錢向東,鈕如嵩

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇,南京　210098)

求解拱壩極限荷載的增量彈性有限元迭代法

錢向東,鈕如嵩

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,江蘇,南京210098)

摘要：為了克服彈性補(bǔ)償法每一步計(jì)算量太大的問題,結(jié)合彈塑性分析法和塑性極限分析法的優(yōu)點(diǎn),提出求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)極限荷載的增量彈性有限元迭代法(IEFEIM)。該方法以荷載因子β為變量,采用自適應(yīng)增量調(diào)整技術(shù),迭代逼近滿足平衡條件和屈服條件的最大荷載因子βmax。與彈塑性分析法相比,IEFEIM只需材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則,不需要材料屈服、破壞后的本構(gòu)關(guān)系;與塑性極限分析法相比,IEFEIM只需增量定向搜索逼近荷載因子最大值,無需開展大范圍搜索的規(guī)劃算法;與彈性補(bǔ)償法相比,只需形成一次整體剛度矩陣,無需每一步重新形成整體剛度矩陣,可以有效地減少每次迭代的計(jì)算量。工程實(shí)例表明,IEFEIM可以有效地求得高拱壩的極限荷載,并可以給出臨近極限狀態(tài)時(shí)的結(jié)構(gòu)性狀。

關(guān)鍵詞：拱壩;極限荷載;增量彈性有限元迭代法;拉西瓦水電站

極限荷載是結(jié)構(gòu)承載能力的重要指標(biāo),可用于復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的整體安全度評(píng)價(jià)。求解結(jié)構(gòu)極限荷載的方法一般有2種[1]:增量彈塑性分析法和塑性極限分析法。

增量彈塑性分析法的本質(zhì)是追蹤加載歷史,以增量形式施加荷載,逐步逼近結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。此方法可以了解結(jié)構(gòu)的塑性破壞過程,能夠獲得加載過程中結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變、應(yīng)力等信息,但必須嚴(yán)格知道結(jié)構(gòu)的加載歷史和材料的本構(gòu)關(guān)系。

塑性極限分析法是一種簡化的方法,假定材料為理想塑性材料,采用上、下限定理直接對(duì)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)進(jìn)行分析,將求解極限荷載的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有約束的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。此方法不必考慮結(jié)構(gòu)的加載歷史,也無需材料的本構(gòu)關(guān)系,對(duì)于簡單的結(jié)構(gòu)可以非常方便地求得結(jié)構(gòu)的極限荷載。

為了避免復(fù)雜的彈塑性計(jì)算和大量的數(shù)學(xué)規(guī)劃運(yùn)算,Mackenzie 等[2]提出了一種簡單高效的基于彈性迭代的數(shù)值方法,即降低模量法(reduced modulus method), 并發(fā)展為彈性補(bǔ)償法(elastic compensation method,ECM)[3]和修正的彈性補(bǔ)償法(MECM)[4]。ECM 法僅需要若干步彈性有限元迭代便可求得極限載荷,在每一次彈性有限元分析中,通過調(diào)整單元的彈性模量引起應(yīng)力的重新分布,來模擬塑性失效行為。作為一種評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)極限承載能力的方法,ECM在壓力容器設(shè)計(jì)與安全評(píng)定中得到了廣泛應(yīng)用[5-7]。

拱壩作為典型的三維復(fù)雜結(jié)構(gòu),其極限承載能力的估算一直是難題。一方面,由于混凝土及巖石類材料的力學(xué)性能、破壞形式、后繼本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性,準(zhǔn)確地模擬結(jié)構(gòu)的破壞—失效過程顯得非常困難[8-11]。另一方面,由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,采用有限元與數(shù)學(xué)規(guī)劃相結(jié)合的極限分析方法[12-15],變量數(shù)和約束條件數(shù)十分龐大,導(dǎo)致了超高維空間中數(shù)學(xué)規(guī)劃的“維數(shù)障礙”問題,目前還難以克服。宋鵬等[16]嘗試采用彈性補(bǔ)償法分析拱壩的極限荷載下限,通過承載比均勻度與基準(zhǔn)承載比調(diào)整單元彈性模量的策略求解極限承載力系數(shù),但所設(shè)定的基準(zhǔn)荷載以及表達(dá)的名義應(yīng)力并不能合理地反映拱壩的安全或失效性能。

