翟漢波，李大勇,劉慶松，王凱挺

(山東科技大學(xué) a.山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室; b.土木工程與建筑學(xué)院，山東 青島　266590)

莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法及應(yīng)變極點(diǎn)特性研究

翟漢波a,b，李大勇a,b,劉慶松b，王凱挺b

(山東科技大學(xué)a.山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.土木工程與建筑學(xué)院，山東 青島266590)

摘要：極點(diǎn)是根據(jù)單元體的應(yīng)變狀態(tài)在莫爾應(yīng)變圓上做出的一個(gè)特殊點(diǎn)，通過(guò)極點(diǎn)可以獲得任意平面的應(yīng)變狀態(tài)。為確定莫爾應(yīng)變圓上的極點(diǎn)，提出了2種方法——平行線法和法線法。采用反證法分別驗(yàn)證了平行線法和法線法確定的應(yīng)變極點(diǎn)的唯一性，采用幾何作圖法分別驗(yàn)證了平行線法和法線法確定的應(yīng)變極點(diǎn)的可靠性。研究表明：2種方法確定的應(yīng)變極點(diǎn)位于莫爾應(yīng)變圓的同一條直徑上；應(yīng)力極點(diǎn)與應(yīng)變極點(diǎn)位于莫爾應(yīng)力圓與應(yīng)變圓組成的同心圓的半徑上。莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法具有簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，避免了復(fù)雜的公式計(jì)算，是求解巖土工程中的穩(wěn)定和變形問題及確定單元體復(fù)雜應(yīng)變狀態(tài)的優(yōu)選方法。

關(guān)鍵詞：莫爾圓；極點(diǎn)法；應(yīng)力圓；應(yīng)變圓；唯一性；旋轉(zhuǎn)法

1研究背景

莫爾圓(MohrCircle)的概念來(lái)源于德國(guó)橋梁工程師KarlCulmann在1866年提出的應(yīng)力可以用圖解法分析的思想，Culmann證明了作用于任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為應(yīng)力圓上的一點(diǎn)的坐標(biāo)[1]。1882年德國(guó)土木工程師ChrisitanOttoMohr對(duì)這一課題進(jìn)行了完整的研究，把莫爾圓推廣應(yīng)用到二維及三維應(yīng)力情況，并提出了基于應(yīng)力圓的強(qiáng)度準(zhǔn)則[2]。從此，人們卻淡忘了莫爾圓真正發(fā)明人Culmann，并一直稱“MohrCircle”至今。Culmann在莫爾圓上建立了一個(gè)點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)點(diǎn)作平行于任意平面的平行線與圓的交點(diǎn)即為該面上作用的應(yīng)力。這個(gè)“點(diǎn)”被稱為“極點(diǎn)”(Polepoint)，然而Culmann當(dāng)年并沒有給予它命名。極點(diǎn)法是莫爾圓中的一個(gè)非常重要的方法，借助極點(diǎn)可以用作圖法方便、快速地得到復(fù)雜條件下的應(yīng)力狀態(tài)(應(yīng)力大小和方向)而不必使用繁復(fù)的數(shù)值計(jì)算。

土力學(xué)教材中如，Terzaghi[3]，Lambe[4]，Budhu[5]，Das[6]，Holtz[7]都介紹了平行線法作應(yīng)力圓極點(diǎn)的方法，但未涉及應(yīng)變問題。材料力學(xué)中，如Gere[8]，Hearn[9]，Hibbeler[10]等都介紹了在莫爾應(yīng)變圓上，由已知應(yīng)變值點(diǎn)繞圓心旋轉(zhuǎn)2α角所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的方法，α為已知應(yīng)變平面與未知應(yīng)變平面的夾角，并未涉及極點(diǎn)的概念。李大勇等[11-12]證明了極點(diǎn)存在的唯一性，同時(shí)提出了確定莫爾應(yīng)力圓極點(diǎn)的新方法。與公式法相比，莫爾圓極點(diǎn)法避免了復(fù)雜的解析計(jì)算，同時(shí)解決了利用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法不能解決的復(fù)雜應(yīng)力問題。莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法可以準(zhǔn)確求解出任意平面的應(yīng)變狀態(tài)，確定主應(yīng)變面的位置和主應(yīng)變面上應(yīng)變值的大小。

