周　千，李文勝

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077)

基于數(shù)學(xué)模型的太陽(yáng)影子定位問(wèn)題研究

周千，李文勝

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，陜西 西安 710077)

摘要：針對(duì)太陽(yáng)影子的定位問(wèn)題，通過(guò)分析影響影子長(zhǎng)度的各個(gè)參數(shù)，建立了影子變化的數(shù)學(xué)模型。同時(shí)，根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型確定了直桿所處的地點(diǎn)以及視頻拍攝的時(shí)間。該模型在實(shí)際生活中有著極為廣泛的應(yīng)用，具有一定的實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：太陽(yáng)影子定位；數(shù)學(xué)模型；太陽(yáng)高度角

0引言

隨著數(shù)字視頻在生活中的廣泛應(yīng)用，對(duì)于所拍攝的視頻，在特殊情況下，需要確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期，太陽(yáng)影子定位技術(shù)[1-2]就是通過(guò)分析視頻中物體的太陽(yáng)影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。本問(wèn)題源自于2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題。原問(wèn)題要求建立影子變化的數(shù)學(xué)模型，并分析影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，同時(shí)，根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)以及視頻拍攝的時(shí)間。本文探討了相關(guān)的問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1影子變化模型的建立與求解

假設(shè)地球?yàn)榍蝮w，建立空間直角坐標(biāo)系如圖1所示。以地球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸正方向指向N極，xOy坐標(biāo)平面與赤道面重合，則可得球面方程：

x2+y2+z2=α2

將球面方程轉(zhuǎn)化為曲面的參數(shù)方程：

(1)

圖1　緯度和時(shí)角示意圖

(2)

太陽(yáng)赤緯δ，即太陽(yáng)直射點(diǎn)的緯度，計(jì)算公式[3]：

(3)

由于中國(guó)采取的是北京時(shí)區(qū)的區(qū)時(shí)作為所在的東八區(qū)時(shí)間，但北京時(shí)間并不是北京(東經(jīng)116.4°)地方的時(shí)間，而是東經(jīng)120°地方(約為陜西蒲城)的地方時(shí)間。故

(4)

所求地方時(shí)=已知地的地方時(shí)±地方時(shí)差

(5)

根據(jù)直桿與影長(zhǎng)的幾何關(guān)系，由三角函數(shù)公式可得；

L=Hcoth

(6)

結(jié)合公式(2)(6)化簡(jiǎn)可得：

(7)

下面分析影子長(zhǎng)度L與各參數(shù)(φ，δ)之間的變化關(guān)系：

(1)當(dāng)δ=23°26′N,t=0°時(shí)，可以得到北半球夏至日影長(zhǎng)L隨緯度φ的變化規(guī)律，如圖2所示：

圖2　影長(zhǎng)隨緯度變化圖

由圖可以看出，夏至日影長(zhǎng)從赤道到太陽(yáng)直射點(diǎn)(北回歸線)逐漸變短，從太陽(yáng)直射點(diǎn)到北極影長(zhǎng)逐漸變長(zhǎng)。

(2)當(dāng)φ=39°54′26″N,t=0°時(shí)，可以得出影子長(zhǎng)度L隨太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度(赤緯)δ的變化規(guī)律，如圖3所示：

圖3　影長(zhǎng)隨太陽(yáng)直射點(diǎn)緯度的變化圖

由圖可以看出，當(dāng)太陽(yáng)直射點(diǎn)由南回歸線(冬季)到達(dá)北回歸線(夏季)時(shí)，正午的影長(zhǎng)由長(zhǎng)變短。

2直桿所在地點(diǎn)、日期的模型建立與求解

以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xOy平面，建立直角坐標(biāo)系，但是由于實(shí)際問(wèn)題中通常并未給定x軸，y軸的正方向，在夏季正午時(shí)，影子的方向?yàn)檎狈较?，故不妨定義一個(gè)Y軸偏角[4]的概念。Y軸偏角是指直角坐標(biāo)系y軸與正南方向的夾角。如圖4所示：

