劉 順，徐驚雷，俞凱凱

基于PIV技術(shù)的壓力場重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)與研究

劉 順，徐驚雷＊，俞凱凱

（南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

介紹了有限容積法、直接積分法和Poisson方程法3種基于PIV瞬時(shí)速度場重構(gòu)壓力場的基本原理以及相應(yīng)的計(jì)算方法，選取管流突擴(kuò)流場和偏置方塊繞流流場兩個(gè)不可壓縮流場的瞬時(shí)速度場數(shù)據(jù)，采用上述3種壓力場重構(gòu)算法，分別研究了圖像噪聲、速度場精度、插值算法以及邊界條件的類型與精度對重構(gòu)壓力場的影響。最后針對管流突擴(kuò)過程第20ms的流場，給出了3種重構(gòu)算法下的壓力場云圖以及對應(yīng)的CFD模擬結(jié)果。研究表明，有限容積法和直接積分法容易受到噪聲的影響而產(chǎn)生劇烈震蕩，但是可以在較大的速度場誤差范圍內(nèi)保持較高的精度，通過采用雙線性插值可以獲得更高精度的重構(gòu)壓力場；Poisson方程法不易受到噪聲的影響而產(chǎn)生震蕩，同時(shí)在高精度PIV速度場下的優(yōu)勢較為突出，通過采用雙三次差值可以獲得更高精度的重構(gòu)壓力場；混合邊界條件僅僅測定邊界上有限個(gè)點(diǎn)的壓力值，就獲得了接近狄利克雷邊界條件下重構(gòu)壓力場的精度，遠(yuǎn)高于諾依曼邊界條件；邊界條件的誤差嚴(yán)重降低重構(gòu)壓力場的精度，其影響程度比速度場誤差還要大。

PIV；速度場；重構(gòu)壓力場；Poisson方程；黎曼迭代；邊界條件

0 引 言

粒子圖像測速技術(shù)（Particle Image Velocimetry，PIV）是一種發(fā)展迅速并得到廣泛應(yīng)用的流場測量手段。PIV屬于無接觸式測量技術(shù)，能夠即時(shí)測量整個(gè)流場的瞬時(shí)速度，并且具有很高的測量精度。隨著PIV硬件的發(fā)展（包括高速CMOS相機(jī)和高能激光器）、圖像處理技術(shù)的進(jìn)步以及高性能計(jì)算機(jī)設(shè)備的支持，粒子圖像測速技術(shù)已經(jīng)日趨完善［1］。

流場的壓力分布是流體運(yùn)動(dòng)的重要?jiǎng)恿W(xué)特征，它決定了流場中物體的受力情況，同時(shí)也是氣動(dòng)噪聲及結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要來源［2］。例如，對于湍流流動(dòng)、空腔流動(dòng)和氣動(dòng)聲學(xué)現(xiàn)象而言，脈動(dòng)壓力的測量都是至關(guān)重要的［3］。同樣地，在確定物體壁面的受力情況時(shí)，不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，壓力場的精確測量也十分關(guān)鍵。與壁面壓力的測量相比，流場內(nèi)部瞬時(shí)靜壓分布的測量難度更大。傳統(tǒng)的測壓技術(shù)受制于接觸式測量、非瞬時(shí)測量和有限點(diǎn)測量3個(gè)主要缺陷，已經(jīng)不能滿足流場動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象的研究［4］。

目前，國內(nèi)外許多學(xué)者都在探索流體靜壓場的測量方法，其中基于PIV瞬時(shí)速度場重構(gòu)壓力場的方法具有巨大優(yōu)勢［5］。Gurka等［6］最早提出了不可壓縮流體基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的基本原理，并通過收縮管流和沖擊射流2個(gè)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。Hosokawa等［7］運(yùn)用SOLA迭代方案計(jì)算了層流管流、層流粒子繞流和層流氣泡繞流等3個(gè)流場的瞬時(shí)壓力場，并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了對比，獲得了較高的精度。Fujisawa等［8］針對微小通道的三通節(jié)點(diǎn)部位運(yùn)用PIV速度場重構(gòu)了壓力場，并對其流動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了較為細(xì)致的分析。Tanahashi等［9］重點(diǎn)運(yùn)用PIV重構(gòu)壓力場的方案研究了圓柱繞流的受力情況，并考慮了周期性震蕩因素，體現(xiàn)了基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的方法對于流場受力分析的應(yīng)用。Oudheusden等［10－11］初步探索了可壓流場基于PIV重構(gòu)壓力場的基本原理，并以翼型繞流為例進(jìn)行了初步驗(yàn)證，隨后，他們又對帶有激波的可壓流場進(jìn)行了測量，并獲得了精度較好的壓力場。

