馬均澎，王麗丹，段書凱，吳潔寧

（西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院非線性電路與智能信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400715）

拉伸式3-D多渦卷混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及其在保密通信中的應(yīng)用

馬均澎，王麗丹，段書凱，吳潔寧

（西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院非線性電路與智能信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400715）

基于典型的Chua式電路，提出了一種拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)。首先，通過系統(tǒng)的對稱性、不變性、耗散性、系統(tǒng)平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性，分析了混沌的分維特性、時(shí)域波形、Lyapunov指數(shù)譜等基本的混沌動(dòng)力學(xué)特性。其次，利用PSPICE實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的混沌電路。最后，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性原理，運(yùn)用單向耦合法，探究了該混沌系統(tǒng)的同步性問題，并采用該方法有效地實(shí)現(xiàn)了特定信號的加密、解密。數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果保持一致，進(jìn)一步證實(shí)了該方法的可行性。

Chua電路；保密通信；多渦卷混沌吸引子；電路實(shí)現(xiàn)

1 引言

自20世紀(jì)70年代中期，Lorenz[1]揭開混沌學(xué)研究的歷史序幕至今，混沌科學(xué)得到十分迅猛的發(fā)展，目前已在電路、信息處理、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多領(lǐng)域[2～4]得到了極為廣泛的關(guān)注。1990年，Pecora等[5]首次研究了Newcomb電路的混沌同步，將其引入保密通信，打破了混沌研究與保密通信中存在的技術(shù)壁壘。自此，混沌保密通信技術(shù)的研究進(jìn)入高速通道，成為世界各國的重要研究課題，并在該領(lǐng)域取得了巨大成就[6～8]。相較于傳統(tǒng)密碼學(xué)出現(xiàn)的自同步密碼系統(tǒng)的傳輸錯(cuò)誤以及有限的密鑰空間，混沌同步保密通信由于其特殊的加密方式，不僅有效地避免了該錯(cuò)誤擴(kuò)散的產(chǎn)生[9]，而且系統(tǒng)對應(yīng)的密鑰為一定范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)集，其中的每一個(gè)值都可能被取到，進(jìn)而提升了保密系統(tǒng)的密鑰空間和破譯難度等[9]。這些優(yōu)勢極大地促進(jìn)了混沌理論和混沌加密在信息安全領(lǐng)域的研究，其中，如何構(gòu)造復(fù)雜多變的混沌系統(tǒng)已成為國內(nèi)外專家、學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題。

近年來，隨著混沌控制理論趨于成熟，研究人員先后提出了Chen系統(tǒng)[10]、Jerk系統(tǒng)[11]、Lv系統(tǒng)[12]等。其中，Chua式多渦卷混沌系統(tǒng)一直是眾多理論和實(shí)驗(yàn)研究的重點(diǎn)[13]。由于此類混沌系統(tǒng)可以展示出豐富的動(dòng)力學(xué)特性以及多變的混沌結(jié)構(gòu)[14,15]，因而在保密通信和信息隱藏等方面具有極為廣闊的應(yīng)用前景[9]。目前，對于Chua式多渦卷混沌系統(tǒng)的研究，主要是利用間斷函數(shù)[16]、sigmoid函數(shù)[17]、多重分段線性函數(shù)[18]等替代Chua式二極管，構(gòu)建出了諸如變形Chua氏電路[19]、Chua氏對偶混沌電路[20]、多渦卷Chua氏電路[21]等多種渦卷混沌系統(tǒng)。但這類實(shí)驗(yàn)結(jié)果大多呈現(xiàn)出混沌渦卷的自我重復(fù)[22～25]，而其他類型渦卷結(jié)構(gòu)的提出，卻鮮有報(bào)道。

針對以上問題，本文在Chua電路[13]的基礎(chǔ)上，提出了一種拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)通過Heaviside函數(shù)將之前的渦卷結(jié)構(gòu)拉伸為“半渦卷”狀態(tài)，使其混沌軌跡由平面變?yōu)榱Ⅲw，從而成功地?cái)[脫了多渦卷混沌吸引子在多方向上單一的渦卷復(fù)制結(jié)構(gòu)。另外，改變系統(tǒng)的部分參數(shù)密鑰還可以控制其混沌軌跡，使其出現(xiàn)更為復(fù)雜、多變的混沌結(jié)構(gòu)。通過理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜等研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)，針對該系統(tǒng)設(shè)計(jì)了PSPICE電路。最后，利用線性反饋控制法探究了混沌系統(tǒng)的同步問題，并采用單向耦合法實(shí)現(xiàn)了特定的物理信號與混沌系統(tǒng)的加密、解密。由于該混沌系統(tǒng)展現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)特性，因而在保密通信中[26,27]具有更為優(yōu)越的保密性能和保密效果[9]。