圖4　Y軸偏角示意圖

為計(jì)算Y軸偏角α的大小，利用坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，發(fā)現(xiàn)二次曲線擬合的修正決定系數(shù)(Adjusted R-square)已經(jīng)達(dá)到1，所以采用二次擬合，做出影子的軌跡如圖5所示：

圖5　影子的擬合軌跡

影子軌跡擬合方程：

y=-0.02583x2+0.2206x+0.2965

為尋找最短影長(zhǎng)的軌跡坐標(biāo)點(diǎn)，用曲線到原點(diǎn)的距離公式：

對(duì)上式求一階導(dǎo)數(shù)，求出L極小值所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)：(x0,y0)=(-0.0632,0.2825)

圖6　影子向量示意圖

可由公式：

求得：α=12.6306°

引入太陽(yáng)方位角的概念[5]。太陽(yáng)方位角是指太陽(yáng)光線在地平面上的投影與當(dāng)?shù)亟?jīng)線的夾角，可近似地看作是豎立在地面上的直線在陽(yáng)光下的陰影與正南方的夾角。

因此，可得出影子軌跡的參數(shù)方程：

(8)

由(8)式可推導(dǎo)出公式：

(9)

建立地平面坐標(biāo)系，通過(guò)太陽(yáng)高度角θ和太陽(yáng)方位角A來(lái)確定太陽(yáng)位置。如圖7所示：

圖7　太陽(yáng)高度角示意圖

太陽(yáng)方位角A方程如下：

(10)

由(10)式通過(guò)三角變換可以得到：

(11)

由(2)(11)可以得到：

(12)

化簡(jiǎn)可得：

(13)

3模型的評(píng)價(jià)與推廣

文中討論了影子長(zhǎng)度關(guān)于各個(gè)參數(shù)的變化規(guī)律，并通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型[6]確定了直桿所處的地點(diǎn)以及視頻拍攝的時(shí)間。

同時(shí)，引入了Y軸偏向角的概念，更加接近于實(shí)際問(wèn)題。文中給出的確定直桿所處地點(diǎn)及拍攝時(shí)間的方法，可以推廣至有關(guān)部門確定圖片或視頻的拍攝時(shí)間或地點(diǎn)問(wèn)題。模型仍然存在一些不足之處，由于忽略了泰勒展開(kāi)式中三次以上的項(xiàng)，采用二次曲線擬合影子變化規(guī)律，與實(shí)際方程存在一定誤差。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳曉勇，鄭科科.對(duì)建筑日照計(jì)算中太陽(yáng)赤緯角公式的探討[J].浙江建筑，2011,28(9):6-8,12.

[2] 屈名,王征兵,王德麾.基于交比不變性的太陽(yáng)定位算法的研究[J].硅谷,2013(19):53-55.

[3] 李飛,白艷萍.用遺傳算法求解旅行商問(wèn)題[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,28(1):49-52.

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[責(zé)任編輯、校對(duì)：梁春燕]

Research into the Sun Shadow Location Based on Mathematical Model

ZHOUQian,LIWen-sheng

(School of Science,Xi′an Aeronautical University,Xi′an 710077,China)

Abstract：Facing the problem of sun shadow location,the mathematical model of shadow change is established by analyzing the parameters affecting the length of the shadow.At the same time,according to the data of the solar shadow vertex coordinates of a fixed straight bar on the horizontal ground,the mathematical model is established to determine the location and the time of video shot.The model has wide applications in practical life,so it has a certain practical significance.

Key words：sun shadow location;mathematical model;solar elevation angle

收稿日期：2016-04-20

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目(15JK1379)；西安航空學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(2016KY1214，2014KY1210)

作者簡(jiǎn)介：周千(1981-)，男，山西大同人，講師，從事基于偏微分方程的圖像處理研究。

中圖分類號(hào)：O242

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-9233(2016)03-0076-04