盡管很多研究證實(shí)了基于PIV速度場重構(gòu)壓力場原理的正確性與可行性，但是很少有學(xué)者對壓力場重構(gòu)算法進(jìn)行系統(tǒng)性的誤差分析。Charonko等［12］曾對基于PIV瞬時(shí)速度場重構(gòu)瞬時(shí)壓力場的算法進(jìn)行了較為細(xì)致的評(píng)估，考慮了不同的重構(gòu)算法、不同的時(shí)空分辨率以及速度場的誤差對重構(gòu)壓力場精度的影響。De Kat等［13－16］運(yùn)用Time－resolved PIV獲得的速度場數(shù)據(jù)，得到了方塊繞流流場的壓力分布，同時(shí)分析了影響重構(gòu)壓力場精度的主要因素，主要包括重構(gòu)壓力場的噪聲響應(yīng)與峰值相應(yīng)隨時(shí)空分辨率的變化、歐拉法與拉格朗日法的區(qū)別以及不同的重疊因子對重構(gòu)壓力場的影響。但是，以上研究均沒有分析噪聲、速度場誤差以及分辨率對有限容積法的影響程度，也沒有考慮不同的插值算法和不同類型的邊界條件及其精度對重構(gòu)壓力場的影響。

本文針對不可壓縮流體論述了3種基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的基本原理及計(jì)算方法，包括有限容積法、直接積分法和Poisson方程法，然后通過管流突擴(kuò)流場和偏置方塊繞流流場驗(yàn)證了算法的正確性，同時(shí)分別研究了噪聲、速度場精度、插值算法以及邊界條件的類型與精度對重構(gòu)壓力場的影響，并對比了3種重構(gòu)算法的差異。最后針對管流突擴(kuò)過程第20ms的流場，給出了3種重構(gòu)算法下的壓力場云圖以及對應(yīng)的CFD模擬結(jié)果。需要說明的是，本文所開展的工作主要是理論研究，因此上述流場及結(jié)論均基于CFD數(shù)值模擬的速度場數(shù)據(jù)。

1 基本原理及計(jì)算方法

對于不可壓縮流體而言，基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的基本原理是Navier－Stokes方程。通過對不可壓Navier－Stokes方程進(jìn)行不同的變形轉(zhuǎn)換，可以得到不同的壓力場重構(gòu)算法。

1.1有限容積法

在PIV圖像處理過程中，一般將圖像分為許多矩形小區(qū)域，稱為PIV查問區(qū)［17－18］，其面積取決于相機(jī)的空間分辨率。通過對相鄰圖像的查問區(qū)進(jìn)行互相關(guān)處理分析，可以得到2個(gè)相鄰時(shí)刻粒子的平均位移，根據(jù)2幅圖像的時(shí)間間隔，就可以得到流場的速度矢量分布圖，即最終的速度場［19－20］，如圖1所示。PIV的圖像處理方式與采用內(nèi)節(jié)點(diǎn)法的矩形區(qū)域同位網(wǎng)格十分類似，兩者均是將矩形區(qū)域內(nèi)的各物理量賦值于幾何中心點(diǎn)。事實(shí)上，PIV圖像中各個(gè)查問區(qū)與同位網(wǎng)格中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的控制容積一一對應(yīng)［21］。

圖1 PIV測量原理示意圖［19－20］Fig.1 Schematic diagram of PIV measurement［19－20］

二維不可壓縮流體的Navier－Stokes方程為：

將以上方程改寫為如下形式：

圖2 有限容積法同位網(wǎng)格系統(tǒng)［21］Fig.2 Collocated grid system of finite volume method［21］

若ρ和μ已知，且u和v已由PIV測得，假定Δx＝Δy＝h，則按照圖2所示的二維同位網(wǎng)格，將上述方程的各項(xiàng)對矩形小區(qū)域進(jìn)行積分，得：

同樣地，有：

給定合適的邊界條件，根據(jù)各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間沿水平及垂直方向的壓力差值，求得各個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力值，從而得到完整的重構(gòu)壓力場。

