陸正美

[摘 要] 在2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》中，將“數(shù)列與差分”專題列入了選修的內(nèi)容當中，這不僅能夠拓寬學生的視野，提高學生的數(shù)學素質(zhì)，更是社會發(fā)展對我國數(shù)學教育提出的新要求. 本文根據(jù)筆者對數(shù)列與差分專題的理解，結合相關的理論基礎，對“數(shù)列與差分”專題教學做了全面的分析，為一線高中數(shù)學教師開展“數(shù)列與差分”專題教學提供了參考.

[關鍵詞] 數(shù)列與差分；專題教學；理解；研究

新一輪的課程改革對高中數(shù)學教學提出了“必修+選修”的教學模式，其中必修課程的教學為學生的共性發(fā)展打下了堅實的基礎，選修課程的教學為學生的個性發(fā)展提供了可能. 在2003年教育部頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》中就明確提出要將“數(shù)列與差分”的知識作為新增內(nèi)容納入選修專題教學中. 因此，我們要加強對選修課程的研究，改變以往單一的課程結構，充分發(fā)揮選修課程的重要作用，使必修課和選修課達到新的平衡，促進學生的全面發(fā)展.

數(shù)列與差分專題主要教學內(nèi)容

本專題的教學內(nèi)容及其排布形式主要是：首先由數(shù)列的概念引導出數(shù)列差分的概念，將數(shù)列差分的概念分成等差數(shù)列與其差分和等比數(shù)列與其差分. 其中等差數(shù)列與其差分部分包括一階差分方程的概念、一階齊次差分方程的通解、一階非齊次差分方程的通解、一階差分方程的應用.等比數(shù)列與其差分主要包括一階線性差分方程組的概念及其解的結構、差分方程組的求解和差分方程組的應用.

數(shù)列與差分專題教學的必要性

1. 學科發(fā)展的需要

隨著科學技術的發(fā)展，學科之間的界限逐漸被淡化，很多領域的研究都會涉及數(shù)量關系、幾何圖形等內(nèi)容，它作為一門基礎學科不僅被廣泛應用于自然科學和工程技術中，也正在向社會學、人文科學等領域滲透. 法國勒維烈就利用相關數(shù)學數(shù)據(jù)推算出了一顆未知行星的位置.隨著計算機技術的發(fā)展，數(shù)學知識被廣泛應用于計算機領域，造就了“高科技的本質(zhì)就是數(shù)學技術”的說法. 想要將人類社會生活中遇到的問題轉(zhuǎn)化為計算機能夠處理的數(shù)據(jù)，就必須要將已有的數(shù)據(jù)離散化，這就需要用到重要的數(shù)學工具——差分. 開設數(shù)列與差分專題教學能夠提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，拓展學生的知識面，從而滿足學生的個性發(fā)展需求，進而滿足數(shù)學學科發(fā)展的需求.

2. 現(xiàn)實生活的需求

不管是信息的離散化還是連續(xù)化，都與差分和差分方程緊密相連，掌握必要的差分知識，能夠幫助我們解決生活中的一些問題. 在現(xiàn)實生活中我們可以掌握一些零散的數(shù)據(jù)信息，但是我們又需要了解這些事物的整體，這時我們就可以將這些離散的函數(shù)差值擴充為所需區(qū)域的連續(xù)函數(shù)，從而把握全局.例如，差分理論對于控制一個企業(yè)的資金流向具有重要的作用.

3. 學生自身發(fā)展的需求

現(xiàn)代社會是一個知識型社會，科學技術日新月異，信息更新速度日益加快，在這樣的環(huán)境中人們不可能掌握所有的知識，更不能依靠一成不變的知識來適應社會的發(fā)展，而是需要掌握學習的方法. 高中數(shù)學通過精選相關知識進行教學，對于培養(yǎng)學生的生存技能和個性發(fā)展具有重要的作用. 具體表現(xiàn)為：能夠教會學生必要的知識，為他們的生存和發(fā)展提供基礎；能夠培養(yǎng)學生的邏輯思維，提高他們的思維水平. 如今，我們通過數(shù)列與差分專題教學的開設，能夠幫助學生利用差分知識來解決實際問題，從該專題中學習的相關知識能夠在以后的工作中發(fā)揮巨大的作用.

數(shù)列與差分專題內(nèi)容設置

1. 課程標準對數(shù)列與差分專題內(nèi)容的要求

數(shù)列與差分的選修內(nèi)容屬于選修課程系列4中的第3個專題，通過該專題的設置讓學生能夠通過相關的實例了解差分與數(shù)列的變化關系和差分作為數(shù)列“變化率”的意義，能夠初步學會建立差分方程. 具體體現(xiàn)在：（1）對于數(shù)列的差分，學生能夠理解數(shù)列一級差分和二級差分對描述數(shù)列變化的意義；（2）通過具體的實例來體驗數(shù)學法方程的作用；（3）學會分析并用差分方程來解決一些簡單的實際問題，并能夠利用連續(xù)變量離散化思想來解決簡單的實際問題.