2 構(gòu)造新型3-D多渦卷混沌吸引子

2.1 構(gòu)造單方向多渦卷混沌吸引子

基于相關(guān)文獻(xiàn)[28,29]的研究成果，在Chua式電路的基礎(chǔ)上，利用多項(xiàng)式平移的方法在x方向上構(gòu)造出多渦卷混沌吸引子，其無量綱狀態(tài)方程如下

其中，x、y、z為狀態(tài)變量，α和β為系統(tǒng)參數(shù)。h(x)的分段線性函數(shù)表示為

當(dāng)x＜0時(shí)，sgn (x) = ?1；當(dāng)x＞0時(shí)，sgn (x)=1。該系統(tǒng)在x軸方向可產(chǎn)生2N+1個(gè)渦卷混沌吸引子。令N= 3，α= 10，β=16，根據(jù)式(1)和式(2)，得到7渦卷混沌吸引子的數(shù)字仿真結(jié)果，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子

2.2 構(gòu)造拉伸式3-D多渦卷混沌吸引子

通過進(jìn)一步研究，本文將同類型的分段函數(shù)f(x)和d(z)引入系統(tǒng)(1)中，可以使該混沌吸引子沿z方向進(jìn)行拉伸擴(kuò)展，從而構(gòu)造出了拉伸式3-D多渦卷混沌吸引子，其無量綱方程式如下

其中，h(x)如式(2)所示，f(x)、d(z)的分段線性函數(shù)表示如下

這里選取α= 10，β= 16，N =3，初值為 (2,0.5,0.005)。采用三階Runge-Kutta算法，得到多渦卷混沌吸引子相圖，如圖2所示。通過對比系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(3)的結(jié)構(gòu)不難發(fā)現(xiàn)：系統(tǒng)(1)只是單純的渦卷橫向擴(kuò)展，而系統(tǒng)(3)則是在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行了拉伸擴(kuò)展，使該渦卷混沌系統(tǒng)變?yōu)椤鞍霚u卷混沌”系統(tǒng)，特別是在圖1和圖2(a)中的混沌結(jié)構(gòu)發(fā)生了明顯變化，可以觀察到系統(tǒng)沿z方向上通過拉伸，使本該重疊在某一平面上的渦卷結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生了分離。這是之前很多混沌結(jié)構(gòu)沒有出現(xiàn)過的一種現(xiàn)象。同時(shí)，觀察圖2(b)～圖2(d)，γ1= 0.45固定不變，隨著γ2的增大，特別是在y?z平面上，系統(tǒng)逐漸出現(xiàn)復(fù)雜的渦卷混沌特性。

3 基本動(dòng)力學(xué)分析

3.1 對稱性和不變性

由于在變換(x,y,z)→(?x, ?y, ?z)下，系統(tǒng)(3)的相圖均保持不變，即系統(tǒng)的吸引子關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且這種自然的對稱性對所有的系統(tǒng)參數(shù)都保持不變。

3.2 耗散性和吸引子的存在性

根據(jù)

當(dāng)0.5α+1 ＞ 1時(shí)，則系統(tǒng)(3)是耗散的，以指數(shù)形式收斂。

即體積元V0在t時(shí)刻收縮為體積元V0e?(0.5α+1)t。這意味著當(dāng)t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌跡的每個(gè)體積元以指數(shù)率?(0.5α+1)收縮到0。所有系統(tǒng)軌跡線最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為0的集合上，并且其漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)固定在一個(gè)吸引子上。

3.3 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

以N= 3的情況為例，通過對式(8)進(jìn)行求解，可得系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)分布如圖3所示，圖中“o”表示指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)。

通過對系統(tǒng)(3)進(jìn)行線性化，可以得到其平衡點(diǎn)對應(yīng)的雅可比矩陣為

圖2 γ1、γ2取不同值時(shí)，系統(tǒng)(3)產(chǎn)生的多渦卷混沌吸引子

圖3 系統(tǒng)(3)對應(yīng)指標(biāo)2的鞍焦平衡點(diǎn)分布

由于所得的雅可比矩陣是一個(gè)固定矩陣，故該矩陣與平衡點(diǎn)的具體數(shù)值無關(guān)，其對應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