1.2直接積分法

對于不可壓縮流體而言，若流體的密度和粘性系數(shù)已知，且測得流場的瞬時(shí)速度場和瞬時(shí)加速度場，就可以通過Navier－Stokes方程計(jì)算出流場的壓力梯度［22］，即：

其中，Du／Dt是流場的加速度，若使用歐拉法，則流場中粒子的加速度可表示為：

因此，當(dāng)PIV測得流體的瞬時(shí)速度場以后，通過計(jì)算流場中粒子的加速度項(xiàng)Du／Dt以及粘性項(xiàng)μ2u，就可得到流場的壓力梯度，即：

將上述矢量方程展開為方程組，得：

圖3 中心差分格式示意圖［23］Fig.3 Schematic diagram of central difference scheme［23］

按照圖3所示對上述方程組進(jìn)行有限差分，得：

則流場中相鄰節(jié)點(diǎn)之間的壓力差為［24］：

為了減小誤差，考慮把沿不同路徑積分得到的壓力值進(jìn)行平均，即：

圖4 直接積分法積分路徑示意圖［24］Fig.4 The integration paths of direct integral method［24］

通過給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，結(jié)合上述算法，按照圖4所示的方案進(jìn)行積分，即可得到整個(gè)流場的壓力分布。

1.3Poisson方程法

1.3.1基本原理

事實(shí)上，Poisson方程法是直接積分法的延續(xù)。通過對直接積分法中的流場壓力梯度公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的五點(diǎn)差分，可以得到用于重構(gòu)流場壓力分布的Poisson方程如下［22］：

在上述Poisson方程中，所有的非定常項(xiàng)和粘性項(xiàng)都約去了。然而，Poisson方程的這種性質(zhì)并不意味著最終的瞬時(shí)壓力場與時(shí)間無關(guān)［22］，這是因?yàn)樵诹鲌龅倪吔鐥l件中仍然包含時(shí)間項(xiàng)，例如壓力梯度的計(jì)算方程。

總之，基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的Poisson方程法大致分為3步：（1）使用PIV獲取全場的速度分布；（2）計(jì)算流場的速度梯度并帶入Poisson方程；（3）采用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件求解Poisson方程從而得到整個(gè)流場的壓力分布。

1.3.2數(shù)值計(jì)算方法

通過對Poisson方程進(jìn)行有限差分，并結(jié)合適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件進(jìn)行黎曼迭代，即可計(jì)算出整個(gè)流場的壓力分布。Poisson方程解的存在唯一性和差分方程解的收斂性在數(shù)學(xué)上已被證明。理想情況下，測定流場中一點(diǎn)的壓力值，然后結(jié)合諾依曼邊界條件求解Poisson方程，即可獲得全流場的壓力分布。

首先將二維不可壓縮流場的Poisson方程改寫為以下形式：

同樣按照圖3所示對上述方程進(jìn)行有限差分，得：

其中：假設(shè)PIV查問區(qū)采用正方形，且邊長為h，即Δx＝

Δy＝h，則上式化簡為：

黎曼迭代的本質(zhì)是利用非定常方程求定常解。Poisson方程是定常方程，為此建立一個(gè)非定常方程：

當(dāng)時(shí)間t足夠長時(shí)，p不再隨時(shí)間變化，即達(dá)到定常狀態(tài)，方程轉(zhuǎn)化成定常方程，這時(shí)的解就是二維Poisson方程的解。

構(gòu)造對上述方程的時(shí)間向前空間中心的有限差分公式，即：

由于Δx＝Δy＝h，令Δt／h2＝1／4，得：（i－1，j）和（i，j－1）點(diǎn)第n＋1時(shí)間層的函數(shù)值已經(jīng)求出，則將上式改寫為：

按照從上到下、從左到右的順序進(jìn)行求解，則在計(jì)算i，j（）節(jié)點(diǎn)第n＋1時(shí)間層的函數(shù)值時(shí)，

上式即為Poisson方程的黎曼迭代公式。

1.4測量結(jié)果的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)

評(píng)價(jià)基于PIV速度場重構(gòu)的壓力場精度一般采用誤差的均方根值（Root Mean Square，RMS）。由于無法通過實(shí)驗(yàn)的方法直接測量流體的壓力場，因此一般將基于PIV重構(gòu)的壓力場與數(shù)值模擬的結(jié)果作對比。采用測量區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上重構(gòu)壓力值與數(shù)值模擬結(jié)果的絕對偏差相對于測量區(qū)域內(nèi)最大壓降的比值作為衡量重構(gòu)壓力場精度的標(biāo)準(zhǔn)，則重構(gòu)壓力場誤差的均方根值為：

