胡振震，李震乾，石義雷，陳愛(ài)國(guó)

基于軸線馬赫數(shù)分布的噴管擴(kuò)張段無(wú)粘型面設(shè)計(jì)

胡振震＊，李震乾，石義雷，陳愛(ài)國(guó)

（中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速空氣動(dòng)力研究所，四川綿陽(yáng) 621000）

針對(duì)高超聲速風(fēng)洞軸對(duì)稱噴管設(shè)計(jì)問(wèn)題，開(kāi)展了噴管擴(kuò)張段無(wú)粘型面設(shè)計(jì)研究。介紹了基于預(yù)設(shè)軸線馬赫數(shù)分布的直接設(shè)計(jì)方法，改進(jìn)了基于面積比的軸線馬赫數(shù)分布預(yù)設(shè)方法，提出了一種方便多點(diǎn)控制的軸線特征點(diǎn)分布方法。對(duì)設(shè)計(jì)噴管流場(chǎng)進(jìn)行特征線網(wǎng)三角化，與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較，并分析了影響噴管無(wú)粘型面的設(shè)計(jì)因素。表明：改進(jìn)的面積比方法可以保證軸線馬赫數(shù)分布預(yù)設(shè)的合理性；軸線馬赫數(shù)分布、軸線上特征點(diǎn)分布和邊界特征點(diǎn)數(shù)明顯影響噴管無(wú)粘型面。

高超聲速風(fēng)洞；擴(kuò)張段無(wú)粘型面；直接設(shè)計(jì)；軸線馬赫數(shù)分布

0 引 言

高超聲速風(fēng)洞噴管設(shè)計(jì)目前普遍采用無(wú)粘型面加邊界層修正的直接設(shè)計(jì)方法，相比于優(yōu)化設(shè)計(jì)［1－3］，該方法原理簡(jiǎn)單計(jì)算便捷，在廣泛應(yīng)用中取得了成功。然而在實(shí)踐中有時(shí)也發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，即風(fēng)洞運(yùn)行的實(shí)際流場(chǎng)與噴管設(shè)計(jì)流場(chǎng)存在差異。該問(wèn)題的產(chǎn)生因素有很多，包括來(lái)流非均勻非穩(wěn)態(tài)、非平衡膨脹、邊界層轉(zhuǎn)捩、熱化學(xué)非平衡、氣體組分冷凝、加工和組裝精度、噴管內(nèi)表面侵蝕和型面的力熱變型等，但噴管的無(wú)粘型面設(shè)計(jì)則是其中最重要的一個(gè)方面，因而分析其差異應(yīng)首先確認(rèn)噴管無(wú)粘型面設(shè)計(jì)方面的問(wèn)題。

無(wú)粘型面直接設(shè)計(jì)方法根據(jù)原理可分為3類：基于預(yù)設(shè)初始膨脹段型面的方法［4］；基于泉流（或源流）假設(shè)的方法（如Foelsch［5］方法、Cresci［6］方法和Sivells［7－8］方法）和基于超聲速區(qū)預(yù)設(shè)軸線馬赫數(shù)分布的方法（如ASN［9］方法）。研究表明，第2類基于泉流假設(shè)的方法（特別是Sivells方法）在選擇合適的設(shè)計(jì)參數(shù)情況下可以得到良好的無(wú)粘噴管設(shè)計(jì)，但該類方法設(shè)計(jì)的噴管長(zhǎng)度較長(zhǎng)，調(diào)整不易。第1類和第3類方法均需計(jì)算完整的超聲速區(qū)特征線網(wǎng)，區(qū)別在于第1類方法依據(jù)預(yù)設(shè)的初始膨脹段型面確定軸線上核心區(qū)的馬赫數(shù)分布，而第3類方法則根據(jù)預(yù)設(shè)的軸線馬赫數(shù)分布反求噴管型面。但在喉道附近利用特征線法從預(yù)設(shè)的噴管型面計(jì)算流場(chǎng)，相比利用軸線上給定的速度分布反算能產(chǎn)生該預(yù)設(shè)速度分布的型面要困難。