2. 數(shù)列與差分專題內(nèi)容的教學思路

（1）利用問題引導學生參與教學活動

第一，可以采用“問題—理論—問題”的教學模式，循序漸進地講解相關知識，讓學生逐步構建差分的理論體系. 例如，差分是如何影響數(shù)列增、減、凹凸的？一階差分方程與等差數(shù)列和等比數(shù)列支架的關系是什么？第二，在本專題的模型教學部分，可以多引入一些與生活密切相關的數(shù)學問題，讓學生學會發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，構建模型，解決問題.最終通過實踐檢驗自己利用差分方程得出的結果是否正確. 第三，在本章節(jié)的學習中利用明確的問題，讓學生在學習的過程中帶著具體的問題，有目的性地進行學習，從而加深對差分等概念的理解，提高學生利用這些知識解決實際問題的能力.

（2）利用嘗試活動作為專題教學的體驗點

首先，要合理設計教學活動；數(shù)學課程標準對本專題的教學提出了明確的要求，要求在本專題的教學中不要過分強調(diào)系統(tǒng)性的知識，而是將差分的本質(zhì)展現(xiàn)給大家.對于高中學生來說，他們從未接觸過差分相關的知識，可以通過設計嘗試活動讓學生了解相關的知識. 但是問題難度的設置要符合學生的最近發(fā)展區(qū).

其次，在專題的教學設計中注重數(shù)學思想的滲透，例如，通過類比函數(shù)之差與微分方程，讓學生體會數(shù)列之差與差分方程的一一對應；通過對等差數(shù)列和等比數(shù)列的教學研究，引導學生接觸常系數(shù)一階線性差分方程通解的求法等.

最后，關注學生的學習體驗，通過引入學生感興趣的實例，激發(fā)學生的學習興趣，增強學生對差分相關知識的感性理解. 通過合作探索讓學生了解一階差分方程通解、特解等方面的關系，培養(yǎng)學生良好的學習習慣. 通過引導學生利用差分模型解決實際問題，來提高學生應用數(shù)學的能力.

（3）充分利用歸納總結提升學生的學習整體水平

差分理論是大學里所要學習的內(nèi)容，現(xiàn)在高中選修教材中出現(xiàn)，主要目的在于提升高中學生的學習能力. 差分部分內(nèi)容較為抽象，設計的知識點較多，因此，歸納總結非常有必要. 例如，在學習了一階差分方程通解、特解與相應齊次差分方程通解之間關系后，及時歸納總結線性差分方程通解、特解的關系，為以后學習微分方程和線性方程打下基礎.

數(shù)列與差分專題教學方法選用

高中數(shù)學課程標準明確提出，對于數(shù)學教學方法要改變傳統(tǒng)模式下被動學習方式，提倡通過合作探究的方式進行教學，培養(yǎng)學生的自主學習能力和創(chuàng)新意識.

1. 數(shù)學概念教學法

概念教學法是學生獲取基本知識、基本技能的重要途徑，正確把握好相關數(shù)學概念是學生學習數(shù)學的基礎. 雖然在課程標準中提到對于“數(shù)列與差分”專題的教學不做系統(tǒng)性的要求，但是一些基本的概念知識還是需要學生去理解，例如，差分方程、通解、特解等概念，在講解過程中，要區(qū)分主次，對于部分定義可以通過實例的形式來淡化講解，對于有些定義不但不能淡化，還需要花大量的精力去講解，例如差分的概念，需要學生正確并熟練地掌握這一概念.

利用概念教學法設計教學可以通過“問題情境—新概念—分析—應用—反饋”的環(huán)節(jié)來完成. 例如，以差分方程的教學為例，在創(chuàng)設情節(jié)環(huán)節(jié)，可以引入銀行存款利率的例子來構建問題情境，通過引導學生分析問題并進行大膽猜測和思考. 接下來分析問題情境并列出等式，根據(jù)等式分析差分方程的屬性，提出差分方程的概念. 接下來對提出差分概念進行多角度的剖析，進行正反論證加深學生的理解. 最后鼓勵學生自己構建差分方程，并進行點評.另外，還可以通過“已有概念—新概念—比較—反饋”的模式來完成概念教學.

2. 數(shù)學命題教學法

數(shù)學命題教學法與數(shù)學概念教學法相互聯(lián)系密不可分，在“數(shù)列與差分”專題教學中是不可或缺的教學方法. 在教學過程中將具有內(nèi)在聯(lián)系的知識集中到一塊一起處理. 例如，在學習了一階線性差分方程的通解等于其特解與相應齊次差分方程的通解之和以及一階線性差分方程組的通解等于其特解與相應齊次差分方程組的通解之和后，將這兩部分的知識內(nèi)容放到一塊進行比較、分析，從而概括出新的知識點——差分方程的通解等于其特解與相應齊次差分方程的通解之和. 這樣不僅有助學生對學過知識的總結，還有利于學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).