本文是對(duì)文獻(xiàn)[11-12]研究成果的推進(jìn)，給出了定義應(yīng)變極點(diǎn)的2種方法：平行線法和法線法。得到了2種不同應(yīng)變極點(diǎn)定義下，極點(diǎn)在莫爾應(yīng)變圓上的關(guān)系，證明了2種極點(diǎn)法解決平面應(yīng)變問題的準(zhǔn)確性。極點(diǎn)的定義方法不同，在莫爾圓上得到極點(diǎn)的位置也不同。當(dāng)定義極點(diǎn)的方法確定時(shí)，莫爾圓上有且僅有一個(gè)極點(diǎn)，證明了2種極點(diǎn)定義方法下極點(diǎn)的唯一性。雖然這2種方法下的極點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)，但所求得的結(jié)果是相同的。說(shuō)明了極點(diǎn)法解決復(fù)雜應(yīng)變問題的優(yōu)越性。最后，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，在莫爾應(yīng)力圓與應(yīng)變圓組成的同心圓上，利用平行線法作出應(yīng)力極點(diǎn)和應(yīng)變極點(diǎn)，得到了應(yīng)變極點(diǎn)與應(yīng)力極點(diǎn)之間的關(guān)系。

2莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法

2.1平行線法

單元體平面應(yīng)變單元見圖1(a)。根據(jù)土力學(xué)規(guī)定：壓應(yīng)變?yōu)檎?，取剪?yīng)變繞單元逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。本文分析了平面單元體內(nèi)部截面上的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，采用直線表示垂直于平面單元體內(nèi)部的截面。平行線法確定莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)的步驟為：在ε-γ/2坐標(biāo)系下(圖1(b))，作點(diǎn)C(εx，γxy/2)，點(diǎn)D(εy，γyx/2)，連接C，D兩點(diǎn)，以CD為直徑作莫爾應(yīng)變圓。過(guò)C點(diǎn)作平面ad的平行線交圓于一點(diǎn)P′，也可過(guò)D點(diǎn)作平面ab的平行線交于P′，P′即為應(yīng)變極點(diǎn)。通過(guò)極點(diǎn)P′作ae面對(duì)應(yīng)的平行線交莫爾應(yīng)變圓于E′，交點(diǎn)的坐標(biāo)值(εθ，γθ/2)即為該平面的應(yīng)變值。

圖1　應(yīng)變單元體與所對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓Fig.1　Plane strain element and correspondingMohr circle of strain

2.2法線法

法線法確定莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)的步驟如下:在圖1(b)中，過(guò)莫爾應(yīng)變圓C或D點(diǎn)作平面ad的法線n1的平行線交圓于一點(diǎn)P，該點(diǎn)即為法線法定義下的應(yīng)變極點(diǎn)。通過(guò)P點(diǎn)作任一平面的法線的平行線與圓的交點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)平面的應(yīng)變值點(diǎn)，如通過(guò)極點(diǎn)P作ac面法線n2的平行線交莫爾圓與E，該點(diǎn)的坐標(biāo)值(εθ，γθ/2)即為該平面的應(yīng)變值，即E與E′是同一個(gè)點(diǎn)。

在莫爾應(yīng)變圓上(圖1(b))，連接PP′，由幾何關(guān)系得PC⊥P′C，點(diǎn)P與P′在同一條直徑上。因此對(duì)于給定單元體平面應(yīng)變狀態(tài)，平行線法與法線法所定義的極點(diǎn)位于莫爾應(yīng)變圓的同一直徑上。

3莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)的唯一性證明

給定應(yīng)變狀態(tài)下，莫爾應(yīng)變圓上有且僅有一個(gè)極點(diǎn)存在，這就是極點(diǎn)唯一性原理，可采用反證法證明，假設(shè)在莫爾圓上的極點(diǎn)不唯一。此證明方法同樣適用于應(yīng)力極點(diǎn)的唯一性證明。