超聲速區(qū)軸線馬赫數(shù)分布的預(yù)設(shè)方法，最簡(jiǎn)單的是采用多項(xiàng)式分布描述，比如采用三次多項(xiàng)式［10］或五次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式系數(shù)根據(jù)超聲速區(qū)起點(diǎn)和終點(diǎn)的馬赫數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)條件確定，并可以通過(guò)附加項(xiàng)調(diào)整三次多項(xiàng)式，使得內(nèi)部分布可調(diào)。但隨著馬赫數(shù)升高或者噴管長(zhǎng)度增加，采用三次或五次多項(xiàng)式分布會(huì)使得軸線存在大于出口馬赫數(shù)的區(qū)域，導(dǎo)致軸線馬赫數(shù)分布出現(xiàn)問(wèn)題。易仕和等人考慮采用Bezier曲線［9，11］和B樣條曲線［9，12］的軸線上速度分布方法直接避免該問(wèn)題，而Tajfar等人［10］考慮利用泉流面積比和馬赫數(shù)的關(guān)系，首先由三次或五次多項(xiàng)式描述面積比分布，然后根據(jù)面積比反算馬赫數(shù)分布。采用了面積比的多項(xiàng)式分布后，軸線馬赫數(shù)不會(huì)超過(guò)設(shè)計(jì)出口馬赫數(shù)，但仍可能產(chǎn)生分布不合理的現(xiàn)象，特別是在起點(diǎn)附近可能馬赫數(shù)增長(zhǎng)過(guò)快，進(jìn)而導(dǎo)致計(jì)算特征線網(wǎng)時(shí)特征線相交。為此本文在Tajfar方法的基礎(chǔ)上做出改進(jìn)，解決局部速度分布不合理的問(wèn)題。

噴管直接設(shè)計(jì)方法應(yīng)用的基本技術(shù)是特征線網(wǎng)計(jì)算［4，13－14］和型面點(diǎn)確定技術(shù)。型面點(diǎn)的確定可采用流函數(shù)法和流量積分法，本文采用Moger和Ramsay［14］提出的拋物擬合的流量積分法。特征線網(wǎng)計(jì)算過(guò)程中分從前往后和從后往前2種推進(jìn)方法，在已知邊界情況下可利用左行特征線一條一條的往上游推進(jìn)或利用右行特征線往下游推進(jìn)（見(jiàn)圖1），本文采用向下游推進(jìn)的方法。為研究無(wú)粘型面設(shè)計(jì)和特征線網(wǎng)質(zhì)量的影響因素，本文將對(duì)設(shè)計(jì)噴管的特征線網(wǎng)進(jìn)行Delaunay三角化［15］，并與數(shù)值模擬流場(chǎng)結(jié)果進(jìn)行比較分析。

圖1 特征線推進(jìn)方法（a）往上游推進(jìn)（b）往下游推進(jìn)Fig.1 Characteristic marching method（a）march upstream（b）march downstream

1 基于預(yù)設(shè)軸線馬赫數(shù)分布的直接設(shè)計(jì)方法

1.1軸線馬赫數(shù)分布及面積比方法的改進(jìn)

軸線上的馬赫數(shù)分布預(yù)設(shè)可分為分段預(yù)設(shè)和統(tǒng)一預(yù)設(shè)2種方法。Sivells方法在本文作者看來(lái)，可以理解為是一種分段預(yù)設(shè)方法。該方法將軸線分成3個(gè)部分，從聲速點(diǎn)I到點(diǎn)E是泉流開(kāi)始的區(qū)域，速度分布用四次多項(xiàng)式描述，從E點(diǎn)到D點(diǎn)為泉流區(qū)，從D點(diǎn)到F點(diǎn)是均勻流開(kāi)始的區(qū)域，馬赫數(shù)分布用一個(gè)五次多項(xiàng)式描述（見(jiàn)圖2）。軸線分成3段，但結(jié)合起來(lái)就是一種軸線馬赫數(shù)分布，若給出喉部的一條初始線AJ（通過(guò)喉部跨聲速近似解［16－17］確定一條初值線并由MOC求得），再結(jié)合出口馬赫線FC，即可通過(guò)MOC計(jì)算噴管擴(kuò)張段完整特征線網(wǎng)（見(jiàn)圖3）進(jìn)而確定噴管型面，而無(wú)需分段計(jì)算特征線網(wǎng)（見(jiàn)圖2）。