令α= 10，β= 16得出平衡點(diǎn)處矩陣的特征值分別為：γ= ? 6.277 7，λ1= 0.138 9 + j3.567 1，λ2= 0.138 9 ? j3.567 1。γ為負(fù)實(shí)根，λ1與λ2是一對具有正實(shí)部的共軛復(fù)根。因此，系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，滿足Shilnikov定理，即對于三階自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)的特征值γ和σ± jw，若γσ＜ 0且|γ|＞|σ|，則σ滿足系統(tǒng)的矢量場產(chǎn)生混沌的鞍焦點(diǎn)條件，從而在理論上證明了系統(tǒng)(3)存在混沌的可能性。

3.4 Lyapunov指數(shù)、維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo),它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。本文利用三階Runge-Kutta方法數(shù)值模擬求解新系統(tǒng)，從而得到系統(tǒng)的3個(gè)Lyapunov指數(shù)，如圖4所示。其中，λL1=0.255 3，λL2= 0.007 8，λL3= ? 6.263 3。由混沌理論可知，若系統(tǒng)是混沌的，則必須滿足以下條件：1) 至少存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)；2) 存在一個(gè)實(shí)數(shù)λi逼近于0；3) 所有Lyapunov指數(shù)之和為負(fù)。由λL1、λL2、λL3可得該系統(tǒng)是混沌的，則其對應(yīng)的Lyapunov維數(shù)為

圖4 系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜

Lyapunov維數(shù)介于2到3之間，從而驗(yàn)證了該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

3.5 時(shí)域波形、功率譜、分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)譜

系統(tǒng)(3)產(chǎn)生的時(shí)間序列具有一定的非周期性，而且對初始值的改變也極為敏感。即使只對初始值中的某一個(gè)數(shù)做細(xì)微的調(diào)整，得到的時(shí)域波形也會(huì)有很大差別，如圖5所示。這里將初始值分別取為(2,0.5,0.005)和(2,0.5,0.006)。在0 ＜t＜ 20 s時(shí)，兩曲線沒有明顯的區(qū)別，而當(dāng)t＞ 20 s時(shí)，兩曲線表現(xiàn)出截然不同的時(shí)間演化曲線，這表明了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對初始條件極為敏感，其相軌道在一定的區(qū)域內(nèi)無限填充或游蕩，具有典型的非周期特性。圖6為系統(tǒng)的功率譜，功率譜是研究系統(tǒng)從分岔走向混沌的重要方法。其中，周期運(yùn)動(dòng)對應(yīng)尖鋒，而混沌的特征則是譜中出現(xiàn)“噪聲背景”和“尖峰”。不難看出，該系統(tǒng)在一定頻率范圍內(nèi)是連續(xù)譜，并表現(xiàn)出明顯的非周期混沌特性。由于該拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，無法刻畫出較大參數(shù)變化范圍內(nèi)的分岔圖。因此，圖7重點(diǎn)分析了參數(shù)β在[16,16.1]上的局部分岔結(jié)構(gòu)以及對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)譜，其中，α= 10?；煦缃Y(jié)構(gòu)一般包含3種狀態(tài)：穩(wěn)態(tài)、周期態(tài)和混沌態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)或周期態(tài)時(shí)，其對應(yīng)的分岔圖由一條或多條連續(xù)的線構(gòu)成。而當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)時(shí)，在分岔圖中存在無數(shù)個(gè)類隨機(jī)點(diǎn)。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，與一般的混沌結(jié)構(gòu)不同，系統(tǒng)(3)的分岔圖在該區(qū)間展現(xiàn)出多個(gè)分岔結(jié)構(gòu)，并且均處于混沌態(tài)。與此同時(shí)其對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)在[16,16.1]范圍內(nèi)也基本為正數(shù)，從而進(jìn)一步證明了新系統(tǒng)在該區(qū)間內(nèi)是混沌的。

圖6 系統(tǒng)（3）的功率譜

圖7 系統(tǒng)(3)隨β變化的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜

由以上分析可知，本文所提出的新型多渦卷混沌系統(tǒng)，除了對初始值的取值極為敏感之外，參數(shù)α、β、γ1和γ2對系統(tǒng)狀態(tài)影響也很大。不同的參數(shù)選取，會(huì)使該混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，從“半渦卷”混沌變?yōu)闇u卷混沌。由于該混沌系統(tǒng)對初始值的極端敏感依賴性，同時(shí)還可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類隨機(jī)而又確定性的混沌信號。所以這種拉伸式多渦卷混沌吸引子在實(shí)際保密通信系統(tǒng)中具有一定的開發(fā)潛力。