其中，N代表網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)總數(shù)，p′i為重構(gòu)壓力值，pi為數(shù)值模擬的壓力值，Δpmax代表測量區(qū)域相對于來流的最大壓降。

雖然基于PIV速度場重構(gòu)的壓力場是通過數(shù)值計(jì)算得到的，但其依據(jù)的是PIV測得的速度場，且重構(gòu)壓力場的算法本質(zhì)上是Navier－Stokes方程，該方程適用于絕大部分真實(shí)流體的流動(dòng)現(xiàn)象，因此，基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的方法從本質(zhì)上講屬于一種間接的流場測量方法，它綜合考慮了實(shí)際條件下的各種誤差，包括模型的加工誤差，儀器的系統(tǒng)誤差、讀數(shù)誤差以及大氣環(huán)境誤差等。

2 流場模型和模擬結(jié)果

2.1管流突擴(kuò)流場

流場模型如圖5所示，其中，進(jìn)口處空氣的總壓為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，整個(gè)流場的流速小于100m／s，可視為不可壓縮流體，空氣密度為1.225kg／m3，動(dòng)力粘性系數(shù)為1.7894×10－5kg／（m·s），出口處的壓力為101kPa。測量邊界所圍成的面積為PIV的測量區(qū)域，基于PIV速度場重構(gòu)的壓力場同樣針對該區(qū)域。

圖5 管流突擴(kuò)流場模型Fig.5 The model of pipe flow with a sudden expansion

圖6 是基于CFD獲取的管流突擴(kuò)過程中第20ms和第40ms的速度場圖像，這里將其視為模擬PIV測得的速度場數(shù)據(jù)。其中，CFD計(jì)算采用的網(wǎng)格邊長為0.1mm。

圖6 管流突擴(kuò)過程中的模擬PIV速度場Fig.6 Simulated PIV velocity fields during the process of pipe flow

2.2偏置方塊繞流流場

流場模型如圖7所示，其中，進(jìn)口處空氣的總壓為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，整場流速小于100m／s，可視為不可壓縮流體，空氣密度為1.225kg／m3，動(dòng)力粘性系數(shù)為1.7894×10－5kg／（m·s），出口處的壓力為98000Pa。測量邊界所圍成的面積為PIV的測量區(qū)域，基于PIV速度場重構(gòu)的壓力場同樣針對該區(qū)域。

圖7 偏置方塊繞流流場模型Fig.7 The model of the flow around a square

圖8 為偏置方塊繞流流場在第0.5s時(shí)刻的模擬PIV速度場圖像。其中，CFD計(jì)算采用的網(wǎng)格邊長為0.1mm。

圖8 偏置方塊繞流模擬PIV速度場圖像Fig.8 Simulated PIV velocity field of the flow around a square

3 重構(gòu)壓力場結(jié)果和誤差分析

本節(jié)主要運(yùn)用有限容積法、直接積分法和Poisson方程法3種壓力場重構(gòu)算法，基于上述模擬PIV速度場圖像，對管流突擴(kuò)流場和偏置方塊繞流流場進(jìn)行了壓力場重構(gòu)；針對PIV實(shí)際測量過程中產(chǎn)生的噪聲和速度場誤差對不同重構(gòu)算法下壓力場精度的影響以及3種重構(gòu)算法之間的差異進(jìn)行了較為細(xì)致的分析；對比了壓力場重構(gòu)過程中不同插值方法的特點(diǎn)和優(yōu)劣，并進(jìn)行了相應(yīng)的誤差分析；研究了不同類型的邊界條件及其精度對重構(gòu)壓力場誤差的影響。

3.1噪聲對重構(gòu)壓力場的影響

根據(jù)管流突擴(kuò)過程中第40ms得到的模擬PIV速度場，分別運(yùn)用上述3種壓力場重構(gòu)算法，得到相應(yīng)的重構(gòu)壓力場，其中，PIV查問區(qū)邊長取0.5mm。為了更加直觀地分析3種不同算法下重構(gòu)壓力場的壓力分布，以距離左側(cè)測量邊界40mm處的截面（高度為H）為研究對象，得到相應(yīng)的重構(gòu)壓力分布曲線如圖9所示。