圖2 Sivells方法確定噴管型面Fig.2 Sivells method to determine the nozzle contour

圖3 基于Sivells方法預(yù)設(shè)軸線馬赫數(shù)分布的特征線網(wǎng)Fig.3 Characteristic network based on the Sivells’axial Mach number distribution

軸線上馬赫數(shù)分布的統(tǒng)一預(yù)設(shè)可采用多種方法，比如三次多項(xiàng)式、五次多項(xiàng)式、Bezier曲線、B樣條曲線，以及面積比的三次多項(xiàng)式等。預(yù)設(shè)馬赫數(shù)需滿足條件：J點(diǎn)：Ma（xJ）＝MaJ，Ma′（xJ）＝Ma′J，Ma″（xJ）＝Ma″J，F(xiàn)點(diǎn)：Ma（xF）＝MaF，Ma′（xF）＝0，Ma″（xF）＝0。J點(diǎn)信息在已知喉道曲率半徑和轉(zhuǎn)折角情況下通過(guò)跨聲速近似解或CFD解獲得，一階和二階導(dǎo)數(shù)通過(guò)差分方法計(jì)算。而F點(diǎn)的位置為：

其中cF≥1為調(diào)整噴管長(zhǎng)度的系數(shù)。

三次多項(xiàng)式分布為：

改進(jìn)的三次多項(xiàng)式分布可通過(guò)a4系數(shù)進(jìn)行內(nèi)部微調(diào)：

五次多項(xiàng)式分布為：

Bezier曲線和B樣條曲線分布公式相對(duì)復(fù)雜，2種曲線的定義、構(gòu)造和插值可參考文獻(xiàn)［18－19］。這里給出p次B樣條曲線的應(yīng)用。對(duì)于軸線上馬赫數(shù)分布問(wèn)題，B樣條曲線是u（u∈［0，1］）的函數(shù)，由n＋1個(gè)p階基函數(shù)構(gòu)成，基函數(shù)需要m＝n＋p＋1個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)造，節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)矢量ui（i＝0，…，m）采用平均分布，控制點(diǎn)Pi（i＝0，…，n）為（x，Ma）坐標(biāo)，B樣條曲線描述的馬赫數(shù)分布由參數(shù)u的方程表示：

控制點(diǎn)P0為：（x0，Ma0）＝（xJ，MaJ）

控制點(diǎn)P1由起點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)確定：

其中dL是可調(diào)參數(shù)，常取控制點(diǎn)構(gòu)成的總弦長(zhǎng)，當(dāng)?shù)玫降目刂泣c(diǎn)不合理時(shí)，可適當(dāng)調(diào)整其大小。

控制點(diǎn)P2由起點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)確定：

控制點(diǎn)Pn為：（xn，Man）＝（xF，Maexit）

控制點(diǎn)Pn－1由終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)確定：

控制點(diǎn)Pn－2由終點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)確定：

上述6個(gè)控制點(diǎn)已經(jīng)足夠構(gòu)成B樣條曲線的馬赫數(shù)分布，若仍然需要進(jìn)行內(nèi)部微調(diào)，可以在控制點(diǎn)2～（n－2）之間增加控制點(diǎn)。