圖2　平行線極點(diǎn)的唯一性證明Fig.2　Uniqueness proof of ploe pointby parallel line method

3.1平行線法極點(diǎn)唯一性證明

圖2(a)為某一應(yīng)變單元體，已知最大、最小主應(yīng)變分別為ε1，ε3。圖2(b)為應(yīng)變單元所對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓，由最大、最小主應(yīng)變得到應(yīng)變極點(diǎn)P。

已知截面β上的應(yīng)變(εβ，γβ/2)，過(guò)莫爾應(yīng)變圓上點(diǎn)C(εβ，γβ/2)作該平面的平行線交應(yīng)變圓于一點(diǎn)P′。顯然，若證得P與P′不重合則原假設(shè)成立，極點(diǎn)不唯一。否則，原假設(shè)不成立，證明極點(diǎn)具有唯一性。證明過(guò)程如下：

任意β平面上的應(yīng)變值可用最大、最小主應(yīng)變值表示為:

(1)

(2)

作輔助線連接P′A,P′B,CO1和PO1，作CD⊥AB于D。

又有莫爾應(yīng)變圓方程[9]

(3)

則直線CD的長(zhǎng)度為

(4)

直線O1D的長(zhǎng)度為

(5)

進(jìn)而，

(6)

所以∠CO1D=2β。

在圖2中，由CP′∥de，得∠P′EO1=∠DEC =α+β。

在ΔCDE中，

∠DCE =90° - ∠DEC=90° - α - β。

在ΔCO1D中，

∠O1CD=90°-∠CO1D，即∠O1CD =90°-2β。

因此，

∠ECO1=∠O1CD -∠DCE=α - β 。

進(jìn)而，在ΔP′O1C中，

∠P′O1C=180°-2∠ECO1，即∠P′O1C =180°-2(α - β)，∠P′O1B=∠P′O1C-∠CO1D =180°-2α。

在ΔP′O1B中，

所以∠P′BA=∠PBA=α。即證明BP與BP′重合，即點(diǎn)P與P′重合，即證明了莫爾應(yīng)變圓上利用平行線法所作的極點(diǎn)具有唯一性。

3.2法線法極點(diǎn)的唯一性證明

圖3(a)為某一應(yīng)變單元體，已知最大、最小主應(yīng)變分別為ε1，ε3。圖3(b)為應(yīng)變單元所對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓，利用平面法線法由最大、最小主應(yīng)變得到應(yīng)變極點(diǎn)P′。由已知截面β上的應(yīng)變(εβ，γβ/2)，過(guò)莫爾應(yīng)變圓上點(diǎn)C(εβ，γβ/2)作該平面法線的平行線交應(yīng)變圓于一點(diǎn)P。

圖3　法線法極點(diǎn)的唯一性證明Fig.3　Uniqueness proof of pole pointby normal line method

證明過(guò)程如下：

作輔助線連接PA，PB，CO1和PO1，作CE⊥AB于E。

(7)

直線O1E的長(zhǎng)度為

(8)

因此，

在ΔCO1D中(圖3(b))，∠O1CD=180°-∠CO1D-∠CDO1，即∠O1CD =β-α 。

由PC⊥CF，得∠PCO1=90°-∠O1CD，所以∠PCO1=90°- β+α 。

在ΔPO1C中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，∠PO1C=180°-2∠PCO1，即∠PO1C =2β-2α 。

在ΔPO1A中，∠PO1A=∠PO1C+∠CO1A=180° -2α。

所以∠BAP=∠BAP′=α。即證明AP與AP′重合，即點(diǎn)P與P′重合，即證得莫爾應(yīng)變圓上利用平面法線法所作的極點(diǎn)具有唯一性。

4莫爾圓極點(diǎn)法的可靠性證明

利用極點(diǎn)法作圖獲得任意斜截面上作用的應(yīng)變，是非常方便的，下面將證明極點(diǎn)法的可靠性，即通過(guò)極點(diǎn)法與通用的莫爾圓旋轉(zhuǎn)法得到的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證極點(diǎn)法解決平面應(yīng)變問題的準(zhǔn)確性。