4 電路仿真

混沌系統(tǒng)中最簡單最直接的物理模型就是電路實(shí)現(xiàn)，許多混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為都是在電路上得到了驗(yàn)證。本文利用PSPICE軟件對該系統(tǒng)進(jìn)行了電路仿真?？紤]到狀態(tài)變量的取值應(yīng)在集成電路允許的工作電壓范圍內(nèi)，結(jié)合圖2的相圖大小，首先對其進(jìn)行等比例壓縮變換，這里將混沌系統(tǒng)均勻壓縮至原系統(tǒng)的。然后采用線性電阻R、線性電容C以及運(yùn)算放大器TL082實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)(3)的物理模型。其中，運(yùn)放選取的電壓值為±15 V，飽和值Vsat=±13.5 V。此外，τ0=R0C0既是時(shí)間尺度變化因子，也是積分器的積分常數(shù)。利用這一特性,可改變混沌信號在時(shí)域中變化的快慢以及混沌信號頻譜的分布范圍，所以合理地選擇時(shí)間尺度變換因子的大小，對于混沌電路的設(shè)計(jì)以及實(shí)現(xiàn)至關(guān)重要。這里變換因子選取R24=R34=R42= 60 k?，C1=C2=C3= 210 nF。根據(jù)系統(tǒng)(3)設(shè)計(jì)的電路如圖8所示。

?f(x)、?d(z)和h(x)是產(chǎn)生階躍函數(shù)的發(fā)生電路。系統(tǒng)(3)等比例壓縮后，由電路的基本理論及各個(gè)組件的特性，得到的電路方程為

式(12)與式(3)對照，可得

令α= 10，β= 16，N= 3。其中，R1～R6、R8～R11、R44、R45、R47、R50和R53均為13.5 k?，R15、R17、R20、R21、R26、R36、R39和R43均為10 k?，R14= 5 k?，R35= 160 k?，R7=R48= 0.94 k?，剩余電阻均為100 k?。根據(jù)圖2的參數(shù)關(guān)系對R15和R17的取值進(jìn)行修改?？紤]到仿真時(shí)間、飽和度以及初值對仿真結(jié)果的影響，本次電路實(shí)驗(yàn)從3時(shí)刻開始，最大仿真步長設(shè)置為0.01 s，仿真時(shí)間為50 s，得到系統(tǒng)(3)的電路仿真結(jié)果如圖9所示?？梢杂^察到電路結(jié)果與數(shù)值仿真基本保持一致，從而驗(yàn)證了混沌系統(tǒng)在電路中的存在性。

圖8 系統(tǒng)(3)的電路原理

5 混沌系統(tǒng)的同步及保密通信

5.1 拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)的同步

目前，混沌主要以2種方式應(yīng)用于保密通信中，一種是混沌同步；另一種是混沌映射。其中，混沌同步通過混沌載體流對接收端的驅(qū)動(dòng)作用來實(shí)現(xiàn)，該加密方式是一種動(dòng)態(tài)加密，并且處理速度和密鑰長度無關(guān)。即使密文也參與了密鑰流的生成，短時(shí)間內(nèi)傳輸錯(cuò)誤也不會(huì)引起錯(cuò)誤擴(kuò)散。因此，這種算法效率很高，特別適用于實(shí)時(shí)信號處理。同時(shí)，傳統(tǒng)加密通信中經(jīng)常采用頻譜分析法對其進(jìn)行破譯，但此種方法對混沌加密后的傳輸信號卻沒有太大作用，主要是因?yàn)榛煦鐐鬏斝盘柧哂蓄愃圃肼暤膶掝l譜特點(diǎn)，傳統(tǒng)方法無法基于頻譜分析得到有用信息。另外，傳統(tǒng)加密方式生成的加密信號與原始信號之間存在一定的相關(guān)性，這對實(shí)際保密通信系統(tǒng)的安全性是一個(gè)非常不利的因素。而對混沌保密通信來說，只要選取適當(dāng)?shù)拿芪淖儞Q函數(shù)，那么生成的加密信號就是遍歷的、均勻分布的，該信號與原始信號之間的互相關(guān)性趨于零。所以人們越來越重視混沌系統(tǒng)在實(shí)際通信應(yīng)用中的潛力。