為解決軸線上局部區(qū)域馬赫數(shù)可能大于出口馬赫數(shù)的問(wèn)題，Tajfar等人考慮利用泉流區(qū)面積比和馬赫數(shù)的關(guān)系，首先由三次多項(xiàng)式描述面積比分布，然后根據(jù)面積比反算馬赫數(shù)分布。泉流面積比Ar與馬赫數(shù)的關(guān)系為：

而面積比由三次多項(xiàng)式表示

其中J點(diǎn)面積及其導(dǎo)數(shù)信息可以由（10）式及其導(dǎo)數(shù)與J點(diǎn)馬赫數(shù)及其導(dǎo)數(shù)計(jì)算得到：

圖4～5給出了噴管出口馬赫數(shù)為12，cF取3.0和5.57時(shí)，不同預(yù)設(shè)方法的馬赫數(shù)分布比較。噴管喉道曲率半徑比等設(shè)計(jì)參數(shù)與Sivells方法選取的參數(shù)一致。cF＝5.57是噴管長(zhǎng)度與Sivells噴管長(zhǎng)度一致時(shí)的取值。

圖4 不同預(yù)設(shè)方法的軸線馬赫數(shù)分布（cF＝3.0時(shí)）Fig.4 Axial Mach number of different presetting methods with cF＝3.0

隨著cF取值增大，噴管長(zhǎng)度增加，三次或五次多項(xiàng)式描述的馬赫數(shù)會(huì)明顯超過(guò)出口馬赫數(shù)。圖6表明采用三次多項(xiàng)式分布，cF＝4.0，軸線上特征點(diǎn)采用雙曲加密（兩端系數(shù)分別為0.99和0.50）時(shí)特征線出現(xiàn)相交。實(shí)踐表明：當(dāng)軸線上的馬赫數(shù)略超過(guò)出口馬赫數(shù)時(shí)，特征線并不一定相交，但隨著超出程度增大，特征線出現(xiàn)相交。

圖5 不同預(yù)設(shè)方法的軸線馬赫數(shù)分布（cF＝5.57時(shí)）Fig.5 Axial Mach number of different presetting methods with cF＝5.57

圖6 軸線上馬赫數(shù)大于出口馬赫數(shù)時(shí)的特征線相交Fig.6 Characteristic intersection when Mach number on axis larger then Maexit

事實(shí)上，采用面積比的三次分布方法后，軸線馬赫數(shù)不會(huì)超過(guò)出口馬赫數(shù)，但仍可能存在不合理的地方，特別是當(dāng)cF較小時(shí)，采用面積比的三次多項(xiàng)式分布，其起點(diǎn)J附近馬赫數(shù)增長(zhǎng)明顯快過(guò)B樣條曲線和Sivells方法的結(jié)果（見(jiàn)圖4），而因?yàn)轳R赫數(shù)增長(zhǎng)過(guò)快，很可能導(dǎo)致計(jì)算特征線網(wǎng)時(shí)特征線相交。圖7給出了面積比三次多項(xiàng)式分布，cF＝2.9，軸線點(diǎn)加密同圖6時(shí)，起點(diǎn)J附近特征線網(wǎng)相交的情況。

為了避免在起點(diǎn)附近出現(xiàn)速度增長(zhǎng)過(guò)快問(wèn)題，本文在（10）式的基礎(chǔ)上做出改進(jìn)，增加一個(gè)指數(shù)系數(shù)idx使起點(diǎn)附近馬赫數(shù)的增長(zhǎng)速度可調(diào)，如式（13）所示：

