周宦銀 沈庭云 文其林 李麗蓉 謝艷輝 曹劍鋒

防化學(xué)院 北京 102205

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RLC串聯(lián)電路諧振頻率測(cè)量方法的比較研究

周宦銀 沈庭云 文其林 李麗蓉 謝艷輝 曹劍鋒

防化學(xué)院 北京 102205

摘 要：RLC串聯(lián)電路的諧振頻率一般采用最大電流或最大電壓法進(jìn)行測(cè)量，但是，該測(cè)量方法精度較低，尤其在電路品質(zhì)因數(shù)較低的情況下，這種方法很難準(zhǔn)確測(cè)出諧振頻率值。本文根據(jù)諧振電路的特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，總結(jié)了多種實(shí)用的諧振頻率測(cè)量方法，并對(duì)諧振頻率的測(cè)量方法進(jìn)行了比較研究。得出了不同的測(cè)量方法測(cè)量精度不同；電路參數(shù)不同，選用合理的測(cè)量方法，可大大提高測(cè)量精度的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：RLC串聯(lián)電路；諧振頻率；測(cè)量方法；精度；比較

RLC串聯(lián)諧振電路是電工學(xué)中的典型的電路之一，能很好地加深學(xué)生對(duì)交流電路的理解，并在實(shí)際中得到了較為廣泛的應(yīng)用［1］。在測(cè)量電路的諧振頻率時(shí)，一般都采用諧振時(shí)電路中電流最大，電阻兩端電壓最大的方法進(jìn)行測(cè)量［2，3］。文獻(xiàn)［4］提出了8種測(cè)量RLC串聯(lián)電路諧振頻率的方法，這些方法理論上都成立，但是實(shí)際測(cè)量時(shí)有些問(wèn)題，存在的主要問(wèn)題有：（1）用萬(wàn)用表測(cè)交流電壓、電流不夠準(zhǔn)確，萬(wàn)用表一般只適用于測(cè)工頻附近頻率的交流電壓、電流；（2）忽略電感等的自身電阻影響；（3）忽略了示波器的探筆負(fù)極共地的問(wèn)題，采用此方法可能導(dǎo)致完全錯(cuò)誤的結(jié)果甚至燒壞電路或儀器［5］；（4）文獻(xiàn)沒(méi)有對(duì)不同方法進(jìn)行比較，測(cè)量方法不同測(cè)量精度不同，尤其是對(duì)電路參數(shù)不同時(shí)哪種方法精度高，何時(shí)適用何種方法沒(méi)有進(jìn)行分析研究。其他文獻(xiàn)［6，7］也未就諧振頻率的精確測(cè)量進(jìn)行深入分析研究。

由于測(cè)量?jī)x表采樣等原因，無(wú)論在實(shí)物實(shí)驗(yàn)、還是仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)都可以看到，交流電壓的讀數(shù)常有1%左右的波動(dòng)，如：測(cè)量1 V左右的交流電壓，讀數(shù)往往在0.99 V～1.01V之間波動(dòng)，難以準(zhǔn)確測(cè)量。由于電阻上的交流電壓測(cè)量不準(zhǔn)確，對(duì)應(yīng)的電源頻率測(cè)量就不準(zhǔn)確，某些時(shí)候測(cè)量誤差可能很大。同時(shí)，由于RLC串聯(lián)電路幅頻特性曲線在諧振頻率點(diǎn)時(shí)取最大值，此時(shí)特性曲線對(duì)頻率的導(dǎo)數(shù)為零，在該頻率點(diǎn)電阻電壓變化隨頻率變化最不敏感，即頻率較大變化時(shí)，電阻電壓變化小，因此諧振頻率難以準(zhǔn)確測(cè)量，對(duì)品質(zhì)因數(shù)低的電路，測(cè)量誤差更大。用什么方法可提高諧振頻率的測(cè)量精度呢？根據(jù)電路參數(shù)不同，選用不同的測(cè)量方法可以提高諧振頻率的測(cè)量精度。下面通過(guò)理論分析和EWB仿真實(shí)驗(yàn)輔助分析的方法［8］，對(duì)RLC串聯(lián)電路的諧振頻率測(cè)量方法進(jìn)行比較研究。