基于以上混沌保密通信的研究成果，本文提出的拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且由于密鑰參數(shù)的變化形成復(fù)雜多變的混沌系統(tǒng)，可以大大提高實(shí)際通信的保密效果和破解難度。為實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌同步，將系統(tǒng)(3)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，分別取(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為

其中，q為耦合系數(shù)。

定義同步誤差為

結(jié)合式(2)、式(4)和式(5)，得到如下的同步誤差系統(tǒng)。

定理1對于混沌系統(tǒng)，當(dāng)控制器取u = ?qe1且q足夠大時(shí)，得到的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(14)和系統(tǒng)(15)之間的漸近同步。

證明上式非線性函數(shù)h(x)是Lipschitz函數(shù)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)中的非線性部分，對于任意實(shí)數(shù)x1和x2，均滿足Lipschitz條件

且l ≥ 0。

進(jìn)而，對任意實(shí)數(shù)x1、x2和e1，都有

將控制器u = ?qe1和式(19)代入式(17)中，得誤差系統(tǒng)

這里選取Lyapunov函數(shù)

將V沿系統(tǒng)(3)的軌跡對時(shí)間t求導(dǎo)，得

其中，

根據(jù)其對應(yīng)的特征方程可得，只要選取適當(dāng)?shù)脑鲆鎞，使

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，閉環(huán)系統(tǒng)(17)是漸近穩(wěn)定的，從而證明了系統(tǒng)(14)和系統(tǒng)(15)可以實(shí)現(xiàn)同步。

5.2 數(shù)值仿真

利用Matlab，將系統(tǒng)參數(shù)分別設(shè)為：α = 10，β = 16，γ1= γ2= 0.50，N = 3，其中，系統(tǒng)(14)和系統(tǒng)(15)的初始條件為 (2,0.5,0.005)、(0.2,0.54,0.05)。令耦合系數(shù)q=10，在線性反饋控制下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差仿真曲線如圖10所示。可以看出，經(jīng)過一個(gè)暫態(tài)過程后系統(tǒng)(20)的誤差變量e1、e2、e3全部趨于0，這說明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)已達(dá)到完全同步，進(jìn)而驗(yàn)證了線性控制器的有效性。

圖10 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)對應(yīng)的同步誤差仿真

5.3 拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)在保密通信中的應(yīng)用

利用以上驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步關(guān)系，在混沌控制的基礎(chǔ)上進(jìn)行了保密通信的應(yīng)用，其加密、解密過程的原理結(jié)構(gòu)如圖11所示。

圖11 新型多渦卷混沌同步系統(tǒng)的加密、解密原理

發(fā)射系統(tǒng)為

接收系統(tǒng)為

其中，h(x)、d(z)、s(t)分別為

假設(shè)需要加密的信號為一段特定的數(shù)字信號w(t)，由Matlab產(chǎn)生，如圖12所示。這里系統(tǒng)的初始密鑰為 (2,0.5,0.005) 和 (0.2,0.54,0.05)，結(jié)合式(25)取q =10。在發(fā)送端將這一信號和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的混沌信號x1疊加，并將產(chǎn)生的混疊信號s(t)發(fā)送到傳輸信道中，加密函數(shù)s(t)的選取比較靈活，可以是線性的，也可以是非線性的，可以是連續(xù)的，也可以是有斷點(diǎn)的。本文選擇了s(t) =kw(t) +x1(t)作為加密函數(shù)，采用發(fā)送端的非線性混沌信號作為密鑰，將其同時(shí)發(fā)送到傳輸信道中，大大加強(qiáng)了信號的破解難度，同時(shí)，該加密函數(shù)還可以動(dòng)態(tài)調(diào)整，一般地，為了對傳輸信號進(jìn)行掩蓋，傳輸信號的幅值不能太大，否則有用信號則不會(huì)被混沌信號很好地覆蓋，故本文方案的幅值k為0.l。