盡管式中增加了一個(gè)系數(shù)但利用相關(guān)函數(shù)控制馬赫數(shù)分布的本質(zhì)沒(méi)有變。當(dāng)idx取1.0時(shí)，就是原面積比的方法，而當(dāng)需要減小馬赫數(shù)增長(zhǎng)速度時(shí)，僅需調(diào)整系數(shù)idx取值小于1.0，反之亦然。圖4表明idx系數(shù)為0.8的面積比預(yù)設(shè)方法在起點(diǎn)附近馬赫數(shù)增長(zhǎng)速度明顯低于idx取1.0的情況?？偟膩?lái)說(shuō)，面積比方法的改進(jìn)，既滿足了超聲速區(qū)起點(diǎn)和終點(diǎn)馬赫數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，又保證了軸線上的馬赫數(shù)不超過(guò)出口馬赫數(shù)，避免過(guò)膨脹導(dǎo)致的冷凝問(wèn)題，也保證了超聲速區(qū)起點(diǎn)和終點(diǎn)附近的馬赫數(shù)增長(zhǎng)的合理性。表1總結(jié)了幾種軸線馬赫數(shù)分布方法的特點(diǎn)，表明改進(jìn)的面積比方法可以適用于任意長(zhǎng)度噴管設(shè)計(jì)，且比采用B樣條曲線計(jì)算量小，也更易于理解。

圖7 馬赫數(shù)增長(zhǎng)過(guò)快導(dǎo)致的特征線相交（J點(diǎn)附近）Fig.7 Characteristic intersection caused by too fast Mach number increase（near J point）

表1 不同馬赫數(shù)分布方法比較Table 1 Comparison of different Mach number distribution methods

1.2軸線特征點(diǎn)分布

軸線上特征點(diǎn)的分布可采用指數(shù)函數(shù)加密［19］：

其中p＝1時(shí)為平均分布，p＞1時(shí)為指數(shù)加密，Npt為特征點(diǎn)總數(shù)，x1，x2為起點(diǎn)終點(diǎn)坐標(biāo)。也可以采用雙曲函數(shù)加密：

其中b1，b2為加密參數(shù)，b1控制首端，b2控制未端，取值范圍［0～1），取值越接近1，加密程度越高。

上述2種加密方式，點(diǎn)的分布調(diào)整相對(duì)單調(diào)。文本提出一種多點(diǎn)控制的方法以實(shí)現(xiàn)更大的自由度。首先任意給定需要加密的位置（即控制點(diǎn)位置），并根據(jù)控制參數(shù)（統(tǒng)一給單側(cè)雙曲加密參數(shù)，如（15）式中的b1并取b2＝0）統(tǒng)一確定各位置的網(wǎng)格間距（該間距為第一個(gè)網(wǎng)格的間距），每個(gè)控制段（2個(gè)相鄰控制點(diǎn)之間）的各網(wǎng)格間距采用線性分布，則各控制段的所有網(wǎng)格確定，進(jìn)而確定各段的網(wǎng)格數(shù)。各控制段的網(wǎng)格數(shù)在總網(wǎng)格數(shù)的比例乘以實(shí)際的網(wǎng)格數(shù)就是最終各段的實(shí)際網(wǎng)格數(shù)。然后根據(jù)網(wǎng)格間距線性分布規(guī)律，自動(dòng)調(diào)整各段兩端的網(wǎng)格間距從而確定所有布點(diǎn)。

考慮在［0，1）線段上布點(diǎn)，特征點(diǎn)數(shù)為151，實(shí)際網(wǎng)格數(shù)為150，考慮控制點(diǎn)（0，0.05，0.15，0.6，1.0），控制參數(shù)（0.9999，0.99，0.95，0.90，0.1），計(jì)算過(guò)程如下：

（1）由式（15）確定（式中x1＝0，x2＝1，b2＝0）各控制點(diǎn)網(wǎng)格間距為：（0.6779×10－5，0.3585×10－3，0.1259×10－2，0.2076×10－2，0.6578×10－2）

（2）各控制段的末端網(wǎng)格間距與首端比值rdi為：（52.8787，3.51314，1.64866，3.16826）

（3）由（16）式計(jì)算各段應(yīng)布置網(wǎng)格數(shù)為：（273，123，269，92）

其中i為第i個(gè)控制點(diǎn)，Ni為控制點(diǎn)i～i＋1段網(wǎng)格數(shù)，di為i點(diǎn)的網(wǎng)格間距，rdi＝di＋1／di。