4.1平行線極點(diǎn)法的可靠性證明

已知單元體的平面應(yīng)變狀態(tài)(圖4(a))，利用平行線法在其對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓上作出ae平面上的應(yīng)變值點(diǎn)F′(εβ，γβ/2)(圖4(b))。

圖4　平行線極點(diǎn)法的可靠性證明Fig.4　Reliability proof of determining pole pointby parallel line method

莫爾圓旋轉(zhuǎn)法[8]步驟如下：由已知單元體的應(yīng)變狀態(tài)(圖4(a))作出對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓(圖4(b))。如圖4(a)所示，ae平面可看作由cd平面逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°+β得到。在莫爾應(yīng)變圓上，ae平面上的應(yīng)變值可由OC逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2(90°+β)得到，即C點(diǎn)繞圓心逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2(90°+β)得到點(diǎn)F(εβ，γβ/2)。

對(duì)比2種方法，發(fā)現(xiàn)∠CPF′為圓弧FDC的圓心角，∠COF為圓弧FDC所對(duì)應(yīng)的圓周角，∠CPF′=2∠COF。顯然，F(xiàn)點(diǎn)與F′點(diǎn)重合，所以極點(diǎn)法所求得的任意平面的應(yīng)變值與莫爾圓作圖法所得到的應(yīng)變值相等，平行線極點(diǎn)法的解答與材料力學(xué)中的莫爾應(yīng)變圓作圖法求解所得的解是一致的。

4.2法線極點(diǎn)法的可靠性證明

已知單元體的平面應(yīng)變狀態(tài)(圖5(a))。利用平行線法在其對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓上通過(guò)極點(diǎn)P作出ae平面上的應(yīng)變值點(diǎn)F′(εβ，γβ/2)。

在圖5(a)中，ae平面可視為由ac平面順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°-β得到。在莫爾應(yīng)變圓(圖5(b))，ae平面上的應(yīng)變值可由直線OC順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)2(90°-β)得到，即點(diǎn)F的坐標(biāo)(εβ，γβ/2)。

圖5　法線極點(diǎn)法的可靠性證明Fig.5　Reliability proof of determining pole pointby normal line method

對(duì)比2種方法，發(fā)現(xiàn)∠CPF′為圓心角∠COF所對(duì)應(yīng)的圓周角。顯然，P點(diǎn)與P′點(diǎn)重合，所以極點(diǎn)法所求得的平面應(yīng)變值與現(xiàn)有莫爾圓作圖法所得到的值相等，即證明了莫爾應(yīng)變圓法線極點(diǎn)法求解任意平面應(yīng)變值的準(zhǔn)確性。極點(diǎn)的定義方法雖然不同，但是對(duì)于求解相同問題的解答是相同的。

5極點(diǎn)法解決復(fù)雜問題的優(yōu)越性

莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法對(duì)于解決復(fù)雜應(yīng)變問題，具有獨(dú)特的優(yōu)越性。當(dāng)只給定2個(gè)任意平面及所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變值時(shí)，即2個(gè)任意平面不互相垂直(圖6(a))，即θ≠90°，并且γA≠γB時(shí)，利用莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法可以容易確定該應(yīng)變單元體上任一截面ef上的應(yīng)變值。

在圖6(a)中，按照通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法可知，如果2個(gè)應(yīng)變點(diǎn)的坐標(biāo)值不在莫爾圓同一條直徑上，則僅由這2點(diǎn)的坐標(biāo)值無(wú)法確定唯一的莫爾圓。因此，復(fù)雜應(yīng)變狀態(tài)下，不能用通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法確定微元體其他平面的應(yīng)變狀態(tài)。此時(shí)，建立ε-γ/2坐標(biāo)系(圖6(b))，由平行線極點(diǎn)法(或法線法)找到極點(diǎn)P，通過(guò)A，B，P三點(diǎn)即可作出莫爾應(yīng)變圓。在莫爾圓上由極點(diǎn)作ef的平行線PC，與莫爾圓的交點(diǎn)C即為所求平面的應(yīng)變值。

圖6　任意平面應(yīng)變單元與對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓Fig.6　Arbitrary plane strain element andcorresponding Mohrcircle of strain

