)

(18)

假定λ>0為下列超越代數(shù)方程的唯一解:

(19)

其中α,β>0為不等式(7)右端的系數(shù)。設(shè)Vλ(x,ηt,t)=eλtV(xt,ηt,t),從而有:

(20)

因此根據(jù)Dynkin公式得到:

(21)

結(jié)合式(7),式(18),式(20),式(21)推知：

(22)

通過(guò)積分變量代換與交換積分次序可知:

將上式代入式(22)右端得到：

由此,依據(jù)等式(19)即得:

因此,若給定{x0=φ∈Cn,2h,η0},則EVλ(xt,ηt,t)是一致有界的。從而根據(jù):

注釋2不等式(18)與超越方程(19)及其均方指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)論在形式與Halanay不等式[19]是類似的。由此產(chǎn)生這樣的問題:上述證明均方指數(shù)穩(wěn)定性的過(guò)程是否可以提煉為隨機(jī)意義下的Halanay型不等式以便應(yīng)用。此問題具有一定難度,而其理論與應(yīng)用價(jià)值是非平凡的。

3仿真分析

注釋3仿真計(jì)算可知,作為確定性系統(tǒng)而言,此時(shí)兩個(gè)子系統(tǒng)均不穩(wěn)定。由此可見,隨機(jī)意義下的穩(wěn)定性與確定意義下的穩(wěn)定性之間并無(wú)必然的因果聯(lián)系。

4結(jié)論

對(duì)于時(shí)滯Markov切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,為避免解析困難,多數(shù)文獻(xiàn)選擇具有相同積分項(xiàng)的Lyapunov-Krasovskii泛函,從而其構(gòu)造有失一般性;而且在給出泛函經(jīng)過(guò)無(wú)窮小生成算子作用的結(jié)果之后,回避了均方漸近穩(wěn)定或均方指數(shù)穩(wěn)定的證明過(guò)程。本文方法突出了Markov切換系統(tǒng)的隨機(jī)特征,基于較為一般的泛函構(gòu)造形式,考慮了在相同微積分法則作用下推廣時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法的可能性,由此建立了時(shí)滯Markov切換系統(tǒng)的與時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定判據(jù),其中一些附加約束條件說(shuō)明了推廣過(guò)程中的難點(diǎn)及特殊性。進(jìn)而嚴(yán)格論證了均方指數(shù)穩(wěn)定性,并仿真驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

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Stability conditions for Markovian switching systems with state-delay

SHENG Zun-Bing1，LU Lei2，LV Dong-Fang1，CONG Shen1，*

(1.SchoolofMechanicalandElectricalEngineering,HeilongjiangUniversity,Harbin, 150080,China;2.YantaiMoonFoundryCo.,Ltd,Yantai264006,Shandong,China)

Abstract：This note is concerned with the stability analysis in the mean square sense for Markovian switching systems with state-delay. The calculus rules in Riemann-Lebesgue sense are available for Markovian switching systems when the Brownian motion is not accounted. Then, based on the complete form of Lyapunov-Krasovskii functional, the existent methods and techniques for deterministic time-delay systems are generalized systematically. By introducing relaxation matrices, the delay-dependent stability criterion is estabilished in terms of linear matrix inequality, through which the exponential stability in the mean square is strictly verified. Numerical example demonstrates the proposed approach.

Key words：Markovian switching systems; state-delay; stability analysis; linear matrix inequality

DOI:10.13524/j.2095-008x.2016.01.015

收稿日期：2015-11-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61573131)；黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LC201428)

作者簡(jiǎn)介：盛遵冰(1977-)，男，山東濟(jì)源人，講師，博士，研究方向：視覺伺服與運(yùn)動(dòng)控制,E-mail:zunbingsheng@163.com；*通訊作者：叢屾(1976-)，男，黑龍江哈爾濱人，副教授，博士，研究方向：切換系統(tǒng)與隨機(jī)系統(tǒng)，E-mail:2009040@hlju.edu.cn。

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-008X(2016)01-0079-08

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1566.T.20160309.0910.008.html