與加密過程相似，解密是加密的逆過程，只要加密的過程是可逆的，解密就可以實(shí)現(xiàn)?；煦缃饷芗夹g(shù)是將疊加的信號看成是對混沌軌跡的微擾，這種擾動(dòng)將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)相應(yīng)的回歸映射點(diǎn)偏離由純凈混沌系統(tǒng)得到的映射曲線，所以可以運(yùn)用混沌同步原理，通過測量當(dāng)前映射點(diǎn)相對純凈映射曲線的偏離程度，即可推出相應(yīng)信號強(qiáng)度進(jìn)而取出被掩蓋的信號。因此，在接收端只需從s(t) 中減去受控系統(tǒng)產(chǎn)生的同步混沌信號x2(t)，再擴(kuò)大10倍，就可恢復(fù)出有用信號w'(t)。整個(gè)混沌同步保密通信的仿真結(jié)果，如圖12～圖15所示。不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)字信號w(t)經(jīng)過拉伸式混沌系統(tǒng)的加密、解密，迅速得到了當(dāng)前信號w'(t)，使該數(shù)字信號得到無失真?zhèn)鬏敚磜'(t)?w(t)→0，從而證明了該系統(tǒng)在保密通信應(yīng)用中的可行性。

圖12 加密前混沌信號x1(t)的時(shí)域波形

圖13 數(shù)字信號w(t)的時(shí)域波形

圖14 加密后混沌傳輸信號s(t)的時(shí)域波形

圖15 解密后得到信號w'(t)的時(shí)域波形

5.4 拉伸式混沌保密通信的同步性能分析

由于混沌系統(tǒng)天然的初值敏感性、各態(tài)歷經(jīng)性和內(nèi)隨機(jī)性等特征共同影響著加密系統(tǒng)的混沌信號，稍有偏差就會(huì)對混沌序列產(chǎn)生很大影響，因此，混沌同步加密是一種保密性很高的方法。與傳統(tǒng)依靠軟件形成密碼的方式不同，混沌加密重點(diǎn)依賴于系統(tǒng)的硬件密碼，即混沌產(chǎn)生機(jī)制，這就使混沌加密的性能分析與傳統(tǒng)密碼學(xué)的分析研究有很大的區(qū)別[9]。結(jié)合5.3節(jié)混沌同步掩蓋的加密、解密過程，本節(jié)主要從系統(tǒng)參數(shù)、初始密鑰以及同步控制器u的選取3個(gè)方面對其進(jìn)行了分析說明[30]。

5.4.1 系統(tǒng)參數(shù)γ對混沌同步系統(tǒng)性能的影響

結(jié)合2.2節(jié)中拉伸式3-D多渦卷混沌吸引子的多種混沌結(jié)構(gòu)，即γ1= 0.45，γ2分別取0.47、0.49、0.51以及γ1= 0.50，γ2= 0.50，這4種情況進(jìn)行加密仿真。令混沌同步加密系統(tǒng)誤差，則其對應(yīng)的誤差曲線如圖16所示。

由選取4種參數(shù)互不相同的混沌系統(tǒng)仿真結(jié)果顯示，在一定的時(shí)間范圍內(nèi)均能完全滿足同步要求?？紤]到混沌結(jié)構(gòu)對于系統(tǒng)參數(shù)的要求較高，特別是當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)中的多個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)，極少能保證其產(chǎn)生的新型結(jié)構(gòu)仍為混沌狀態(tài)，而拉伸式3-D多渦卷混沌系統(tǒng)，卻較好地實(shí)現(xiàn)了該多態(tài)特性。通過對比不難發(fā)現(xiàn)，圖16(c)達(dá)到系統(tǒng)同步的時(shí)間最短，圖16(b)對應(yīng)的時(shí)間最長，可見該多渦卷混沌同步加密方式可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)4種加密系統(tǒng)，而同步時(shí)間的長短則需要針對不同的物理性能進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x取，因此這種特性在實(shí)際加密、控制等方面應(yīng)用前景較為廣泛。同時(shí)圖16(b)和圖16(d)在t＜34 s時(shí)，2個(gè)系統(tǒng)的誤差曲線極為相似，這說明在一定范圍內(nèi)該多渦卷混沌系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)還具有較強(qiáng)的頑健性。因此，將拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)應(yīng)用在保密通信中，可以大大增加同步加密的選擇性以及穩(wěn)定性。