盡管彈性補(bǔ)償法不需要采用彈塑性本構(gòu)關(guān)系,但每次迭代均需要重新形成一次整體剛度矩陣,求解一個(gè)新的彈性問題。迭代過程類似于牛頓法,對(duì)大規(guī)模問題仍然需要大量的計(jì)算時(shí)間。

為了克服彈性補(bǔ)償法每一步計(jì)算量太大的情況,筆者擬結(jié)合增量彈塑性分析法和塑性極限分析法的優(yōu)點(diǎn),針對(duì)下限分析,構(gòu)造一種只需要初始彈性剛度矩陣,通過增量定向搜索確定極限荷載因子近似值的迭代算法。

1下限定理及其積分表達(dá)式

下限定理可敘述為:與靜力容許場對(duì)應(yīng)的外荷載不大于真實(shí)的極限荷載,即任意與靜力容許場對(duì)應(yīng)的外荷載是極限荷載的一個(gè)下限[17]。因此,所有下限的最大值就是極限荷載。

maxβ

(1)

(2)

式中:σij——結(jié)構(gòu)的應(yīng)力張量;V——結(jié)構(gòu)體;Sσ——結(jié)構(gòu)的應(yīng)力邊界;nj——應(yīng)力邊界的方向余弦;f(σij)≤0——屈服條件。

利用虛功率原理可以將平衡條件和應(yīng)力邊界條件表示為積分形式,則與式(1)(2)等價(jià)的下限定理的積分表達(dá)式為

maxβ

(3)

(4)

2下限分析的有限單元法

微分形式(式(1)(2))或積分形式(式(3)(4))所表示的下限定理實(shí)質(zhì)上是一個(gè)約束最優(yōu)化問題。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu),難以直接求解,一般可采用有限元法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散,建立數(shù)值型的約束最優(yōu)化問題。由積分形式的下限定理可導(dǎo)出下限分析的有限元格式:

maxβ

(5)

(6)

式(5)(6)是一個(gè)以β和σ為自變量的約束最優(yōu)化問題,可以采用線性或非線性規(guī)劃法進(jìn)行求解。求解時(shí),為了降低求解空間的維數(shù),常常把尋求與外荷載平衡的應(yīng)力向量σ轉(zhuǎn)變?yōu)閷で笞云胶獾膽?yīng)力向量σs[1]。

設(shè)σp、σq分別為結(jié)構(gòu)在不變荷載Rp、可變荷載Rq作用下的彈性應(yīng)力,即滿足Eσp=Rp、Eσq=Rq，則由E的線性性質(zhì)可知,彈性應(yīng)力σE=βσq+σp滿足平衡條件:

(7)

假定在荷載βRq+Rp作用下,結(jié)構(gòu)的真實(shí)應(yīng)力由彈性應(yīng)力σE=βσq+σp和自平衡應(yīng)力σs疊加而成,即σ=σE+σs,則約束最優(yōu)化問題(式(5)(6))轉(zhuǎn)換為

maxβ

(8)

(9)

式中:σqi、σpi、σsi——可變荷載彈性應(yīng)力、不變荷載彈性應(yīng)力和自平衡應(yīng)力場對(duì)應(yīng)的第i個(gè)Gauss點(diǎn)的應(yīng)力分量。