1 RLC串聯(lián)電路諧振頻率的測(cè)量方法比較

根據(jù)RLC串聯(lián)電路的特性，可以利用諧振時(shí)電路的特點(diǎn)確定電路什么時(shí)候處于諧振狀態(tài)，測(cè)出諧振頻率［9］。

1.1 最大電流、電壓法

該方法是最傳統(tǒng)、使用最多的方法。由串聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)可知，電路發(fā)生諧振時(shí)，電容的容抗和電感的感抗抵消，電抗為零，電路總阻抗最小，電路呈電阻性，在電源幅度一定的情況下，電路中的電流最大，電阻兩端的電壓也最大。因此可以通過(guò)測(cè)量電阻兩端電壓最大的方法測(cè)量電路的諧振頻率，測(cè)量原理圖如圖1所示。電路參數(shù)選用天煌教儀實(shí)驗(yàn)箱參數(shù)值，C=2 200 pF，L=30 mH，R=2.2 KΩ。

理論分析可知，電路的諧振頻率：

電路的品質(zhì)因數(shù)：

圖1 利用最大電流、電壓法測(cè)諧振

實(shí)驗(yàn)時(shí)電壓讀數(shù)值總是在約1%的范圍內(nèi)波動(dòng)，如圖1電路中，仿真時(shí)電壓表讀數(shù)出現(xiàn)大于1 V情況，不能準(zhǔn)確地讀到最大值。由于上述電路品質(zhì)因數(shù)低，電路選頻性能差，在諧振頻率兩側(cè)的較大范圍內(nèi)，難以觀測(cè)到電阻電壓變化，此時(shí)很難準(zhǔn)確地找到諧振頻率點(diǎn)。

現(xiàn)假定電壓測(cè)量誤差為1%，理論分析可知，當(dāng)f0=19.59 kHz時(shí)，電路諧振，UR=1 V；當(dāng)電源頻率為f1=18.785 kHz時(shí)，XC=3 851.1Ω，XL=3 540.9Ω，X=310.2 Ω，此時(shí)UR=0.99 V；當(dāng)電源頻率為f2=20.431 kHz時(shí)，XC=3 540.8 Ω，XL=3 851.1 Ω，X=310.3 Ω，此時(shí)UR=0.99 V。也就是說(shuō)，當(dāng)交流電源的頻率f在18.785 kHz到20.431 kHz之間變化時(shí)，頻率變化范圍為1.65 kHz，UR的值在1 V的1%范圍變化，在這樣很寬的頻率范圍內(nèi)，電阻電壓變化隨頻率變化不明顯，很難用交流毫伏表或示波器準(zhǔn)確判斷在什么頻率時(shí)電阻兩端電壓最大，因此利用這種方法難于準(zhǔn)確測(cè)出諧振頻率點(diǎn)。

電路參數(shù)對(duì)RLC電路的諧振特性常常有影響［10］。若將電阻R值改為100Ω，其他參數(shù)不變，此時(shí)諧振頻率不變，品質(zhì)因數(shù)提高到37，同樣以1%為界，當(dāng)頻率變化在19.553 kHz至19.628 kHz范圍內(nèi)時(shí)，電阻兩端的電壓值在最大電壓的1%誤差范圍內(nèi)，因此可更準(zhǔn)確地找出諧振頻率在19.553 kHz至19.628 kHz范圍內(nèi)，此時(shí)測(cè)量諧振頻率點(diǎn)的精度可以提高。若考慮電感的電阻值，電路諧振時(shí)，電阻R兩端電壓也是最大，最大電流、電壓法同樣適用。

因此，用傳統(tǒng)的測(cè)量電阻兩端電壓最大的方法測(cè)量諧振頻率精度不高，尤其是當(dāng)電路品質(zhì)因數(shù)較低時(shí)，用最大電流、電壓法測(cè)量諧振頻率誤差較大，不宜采用該方法進(jìn)行測(cè)量。該方法一般適用于品質(zhì)因數(shù)高的電路。

1.2 電容、電感總電壓最小法

當(dāng)電路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)，電阻兩端電壓最大，則電容、電感兩端總電壓ULC最小。利用測(cè)量電容、電感兩端總電壓最小的方法可以測(cè)出電路的諧振頻率。電容、電感總電壓最小法電路原理圖如圖2所示。

圖2 利用電容、電感總電壓最小法測(cè)諧振

由于電容、電感兩端總電壓ULC較小，因此可減小電壓表量程來(lái)測(cè)量總電壓，當(dāng)總電壓最小時(shí)，所對(duì)應(yīng)的交流電源的頻率即為諧振頻率。