圖9 距左側(cè)測量邊界40mm處截面的壓力分布（無噪聲）Fig.9 Pressure distribution of the cross section at 40mm from the left side of the measurement area（no noise）

由于CFD計(jì)算得到的模擬PIV速度場是理想條件下的數(shù)據(jù)，其中不包含任何噪聲與誤差。因此，針對管流突擴(kuò)流場第40ms的模擬PIV速度場，加入高斯白噪聲，強(qiáng)度為流場平均速度的1%，采用不同的重構(gòu)算法得到相應(yīng)的壓力分布。然后，使用中值濾波器進(jìn)行降噪處理，得到濾波之后的壓力分布曲線，并與未濾波的壓力分布進(jìn)行對比，結(jié)果如圖10所示。

圖10 距左側(cè)測量邊界40mm處截面的壓力分布（有噪聲或?yàn)V波）Fig.10 Pressure distribution of the cross section at 40mm from the left side of the measurement area（with noise or filter）

可以發(fā)現(xiàn)，與CFD計(jì)算得到的壓力分布相比，基于理想PIV速度場重構(gòu)得到的壓力場具有良好的精度，3種重構(gòu)算法的正確性得到驗(yàn)證。理想PIV速度場加入高斯白噪聲之后，若采用有限容積法和直接積分法進(jìn)行壓力場重構(gòu)，則壁面附近的重構(gòu)壓力產(chǎn)生了劇烈的震蕩，影響了重構(gòu)壓力場的光滑程度。若使用中值濾波器對PIV速度場進(jìn)行濾波處理，則可以顯著降低重構(gòu)壓力的震蕩。對于Poisson方程法而言，數(shù)值試驗(yàn)和理論分析都表明其求解過程相當(dāng)于對PIV速度場進(jìn)行了預(yù)先的濾波處理，在物理上表現(xiàn)為低通濾波器的特性［15］。所以，Poisson方程法得到的重構(gòu)壓力分布不易受噪聲的影響而產(chǎn)生震蕩，同時(shí)，使用中值濾波器對PIV速度場進(jìn)行濾波后，可以在一定程度上提高Poisson方程法的精度。因此，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，有必要采用濾波器對PIV速度場進(jìn)行預(yù)先的降噪處理從而提高重構(gòu)壓力場的光滑程度。

3.2速度場誤差對重構(gòu)壓力場的影響

PIV速度場的精度對最終的重構(gòu)壓力場而言至關(guān)重要。針對管流突擴(kuò)流場第40ms的模擬PIV速度場和偏置方塊繞流流場第0.5s的模擬PIV速度場，分別加入1%至10%的正態(tài)分布誤差，采用不同的壓力場重構(gòu)算法，得到相應(yīng)的重構(gòu)壓力場誤差的均方根值，其中PIV查問區(qū)邊長取0.5mm。為了降低速度場的誤差對重構(gòu)壓力場精度的影響，分別采用低通濾波器和中值濾波器對速度場進(jìn)行濾波處理，并與未進(jìn)行濾波處理的重構(gòu)壓力場比較，結(jié)果如圖11所示。

可以發(fā)現(xiàn)，重構(gòu)壓力場的精度隨著速度場誤差的增加而逐漸降低。隨著PIV速度場誤差從1%增加至10%，針對管流突擴(kuò)流場，有限容積法和直接積分法獲得的重構(gòu)壓力場誤差的均方根值分別由6.54%和6.49%上升至12.82%和7.38%；針對偏置方塊繞流流場，其誤差的均方根值分別由18.05%和17.94%上升至21.10%和18.67%。對于Poisson方程法，隨著PIV速度場誤差從1%增加至10%，管流突擴(kuò)流場和偏置方塊繞流流場的重構(gòu)壓力場誤差的均方根值分別由3.62%和2.04%上升至1258.32%和18.25%。相對于Poisson方程法而言，有限容積法和直接積分法具有較強(qiáng)的阻止速度場誤差傳播的能力，重構(gòu)壓力場誤差的變化范圍較小，而Poisson方程法重構(gòu)的壓力場誤差隨著速度場精度的降低迅速增加。但是，對于高精度PIV速度場而言，Poisson方程法重構(gòu)的壓力場精度要高于有限容積法和直接積分法。