式(8)(9)是一個(gè)以β和σs為自變量的約束最優(yōu)化問題,可以采用線性或非線性規(guī)劃法進(jìn)行求解。目前已有一系列成熟的線性和非線性規(guī)劃算法[1,18-21],但是大多數(shù)求解非線性規(guī)劃問題的方法需要處理Hessian矩陣,且對(duì)某些屈服函數(shù)還存在奇異性。另外,對(duì)于復(fù)雜的三維結(jié)構(gòu)由于離散系統(tǒng)未知量和約束條件數(shù)巨大,求解超高維空間中的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題存在所謂的“維數(shù)障礙”,且解的唯一性和收斂性也有待進(jìn)一步探討。

3增量彈性迭代法

a. 對(duì)任意的β>0,有σE=βσq+σp,如果存在一個(gè)自平衡應(yīng)力向量σs, 即Eσs=0,且滿足fi(βσqi+σpi+σsi)≤0(i=1,2,…,NF),則βσq+σp+σs是一個(gè)靜力許可應(yīng)力場,β是極限荷載因子的一個(gè)下限,且β≤βmax。

增量彈性迭代法實(shí)施步驟如下:

計(jì)算中根據(jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)移迭代的收斂情況,采用自適應(yīng)的步長(增量)調(diào)整技術(shù),當(dāng)步長Δβ<εβ時(shí),表明已接近極限狀態(tài),即近似達(dá)到了βmax。由于與βmax對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場滿足全部約束條件,因此βmax是極限荷載因子的一個(gè)下限。計(jì)算時(shí)一般可取α=0.6～1.0,εβ=0.05～0.5,ε1=10-4～10-6和ε2=10-2～10-4。

4工 程 實(shí) 例

以黃河拉西瓦水電站的混凝土拱壩為例進(jìn)行計(jì)算分析。該拱壩為高250 m、底寬49 m的對(duì)數(shù)螺旋式雙曲拱壩。計(jì)算采用的有限元模型如圖1所示,其中模擬了Hf4、Hf6、Hf7、Hf8、Hf10、F166、F164、F29、F172、F211、F201、F421、L145等主要斷層和軟弱帶。

圖1　拉西瓦拱壩三維有限元模型Fig. 1　　　　Three-dimensional finite element model for 　　　Laxiwa Arch Dam

計(jì)算采用的荷載組合為地應(yīng)力+壩體自重+水壓力(上游正常蓄水位2 542m)+泥沙壓力(2 296 m)+滲流+溫升。壩體混凝土密度為2.4 t/m3、彈性模量為20 000 MPa、泊松比為0.2、熱脹系數(shù)為0.000 01 ℃-1。 其他諸如水庫運(yùn)行參數(shù)、溫度變化情況、巖體結(jié)構(gòu)分布和材料參數(shù)等參見文獻(xiàn)[22]。

計(jì)算時(shí)針對(duì)不同的材料分別采用不同形式的強(qiáng)度準(zhǔn)則。對(duì)壩體混凝土采用H-T-C四參數(shù)準(zhǔn)則[23],巖石采用Drucker-Prager準(zhǔn)則,建基面和斷層采用修正的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。相關(guān)強(qiáng)度參數(shù)見文獻(xiàn)[22]。

根據(jù)拱壩的承載特點(diǎn),以上游水壓力作為可按比例增長(超載)的可變荷載,相應(yīng)的有限元等效結(jié)點(diǎn)力為βRq,這里將水壓力超載系數(shù)作為荷載因子β;地應(yīng)力、自重、溫度、滲流、泥沙等荷載均作為固定荷載,相應(yīng)的有限元等效結(jié)點(diǎn)力為Rp。

采用增量彈性有限元分析時(shí),取α=1.0,即Δβ=1.0、εβ=0.5、ε1=10-5、ε2=10-3。計(jì)算過程中當(dāng)β=7.0時(shí)迭代不能收斂,于是開始自動(dòng)縮減增量步長Δβ,直至Δβ=0.25,即β=6.25時(shí)迭代收斂,由于此時(shí)Δβ=0.25小于εβ=0.5,加載結(jié)束,可獲得水壓力極限超載系數(shù)βmax≈6.25。此計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[24]由數(shù)值分析和模型試驗(yàn)得出的結(jié)果相當(dāng)吻合,即水荷載超載系數(shù)為6.0～8.0。