圖3 電容電感總電壓法電路的幅頻特性

用EWB波特表對(duì)該方法進(jìn)行輔助分析，電路圖和幅頻特性如圖3所示，可以看出，在諧振頻率附近，幅頻特性曲線斜率大，電容電感總電壓變化對(duì)頻率變化非常敏感，即細(xì)微的頻率變化，將引起電壓幅度明顯變化。因此該方法測(cè)量諧振頻率非常準(zhǔn)確。

考慮電感的電阻值時(shí)，電路諧振時(shí)，電阻R兩端電壓最大，電感和電阻兩端電壓同樣是最小，因此，考慮電感的電阻值時(shí)，電容、電感總電壓最小法同樣適用。理論分析可知，電阻越大，電感電阻越小，測(cè)量精度越高。

因此，該方法測(cè)量精度高，非常適用于電阻R較大，電感電阻較小的電路的測(cè)量。

1.3 電阻電壓與電源電壓同相法

當(dāng)電路發(fā)生串聯(lián)諧振時(shí)，電路阻抗呈現(xiàn)純電阻性，此時(shí)電流與電源電壓同相，電阻兩端電壓與電源電壓也同相。因此，可以用雙蹤示波器比較電源電壓和電阻兩端電壓相位的方法來(lái)判斷電路諧振，當(dāng)兩者同相時(shí)，電路諧振，此時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率。電阻電壓與電源電壓相位比較法電路如圖4所示。

圖4 利用電阻電壓與電源電壓同相法測(cè)諧振

改變交流電源的頻率，將示波器上的雙蹤波形通過(guò)橫向展寬、縱向展高，觀察雙蹤波形是否相交于橫軸（即同相），如圖5所示。

圖5 電阻電壓與電源電壓相位比較

當(dāng)兩波形相交于橫軸時(shí)，說(shuō)明兩電壓同相，此時(shí)電路處于諧振狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的交流電源的頻率即為諧振頻率。由于示波器波形可以展寬、展高，可放大觀察兩路信號(hào)相交處的局部特征，準(zhǔn)確讀出相位差異，因此該方法能很準(zhǔn)確地測(cè)出諧振頻率。同時(shí)，由RLC相頻特性可知，在諧振頻率時(shí)，相頻特性曲線的斜率最大，即相位變化對(duì)頻率變化最敏感，細(xì)微的頻率變化將引起相位差明顯變化。因此，該方法測(cè)量諧振頻率精度高。電路品質(zhì)因數(shù)越高，通頻帶越窄，電源頻率在f0附近較窄的范圍內(nèi)變化時(shí)，電阻電壓和電源電壓的相位之差就會(huì)出現(xiàn)較大的變化，相位差對(duì)頻率變化越敏感，測(cè)量越準(zhǔn)確。

因此，該方法測(cè)量精度高，品質(zhì)因數(shù)越高，該測(cè)量方法越準(zhǔn)確。

1.4 相同電阻電壓時(shí)的高低頻率法

RLC串聯(lián)電路諧振時(shí)，調(diào)低電源的頻率，使電路失諧，當(dāng)電阻電壓下降為諧振時(shí)最大電壓的0.707倍，此時(shí)測(cè)出的頻率為下限頻率fL；當(dāng)調(diào)高電源的頻率，同樣使電阻電壓下降為諧振時(shí)最大電壓的0.707倍，此時(shí)測(cè)出的頻率為上限頻率fH，理論分析可以知道， f0和fL，fH有如下關(guān)系［11］：

因此可以通過(guò)測(cè)量fL和fH計(jì)算出f0。由RLC串聯(lián)電路幅頻特性可知（如圖6所示），幅頻特性曲線在fL和fH處斜率都較大，說(shuō)明較小的頻率變化就會(huì)觀察到更大的電阻幅度變化。因此，可更準(zhǔn)確地測(cè)出某一幅度所對(duì)應(yīng)的頻率。即fL和fH比f(wàn)0有更高的測(cè)量精度。