為了減少PIV速度場誤差對重構(gòu)壓力場精度的影響，預(yù)先使用適當(dāng)?shù)臑V波器對速度場進(jìn)行濾波處理，可以在一定程度上提高重構(gòu)壓力場的精度。對于管流突擴(kuò)流場而言，采用低通濾波器可以顯著提高直接積分法和Poisson方程法的重構(gòu)精度，但是對于有限容積法的作用不明顯；采用中值濾波器可以顯著降低有限容積法在較低速度場精度下的重構(gòu)壓力場誤差，同時(shí)大幅提高了Poisson方程法的重構(gòu)壓力場精度且效果優(yōu)于低通濾波器，但是對于直接積分法的作用不明顯。對于偏置方塊繞流流場而言，采用低通濾波器可以顯著降低Poisson方程法在較低速度場精度下的重構(gòu)壓力場誤差，但是對于有限容積法的作用不明顯，對于直接積分法反而增大了重構(gòu)壓力場的誤差；采用中值濾波器可以大幅提高Poisson方程法的重構(gòu)壓力場精度且效果優(yōu)于低通濾波器，但是對于有限容積法和直接積分法而言反倒增大了重構(gòu)壓力場的誤差。

圖11 重構(gòu)壓力場誤差與速度場誤差的關(guān)系Fig.11 Relationship between the error of reconstructed pressure fields and velocity fields

總之，對于不同的流場條件，重構(gòu)算法以及相應(yīng)濾波方法的選擇都是不同的。對于精度較高的PIV速度場，通過采用中值濾波器進(jìn)行預(yù)處理，Poisson方程法的優(yōu)勢較為明顯。對于精度較差的PIV速度場，有限容積法和直接積分法可以在較大的速度場誤差范圍內(nèi)保持較高的重構(gòu)壓力場精度。

3.3空間分辨率及插值算法對重構(gòu)壓力場的影響

PIV速度場的空間分辨率，即查問區(qū)的尺寸對重構(gòu)壓力場精度的影響也很大。同時(shí)，在相同的查問區(qū)尺寸下，不同的插值算法對重構(gòu)壓力場的誤差也有很大影響。

針對偏置方塊繞流流場，給定速度場誤差為1%，隨著PIV查問區(qū)邊長從0.1mm增大至1.5mm，分別采用最近鄰插值（Nearest Interpolation）、雙線性插值（Bilinear Interpolation）和雙三次插值（Bicubic Interpolation），得到相應(yīng)重構(gòu)壓力場誤差的均方根值，如圖12所示。

可以發(fā)現(xiàn)，隨著PIV空間分辨率的下降，即查問區(qū)尺寸的增大，3種壓力場重構(gòu)算法在不同的插值方式下得到的壓力場誤差幾乎都在增加，其中Poisson方程法下重構(gòu)壓力場誤差的增加呈越來越快的趨勢。在有限容積法和直接積分法下，雙線性插值的精度最高，雙三次差值的精度次之，其中，在直接積分法中，雙線性插值下的重構(gòu)壓力場誤差在一定程度上甚至隨著查問區(qū)尺寸的增大而減小。在Poisson方程法下，雙三次插值算法略好于雙線性插值。但是，在上述3種重構(gòu)算法中，最近鄰插值的誤差始終最大，因此在實(shí)驗(yàn)中不宜采用。

3.4邊界條件的類型對重構(gòu)壓力場的影響

在基于PIV速度場重構(gòu)壓力場的過程中，邊界條件的類型對重構(gòu)壓力場精度的影響同樣十分關(guān)鍵。針對管流突擴(kuò)第40ms的流場和偏置方塊繞流第0.5s的流場，給定速度場誤差為1%，分別采用狄利克雷邊界條件、諾依曼邊界條件和混合邊界條件，使用不同的重構(gòu)算法得到相應(yīng)的重構(gòu)壓力場，其誤差大小如表1、2所示，PIV查問區(qū)邊長取0.5mm。其中，混合邊界條件介于狄利克雷邊界條件和諾依曼邊界條件之間，即運(yùn)用傳統(tǒng)測壓設(shè)備測定PIV測量區(qū)域邊界上有限個(gè)點(diǎn)的壓力值，并在邊界上的其他位置使用諾依曼邊界條件。這種邊界條件的目的是在獲得一定精度重構(gòu)壓力場的前提下，盡可能地減少壓力測點(diǎn)的數(shù)量，從而降低實(shí)驗(yàn)成本。