5.4.2 初始密鑰對混沌同步系統(tǒng)性能的影響

當(dāng)一個(gè)確定性系統(tǒng)的發(fā)展演化行為敏感地依賴于系統(tǒng)的初始條件時(shí)，則稱這個(gè)系統(tǒng)是混沌的?；煦绲倪@個(gè)特征暗示出：對于2個(gè)初始條件很相近的不同軌道，最終將會(huì)以指數(shù)的方式分離，只要初始條件稍微有所差別或微小擾動(dòng)就會(huì)使系統(tǒng)的最終狀態(tài)出現(xiàn)巨大的差異。因而，混沌系統(tǒng)的長期演化行為是不可預(yù)測的。5.3節(jié)正是利用該特性，將所提出的拉伸式多渦卷混沌系統(tǒng)運(yùn)用到混沌保密系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的加密、解密的整個(gè)過程。為了說明初始密鑰對混沌同步系統(tǒng)的影響，以下對上述混沌同步加密系統(tǒng)進(jìn)行了分析。

結(jié)合5.3節(jié)中加密、解密的應(yīng)用系統(tǒng)，保持系統(tǒng)參數(shù)不變從同一個(gè)混沌同步加密系統(tǒng)的發(fā)送端，接收端中選取3組互不相同的初始密鑰(x(0),y(0),z(0))，探究了在該條件下同步加密系統(tǒng)的誤差曲線，如圖17所示。

圖16 γ1、γ2取不同值時(shí),新型多渦卷混沌同步加密系統(tǒng)的誤差曲線

圖17 發(fā)送端和接收端在不同初始密鑰條件下，新型多渦卷混沌同步加密系統(tǒng)的誤差曲線

3組初始密鑰(x(0),y(0),z(0))分別為

由圖17可知，混沌同步加密系統(tǒng)的精確同步時(shí)間長度與初始條件下發(fā)送端和接收端兩者的初始密鑰的大小有關(guān)。當(dāng)混沌系統(tǒng)初始密鑰相差較小時(shí)，加密、解密達(dá)到系統(tǒng)同步所需要的時(shí)間較短，而當(dāng)初始密鑰相差較大時(shí)，系統(tǒng)同步所需要的時(shí)間也就越長。圖17很好地證明了這一加密機(jī)制，隨著3個(gè)初始密鑰之間的差值由小變大，系統(tǒng)達(dá)到同步加密所需要的時(shí)間也逐漸變長。但總體來說，即使在初始密鑰相差較大的情況下，也會(huì)達(dá)到令人較為滿意的同步效果。可見當(dāng)初始密鑰發(fā)生變化時(shí)，會(huì)對系統(tǒng)趨于同步的時(shí)間產(chǎn)生一定影響，并不會(huì)改變加密系統(tǒng)最終的穩(wěn)定狀態(tài)。

5.4.3 控制器對混沌同步系統(tǒng)性能的影響

由于在拉伸式多渦卷混沌加密系統(tǒng)中，控制器u= ?qe1且q的取值范圍較廣，為了便于理解控制器對該混沌加密系統(tǒng)的影響，這里利用李薩如圖像及同步時(shí)域波形，對不同控制器下的同步加密系統(tǒng)性能進(jìn)行了分析說明。

圖18 不同控制器u對應(yīng)的新型多渦卷混沌同步系統(tǒng)的李薩如圖像及混沌同步的時(shí)域波形

圖18中的混沌控制器分別為u= 5e1、u=10e1、u=15e1，仿真結(jié)果分別對應(yīng)圖18(a)、圖18(b)、圖18(c)。其中，γ1= 0.50，γ2= 0.50且初始密鑰均為(2,0.5,0.005)，(0.2,0.54,0.05)。不難看出，圖18(a)由于控制器選取的不合理使系統(tǒng)并未達(dá)到預(yù)期的同步效果，同時(shí)還產(chǎn)生了大量擾動(dòng)，非常不利于混沌同步加密系統(tǒng)的物理應(yīng)用。而從圖18(b)和圖18(c)的李薩如圖像可以看出，系統(tǒng)在相應(yīng)控制器下達(dá)到了完美同步，由于同步加密系統(tǒng)的初始密鑰相差較大，所以在系統(tǒng)剛開始加密時(shí)，存在一些偏差，隨后很快實(shí)現(xiàn)完全同步。此外，圖18還刻畫了當(dāng)控制器為u=10e1時(shí)，混沌同步加密系統(tǒng)對應(yīng)的狀態(tài)方程到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)域波形（如圖18(d)）。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步時(shí)所產(chǎn)生的混沌時(shí)間序列并非完全一樣，兩者之間的穩(wěn)態(tài)在零點(diǎn)附近存在微弱波動(dòng)。這是由于初始密鑰之間的微小差異一直伴隨著混沌序列的整個(gè)過程，但對整個(gè)信號的正確加密、解密并沒有太大影響。