圖6 RLC串聯(lián)電路幅頻特性

對(duì)電路進(jìn)行理論分析，當(dāng)f=fL=14.605 kHz時(shí)，電阻電壓下降為最大電壓的0.707倍。交流電源頻率變信號(hào)化范圍為14.585 kHz～14.626 kHz時(shí)，電壓在0.707倍附近變化1%，所以可以在14.585 kHz～14.626 kHz范圍附件找到下限頻率fL。同理可以在26.240 kHz～26.335 kHz范圍附件找到上限頻率fH。由于fL和fH比f(wàn)0有更高的測(cè)量精度，所以通過(guò)測(cè)量fL和fH間接測(cè)量f0可獲得更高的測(cè)精度。

事實(shí)上，通過(guò)理論推導(dǎo)，只要保證信號(hào)源輸出的電壓一定，將信號(hào)源的頻率分別調(diào)高和調(diào)低，使電阻元件兩端電壓為一個(gè)相同的電壓值（可以不是最大電壓的0.707倍），記錄此時(shí)的信號(hào)源的高低頻率f1和f2，在這兩個(gè)頻率時(shí)電阻電壓UR1和UR2大小相同，則電容電感總電壓ULC1和ULC2也相同，總電抗也相同，因此有：

上式可變換為：

可以看出，諧振頻率f0與f1和f2成等比關(guān)系。因此可通過(guò)測(cè)量電阻兩端電壓相同時(shí)的高低兩個(gè)頻率計(jì)算諧振頻率。在上下限頻率附近，測(cè)量最準(zhǔn)確。

上述方法與最大電流、電壓法相比，能更準(zhǔn)確地測(cè)出下限頻率fL和上限頻率fH，從而更準(zhǔn)確地計(jì)算出f0，精度可提高10倍左右。電路品質(zhì)因數(shù)越高，電阻電壓對(duì)頻率變化越敏感，測(cè)出下限頻率fL和上限頻率fH就越準(zhǔn)確，因此諧振頻率測(cè)量越準(zhǔn)確。

2 結(jié)束語(yǔ)

從以上分析可知，若串聯(lián)諧振頻率的測(cè)量方法不同，測(cè)量精度就不同。傳統(tǒng)的最大電流、最大電壓法測(cè)量諧振頻率精度較低，對(duì)品質(zhì)因數(shù)較低的電路，尤其不宜采用該方法。一般而言，由于1.2和1.3節(jié)所述方法都是用測(cè)量最小值得到諧振頻率，即分別測(cè)量最小總電壓和最小相位差，此時(shí)可以通過(guò)減小量程檔來(lái)更準(zhǔn)確觀測(cè)，所以用1.2節(jié)和1.3節(jié)的方法測(cè)量精度更高，同時(shí)也比較方便，能更快速、更準(zhǔn)確找到諧振頻率。但對(duì)電阻很小、電感等效電阻較大的電路，1.2節(jié)的方法不宜采用。用1.4節(jié)所述方法測(cè)量精度居中，但要求進(jìn)行計(jì)算，測(cè)量也更復(fù)雜。綜上所述，對(duì)不同參數(shù)的電路，可以選擇不同的測(cè)量方法，選擇合理的測(cè)量方法，可大大提高測(cè)量精度。同時(shí)，在教學(xué)中，要求學(xué)生嘗試用不同方法進(jìn)行測(cè)量和比較，可培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于創(chuàng)新、精益求精、追求卓越的意識(shí)，能收到更好的教學(xué)效果。

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Study on Measurement of Resonant Frequency of RLC Series Circuit Via Comparison

Zhou Huanyin， Shen Tingyun， Wen Qilin， Li Lirong， Xie Yanhui， Cao Jianfeng
College of Chemical Defense， Beijing， 102205， China

Abstract:Resonant frequency of RLC series circuit is usually measured by means of max current or max voltage. But the precision is usually low by this means. Especially for low quality factor circuits， resonant frequency can't be measured precisely. In this paper， after years of practice testing， some useful methods of measuring resonant frequency ware put forward， and these methods were compared and analyzed according to RLC series circuit's characters. The following conclusions were drawn. Different methods will lead different precision. Rational measurement method should be chosen for circuits of different component parameter. With this way， resonant frequency can be measured much more precisely.

Key words:RLC series circuit； resonant frequency； measuring methods； precision； comparison

收稿日期：2015-11-07

作者簡(jiǎn)介：周宦銀，碩士，講師。沈庭云，碩士，教授，系主任。

基金項(xiàng)目：2110工程建設(shè)教學(xué)改革項(xiàng)目支持。