由此可見，通過(guò)已知單元體任意夾角的平面應(yīng)變狀態(tài)求解任意截面上的應(yīng)變值時(shí)，應(yīng)用莫爾圓極點(diǎn)法求解具有簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。

6應(yīng)變極點(diǎn)與應(yīng)力極點(diǎn)的關(guān)系

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可知，對(duì)于給定的應(yīng)力單元體(圖7(a))，可以通過(guò)胡克定律確定其應(yīng)變值。根據(jù)莫爾應(yīng)力圓與應(yīng)變圓關(guān)系[9]，當(dāng)選定適當(dāng)?shù)谋瘸?即

(9)

式中:S1為應(yīng)力比尺;S2為應(yīng)變比尺；E為材料的彈性模量； μ為材料的泊松比。則應(yīng)力圓與應(yīng)變圓將有同一圓心，若一個(gè)圓的半徑已知，可以在同一坐標(biāo)系下將應(yīng)力圓與應(yīng)變圓作成同心圓(圖7(b))。其中，兩圓半徑的關(guān)系為

(10)

式中：R為應(yīng)力圓半徑；r為應(yīng)變圓半徑。

圖7　應(yīng)力極點(diǎn)與應(yīng)變極點(diǎn)的位置關(guān)系Fig.7　Location relationship between stress pole pointand strain ploe point

在莫爾應(yīng)力圓上，過(guò)點(diǎn)C作PC∥ab交圓與P點(diǎn)，則P點(diǎn)即為應(yīng)力圓的極點(diǎn)，通過(guò)P點(diǎn)作ac面的平行線PE交應(yīng)力圓于點(diǎn)E(σθ，τθ)。根據(jù)應(yīng)力圓與應(yīng)變圓的半徑關(guān)系作出對(duì)應(yīng)的莫爾應(yīng)變圓。在莫爾應(yīng)變圓上，得到應(yīng)變極點(diǎn)P′，過(guò)P′點(diǎn)作ac面的平行線交圓于E′。則平面ac上的應(yīng)變值為(εθ,γθ/2)。在圖7(b)中，連接O1E′，O1E，根據(jù)通用莫爾圓旋轉(zhuǎn)法可知∠EO1C=∠E′O1D=2θ。點(diǎn)O1，E和E′在同一條直線上。

在ΔPO1E中(圖7(b))，∠PO1E=θ。由PE∥P′E′,得∠PEO1=∠P′E′O1=θ。

在ΔPO1E中∠PEO1=∠EPO1=θ，ΔP′O1E′中，∠PE′O1=∠EP′O1=θ，所以∠PO1E=∠P′O1E′。

根據(jù)幾何關(guān)系，點(diǎn)O1，P和P′在同一條直線上。由此可知，當(dāng)用在同一坐標(biāo)系下，將莫爾應(yīng)力圓與莫爾應(yīng)變圓轉(zhuǎn)化為同心圓時(shí)，應(yīng)力極點(diǎn)與應(yīng)變極點(diǎn)在同一條半徑上。單元體的應(yīng)力(應(yīng)變)狀態(tài)確定，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變(應(yīng)力)狀態(tài)也就唯一確定。同時(shí)，應(yīng)力(應(yīng)變)極點(diǎn)也就唯一確定。

根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變圓的關(guān)系，當(dāng)已知單元體的應(yīng)變狀態(tài)(應(yīng)力狀態(tài))及單元體的泊松比μ值時(shí)，通過(guò)應(yīng)力極點(diǎn)與應(yīng)變極點(diǎn)的關(guān)系及莫爾應(yīng)力圓與應(yīng)變圓的關(guān)系，可以快速地作出單元體的應(yīng)變(應(yīng)力)莫爾圓，并分析單元體任意方向面上的應(yīng)變(應(yīng)力)狀態(tài)。

7結(jié)論

利用莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法可簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確地求解給定應(yīng)變狀態(tài)下，任意截面上的應(yīng)變狀態(tài)。同時(shí)在求解過(guò)程中可利用AutoCAD的繪圖軟件直接進(jìn)行復(fù)雜應(yīng)變問題的極點(diǎn)法求解。避免使用復(fù)雜的公式計(jì)算以及角度的正負(fù)方向判定，是一種極為簡(jiǎn)便、有效的求解應(yīng)變問題的方法。通過(guò)對(duì)莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法及應(yīng)力應(yīng)變極點(diǎn)關(guān)系的研究，得到以下結(jié)論：