圖12 重構(gòu)壓力場誤差與插值算法的關(guān)系Fig.12 Relationship between the error of reconstructed pressure fields and interpolation algorithms

表1 管流突擴(kuò)流場在不同邊界條件下的重構(gòu)壓力場誤差Table 1 The error of reconstructed pressure fields with different boundary conditions of the pipe flow

表2 方塊繞流流場在不同邊界條件下的重構(gòu)壓力場誤差Table 2 The error of reconstructed pressure fields with different boundary conditions of the flow around a square

其中，對于管流突擴(kuò)流場，在有限容積法和直接積分法中，混合邊界條件僅測定了PIV測量區(qū)域下壁面均勻分布的7個(gè)點(diǎn)的壓力值；在Poisson方程法中，混合邊界條件僅測定了PIV測量區(qū)域左右邊界均勻分布的6個(gè)點(diǎn)的壓力值。對于偏置方塊繞流流場，在有限容積法和直接積分法中，混合邊界條件僅測定了PIV測量區(qū)域左側(cè)邊界上均勻分布的4個(gè)點(diǎn)的壓力值；在Poisson方程法中，混合邊界條件僅測定了PIV測量區(qū)域左右邊界均勻分布的6個(gè)點(diǎn)的壓力值。

可以發(fā)現(xiàn)，在3種不同的壓力場重構(gòu)算法中，狄利克雷邊界條件下的重構(gòu)壓力場始終保持較高的精度，諾依曼邊界條件下重構(gòu)壓力場的誤差始終最大，而混合邊界條件下重構(gòu)壓力場的誤差略大于狄利克雷邊界條件下的重構(gòu)壓力場，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于諾依曼邊界條件下的重構(gòu)壓力場?；旌线吔鐥l件僅僅測定了邊界上有限個(gè)點(diǎn)的壓力值，就獲得了接近狄利克雷邊界條件下重構(gòu)壓力場的精度，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中具有十分重要的意義。

3.5邊界條件的精度對重構(gòu)壓力場的影響

邊界條件的精度同樣顯著影響重構(gòu)壓力場的誤差。針對偏置方塊繞流流場，給定速度場誤差為1%，分別采用不同的壓力場重構(gòu)算法和不同類型的邊界條件，獲得相應(yīng)的重構(gòu)壓力場，其中PIV查問區(qū)邊長取0.5mm。隨著邊界條件的誤差從1%上升至10%，重構(gòu)壓力場誤差的變化范圍如圖13所示。

可以發(fā)現(xiàn)，隨著邊界條件誤差的增大，重構(gòu)壓力場的誤差幾乎呈線性增長，其影響程度甚至比速度場的誤差還要大。對于相同類型的邊界條件，隨著邊界條件誤差的增加，不同算法下重構(gòu)壓力場的誤差幾乎以相同的速率增長。因此，精確給定邊界條件上的壓力值對保證最終的重構(gòu)壓力場精度而言至關(guān)重要。

圖13 重構(gòu)壓力場誤差與邊界條件誤差的關(guān)系Fig.13 Relationship between the error of reconstructed pressure fields and boundary conditions

3.6重構(gòu)壓力場的模擬結(jié)果

針對管流突擴(kuò)過程第20ms的流場，加入高斯白噪聲，強(qiáng)度為流場平均速度的1%，速度場誤差為1%，采用相應(yīng)的濾波器和合適的插值算法，給定混合邊界條件，PIV查問區(qū)邊長取0.5mm，使用不同的壓力場重構(gòu)算法得到相應(yīng)的重構(gòu)壓力場，如圖14（a）～（c）所示。CFD模擬得到的壓力場如圖14（d）所示。

圖14 管流突擴(kuò)流場的壓力場云圖（20ms）Fig.14 The pressure contours of the pipe flow（20ms）

有限容積法、直接積分法和Poisson方程法重構(gòu)得到的壓力場的均方根誤差分別為10.62%、10.70%和7.30%。與有限容積法和直接積分法相比，Poisson方程法得到的重構(gòu)壓力場更加光滑，這也驗(yàn)證了Poisson方程本身所具有的低通濾波器特性。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合CFD數(shù)值模擬，通過管流突擴(kuò)流場和偏置方塊繞流流場，驗(yàn)證了3種基于PIV速度場重構(gòu)壓力場算法的正確性和可行性，同時(shí)研究了噪聲、速度場誤差、插值算法以及邊界條件的類型和精度對重構(gòu)結(jié)果的影響，得到如下結(jié)論：