綜上所述，將拉伸式3-D多渦卷混沌吸引子應(yīng)用在混沌保密通信中主要具有以下3點(diǎn)優(yōu)勢：1) 多變的系統(tǒng)參數(shù)，能夠使其在同步加密中有更多可選的混沌空間，更加符合在實(shí)際應(yīng)用中多變的系統(tǒng)環(huán)境；2) 由于多渦卷混沌同步加密信號存在初始密鑰的敏感性、長期不可預(yù)測性、隱蔽性及高度復(fù)雜性等特性，即使破譯者截獲了其中的加密信息，在不知情系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)——響應(yīng)狀態(tài)方程的情況下幾乎不可能破譯該密文，因而在信號傳輸過程中并不需要特殊的保密通道，特別適用于保密通信；3) 混沌同步加密系統(tǒng)中的控制器是不唯一的，從而進(jìn)一步增強(qiáng)了破譯者的破譯難度。因此，拉伸式多渦卷混沌同步加密系統(tǒng)，無論在科研領(lǐng)域還是實(shí)際工程中都具有非常很好的研究價(jià)值和應(yīng)用前景。

6 結(jié)束語

本文基于Chua電路的非線性特性，提出了一種拉伸式3-D多渦卷混沌系統(tǒng)。其復(fù)雜多變的混沌結(jié)構(gòu)為多渦卷混沌吸引子的研究提供了新的思路。通過平衡點(diǎn)、分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)等，分析了該混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。同時(shí)，結(jié)合混沌電路設(shè)計(jì)的理論研究，從參數(shù)的選取、電路調(diào)節(jié)到最后的仿真，實(shí)現(xiàn)了該混沌吸引子的電路仿真，很好地驗(yàn)證了系統(tǒng)電路的可行性。最后，采用單向耦合法實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步，并結(jié)合混沌掩蓋保密通信的具體實(shí)例和數(shù)值模擬進(jìn)一步驗(yàn)證了所給方案的有效性。這對于多渦卷混沌系統(tǒng)在保密通信的研究和實(shí)際應(yīng)用，具有一定的促進(jìn)作用。

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馬均澎（1991-），男，山西運(yùn)城人，西南大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)榛煦珉娐吩O(shè)計(jì)、非線性系統(tǒng)控制。

王麗丹（1976-），女，河南長垣人，西南大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)槿斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)、非線性系統(tǒng)與電路設(shè)計(jì)、憶阻器與憶阻系統(tǒng)。

段書凱（1976-），男，重慶人，西南大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚?、自?dòng)控制及檢測系統(tǒng)。

吳潔寧（1991-），女，重慶人，西南大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閼涀杌煦珉娐吩O(shè)計(jì)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。

Design of a tensile-type 3-D multi-scroll chaotic system and its application in secure communication

MA Jun-peng,WANG Li-dan,DUAN Shu-kai,WU Jie-ning
(Chongqing Key Laboratory of Nonlinear Circuits and Intelligent Information Processing,School of Electronic and Information Engineering,Southwest University,Chongqing 400715,China)

A kind of tensile-type 3-D multi-scroll chaotic attractor based on Chua’s circuit was successfully designed.The chaos generation mechanism was studied by analyzing the symmetry and invariance,the existence of the dissipation,as well as the system equilibrium and stability.Then,some basic dynamical properties,such as Lyapunov exponents,fractal dimension,chaotic dynamical behaviors of the new chaotic system were introduced,either numerically or analytically.At the same time,the chaotic circuit of this system was realized by PSPICE.Finally,based on Lyapunov theorem and unidirectionally coupled method,the synchronization of the chaotic system has also been investigated.With this approach,the novel system can be applied to secure communication,which can achieve the purpose of covering specific signals.The experimental results are in agreement with numerical simulation results,which verifies the availability and feasibility of this method.

Chua’s circuit,secure communication,multi-scroll attractors,circuit realization

s:The National Natural Science Foundation of China (No.61372139,No.61571372),The Fundamental Research Funds for the Central Universities (No.XDJK2016A001,No.XDJK2014A009)

TP309

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016280

2015-10-26；

2016-09-06

王麗丹，ldwang@swu.edu.cn

資助項(xiàng)目(No.61372139,No.61571372)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(No.XDJK 2016A001,No.XDJK2014A009）