為了檢驗(yàn)臨近極限狀態(tài)時(shí)壩體的破壞情況,圖2給出了β=6.0和β=6.25時(shí)拱壩上下游面的破壞情況。

圖2　不同β時(shí)上下游面破壞區(qū)Fig. 2　Damaged areas on upstream and downstream faces of dam for different values of β

5結(jié)語

a. 有限元下限極限分析法可以歸結(jié)為一個(gè)約束最優(yōu)化問題,荷載因子β既是自變量又是目標(biāo)函數(shù),可以利用問題的特殊性,尋求有效的求解方法,以克服大規(guī)模問題“維數(shù)障礙”。

b. 提出的增量彈性有限元迭代法(IEFEIM),結(jié)合了增量彈塑性有限元和塑性極限分析兩類方法的優(yōu)點(diǎn),只需材料的強(qiáng)度準(zhǔn)則,不需要材料屈服、破壞后的本構(gòu)關(guān)系;只需增量定向搜索逼近荷載因子最大值,無需開展大范圍搜索的規(guī)劃算法。

c. 與彈性補(bǔ)償法(ECM)相比,IEFEIM只需形成一次整體剛度矩陣,無需每一步重新形成整體剛度矩陣,可以有效地減少每次迭代的計(jì)算量。

d. IEFEIM的本質(zhì)是常剛度迭代應(yīng)力轉(zhuǎn)移法,類似于增量彈塑性分析中的常剛度迭代法。轉(zhuǎn)移應(yīng)力的累加構(gòu)成一個(gè)自平衡應(yīng)力場。該方法具有簡單、高效、易于程序?qū)崿F(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。

e. 工程實(shí)例的計(jì)算表明,該方法可以有效地求得高拱壩的極限荷載,可以給出臨近極限狀態(tài)時(shí)的結(jié)構(gòu)性狀。

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Incremental elastic finite element iterative method for solution of ultimate load of arch dams

QIAN Xiangdong, NIU Rusong

(CollegeofMechanicsandMaterials,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

Abstract:In order to avoid large amounts of computation with the elastic compensation method, the incremental elastic finite element iterative method (IEFEIM) is proposed for solution of the ultimate load of complex structures, based on the advantages of elastic-plastic analysis and plastic limit analysis. With the load factor β as a variable, and by using the self-adaptive increment adjustment technique, the maximum load factor βmaxsatisfying the equilibrium and yield conditions is obtained by iteration and approximation. In contrast to the elastic-plastic analysis method, the IEFEIM only requires the strength criterion of materials and does not require the constitutive relationship of materials after yielding and failure; in contrast to the plastic limit analysis method, the IEFEIM obtains the maximum load factor by directional search and approximation, without using the programming algorithm for large-scale search; and in contrast to the elastic compensation method, the IEFEIM generates the global stiffness matrix for only one time, without any need of generating the global stiffness matrix for each step, effectively decreasing the amount of computation in iterations. Practical application in engineering projects shows that the IEFEIM can obtain the ultimate load of high dams effectively and provide the structural characteristics close to the ultimate state.

Key words:arch dam; ultimate load; incremental elastic finite element iterative method; Laxiwa Arch Dam

DOI：10.3876/j.issn.1000-1980.2016.03.003

收稿日期：2015-08-16

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(11132003)

作者簡介：錢向東(1963—),男,江蘇吳江人，教授,博士,主要從事工程力學(xué)、水工結(jié)構(gòu)工程研究。E-mail:xdqing@hhu.edu.cn

中圖分類號(hào)：TV642.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-1980(2016)03-0203-06