(1) 莫爾應(yīng)變圓的極點(diǎn)有2種定義方法，一是平行線法，即通過(guò)已知平面的應(yīng)變值在圓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作已知應(yīng)變平面的平行線交于圓的另一點(diǎn)。通過(guò)該點(diǎn)作未知平面的平行線與莫爾圓的交點(diǎn)，即為未知平面的應(yīng)變值。二是法線法，即過(guò)已知平面的應(yīng)變值在莫爾圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作已知應(yīng)變平面法線的平行線交于圓的另一點(diǎn)。通過(guò)該點(diǎn)作未知平面法線的平行線與莫爾圓的交點(diǎn)，即為未知平面的應(yīng)變值。

(2) 2種方法定義的極點(diǎn)方法不同，定義的極點(diǎn)在莫爾圓上位于同一條直徑上，但是對(duì)于平面應(yīng)變問題的解答是相同的。

(3) 利用莫爾應(yīng)變圓極點(diǎn)法求解時(shí)，給定平面的應(yīng)變狀態(tài)，作極點(diǎn)的方法選定，則該莫爾應(yīng)變圓上有且只有一個(gè)極點(diǎn)。

(4) 莫爾圓極點(diǎn)法在求解應(yīng)變問題時(shí)具有簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，特別適用于復(fù)雜應(yīng)變情況。

(5) 對(duì)于給定單元體的應(yīng)變(應(yīng)力)狀態(tài)，通過(guò)一定的比例關(guān)系，莫爾應(yīng)變圓與應(yīng)力圓可以在同一坐標(biāo)系下用同心圓表示。應(yīng)變極點(diǎn)與應(yīng)變極點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，兩者在同一條半徑上。在莫爾圓上，通過(guò)作與已知應(yīng)變平面的任意夾角平面的平行線是否存在應(yīng)變極點(diǎn)的問題還需進(jìn)一步探索。另外，對(duì)于應(yīng)變圓極點(diǎn)法在巖土工程應(yīng)用還需要進(jìn)一步的研究。

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(編輯：劉運(yùn)飛)

Study on the Pole Point Method of Mohr Strain Circleand the Characteristics of Strain Pole Point

ZHAIHan-bo1,2,LIDa-yong1,2,LIUQing-song2,WANGKai-ting2

(1.KeyLaboratoryofCivilEngineeringDisasterPreventionandMitigation,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China; 2.CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Abstract:The pole point on Mohr circle of strain is a point so special that it can help to readily find strains on any specified plane by using diagram instead of complicated computation. In this paper, two methods are put forward to determine the pole point on the Mohr circle of strain, i.e. the parallel line method and the normal line method. On the basis of contradiction method, the uniqueness of strain pole point is proved by parallel line method and normal line method; on the basis of geometric graphical method, the reliability of determining strain pole point by parallel line method and normal line method is verified. Research shows that the two strain pole points determined by the two methods are on a diameter line of the Mohr strain circle. When certain proportional relation is given, the corresponding stress pole point and the strain pole point are on the radius line of the concentric circle consisting of the Mohr stress circle and Mohr strain circle. The strain pole point method is a preferred solution to determine complex strain state of the strain element and the deformations in geotechnical fields.

Key words:Mohr circle; pole point; stress; strain; uniqueness; rotation method

收稿日期：2015-07-05；修回日期：2015-08-01

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51379118)；山東省土木工程防災(zāi)減災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題基金項(xiàng)目(CDPM2013KF02)；山東科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新基金項(xiàng)目(YC150327)

作者簡(jiǎn)介：翟漢波(1989-)，男，山東泰安人，碩士研究生，主要從事海洋巖土工程研究，(電話)15621459517 (電子信箱)zhaihanbo@qq.com。

doi:10.11988/ckyyb.20150561

中圖分類號(hào)：TU47

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-5485(2016)06-0088-06

2016,33(06):88-93