（1）有限容積法和直接積分法重構(gòu)的壓力場容易受到噪聲的影響而產(chǎn)生劇烈震蕩，通過使用濾波器預(yù)處理可以降低重構(gòu)壓力的震蕩，從而提高重構(gòu)壓力場的光滑程度；Poisson方程法不易受噪聲的影響而產(chǎn)生震蕩，并且采用中值濾波器可以提高重構(gòu)壓力場的精度。

（2）若PIV速度場的精度較高，則Poisson方程法的優(yōu)勢較為突出。對于精度較差的PIV速度場，有限容積法和直接積分法可以在較大的速度場誤差范圍內(nèi)保持較高的重構(gòu)壓力場精度。

（3）3種壓力場重構(gòu)算法在不同的插值方式下得到的壓力場誤差幾乎都隨PIV空間分辨率的下降而增加。有限容積法和直接積分法采用雙線性插值，Poisson方程法采用雙三次差值可以獲得更高精度的重構(gòu)壓力場。

（4）狄利克雷邊界條件下的重構(gòu)壓力場精度最高，諾依曼邊界條件最低，混合邊界條件僅僅測定邊界上有限個(gè)點(diǎn)的壓力值，就獲得了接近狄利克雷邊界條件下重構(gòu)壓力場的精度，因此在實(shí)際工程應(yīng)用中具有十分重要的意義。隨著邊界條件精度的下降，不同算法下的重構(gòu)壓力場誤差幾乎以相同的速率增長，其影響程度比速度場還要大。因此，精確給定邊界上的壓力值對保證最終的重構(gòu)壓力場精度而言至關(guān)重要。

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Implementation and research on the reconstruction algorithms of pressure fields based on PIV

Liu Shun，Xu Jinglei＊，Yu Kaikai
（Key Laboratory of Aviation Power System in Jiangsu Province，College of Energy and Power，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

The basic principles and the corresponding algorithms of the finite volume method，the direct integral method and the Poisson equation method are introduced in detail，which are used to reconstruct the pressure fields based on PIV velocity fields.The instantaneous velocity fields of two incompressible flows，including the pipe flow with a sudden expansion and the flow around a square，are selected to study the influence of picture noise，velocity error，interpolation methods，the type and the precision of boundary conditions on reconstructed pressure fields by using different reconstruction algorithms.Finally，the transient pressure distributions of the pipe flow with a sudden expansion at 20ms are obtained by using the three algorithms respectively as well as the CFD.It shows that the finite volume method and the direct integral method are easily affected by noise to produce rude shocks，but maintain high accuracy in a larger range of error in velocity fields while they can get higher precision of reconstructed pressure fields with bilinear interpolation；the Poisson equation method isn’t easily affected by noise so it produces few shocks，and has great advantages with the accurate PIV velocity fields while it can get higher precision of reconstructed pressure fields with bicubic interpolation；by measuring only several pressure points on the boundaries，the mixed boundary condition gets the accurate reconstructed pressure fields which are close to those of the Dirichlet boundary condition and far better than those of the Neumann boundary condition；the error of boundary conditions reduces the precision of reconstructed pressure fields，which is more severe than the error of velocity fields.

PIV；velocity fields；reconstructed pressure fields；Poisson equation；Riemann iteration；boundary conditions

V211.71

：A

（編輯：張巧蕓）

1672－9897（2016）04－0056－10

10.11729／syltlx20150119

2015－09－14；

2015－12－17

＊通信作者E－mail：xujl＠nuaa.edu.cn

Liu S，Xu J L，Yu K K.Implementation and research on the reconstruction algorithms of pressure fields based on PIV.Journal of Experiments in Fluid Mechanics，2016，30（4）：56－65.劉 順，徐驚雷，俞凱凱.基于PIV技術(shù)的壓力場重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)與研究.實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)，2016，30（4）：56－65.

劉順（1994－），男，山東菏澤人，博士研究生。研究方向：發(fā)動(dòng)機(jī)性能與內(nèi)流氣體動(dòng)力學(xué)。通信地址：江蘇省南京市秦淮區(qū)御道街29號(hào)南京航空航天大學(xué)明故宮校區(qū)A8樓404室（210016）。E－mail：liushun2011＠126.com