（4）確定各段實(shí)際布置點(diǎn)數(shù)為：（54，24，53，19）

（5）由（16）式確定各段實(shí)際的首端網(wǎng)格間距為：（0.3437×10－4，0.1846×10－2，0.6411×10－2，0.1010 ×10－1），末端網(wǎng)格間距和首端網(wǎng)格間距的比值不變，進(jìn)而根據(jù)網(wǎng)格間距線性分布確定所有的點(diǎn)的位置。圖8給出了上述3種不同布點(diǎn)方法的結(jié)果。

2 馬赫12噴管的數(shù)值模擬分析

噴管無(wú)粘型面的設(shè)計(jì)實(shí)踐表明，隨著噴管設(shè)計(jì)出口馬赫數(shù)的提高，噴管長(zhǎng)度增加，誤差會(huì)更為顯著，因此本文考慮設(shè)計(jì)馬赫12噴管，對(duì)無(wú)粘型面設(shè)計(jì)及其影響因素進(jìn)行分析。

2.1軸線馬赫數(shù)分布的影響

噴管設(shè)計(jì)考慮特征點(diǎn)數(shù)：取AJ段81，JF段181，F(xiàn)C段251，轉(zhuǎn)折角12°，喉道曲率半徑比12。首先考慮與Sivells噴管長(zhǎng)度一致（cF取5.57），比較4種馬赫數(shù)分布：（Case1）Sivells分布，d Ma為D點(diǎn)馬赫數(shù)與D點(diǎn)最小可取值之差和F點(diǎn)馬赫數(shù)與該最小值之差的比值，取0.8；（Case2）面積比的三次多項(xiàng)式分布；（Case3）面積比的五次多項(xiàng)式分布；（Case4）B樣條分布，dL取0.2·（xF－xJ）。

圖8 不同方法的布點(diǎn)比較Fig.8 Point distribution of different methods

然后考慮稍短的噴管（cF取3.0），比較4種馬赫數(shù)分布的結(jié)果：（Case5）馬赫數(shù)的三次多項(xiàng)式；（Case6）面積比的三次多項(xiàng)式，idx＝0.8；（Case7）面積比的五次多項(xiàng)式；（Case8）B樣條分布，dL取0.3 ·（xF－xJ）。

圖9～12給出了Case1～4的噴管設(shè)計(jì)流場(chǎng)馬赫數(shù)等值線（特征線網(wǎng)三角化后的結(jié)果，紅虛線）與數(shù)值模擬結(jié)果（黑實(shí)線）的比較，4種不同軸線馬赫數(shù)分布的設(shè)計(jì)流場(chǎng)與數(shù)值模擬結(jié)果基本一致。實(shí)際上特征線方法計(jì)算的出口參數(shù)就是均勻的設(shè)計(jì)出口馬赫數(shù)，只要數(shù)值過(guò)程足夠精確，理論上特征線方法得到的型面應(yīng)該就是能夠產(chǎn)生均勻出口馬赫數(shù)的型面。但是實(shí)際計(jì)算中，布點(diǎn)數(shù)、網(wǎng)格和數(shù)值過(guò)程等都帶來(lái)誤差，所以實(shí)際得到的噴管出口必然有一定的偏差，而這個(gè)偏差需要用數(shù)值模擬方法獲得。圖9～12的結(jié)果表明特征線方法實(shí)際計(jì)算中的偏差并不明顯，至少在云圖上無(wú)法明確得出，但通過(guò)分析數(shù)值模擬的出口馬赫數(shù)可以比較在相同設(shè)計(jì)參數(shù)和計(jì)算條件下，不同分布所帶來(lái)的差異。圖13給出了Case1～4噴管的出口馬赫數(shù)比較，其中面積比五次多項(xiàng)式分布和Sivells分布的最大偏差接近0.1%，B樣條曲線分布的結(jié)果靠近軸線局部區(qū)域略大于0.1%，而面積比三次多項(xiàng)式分布的結(jié)果最大偏差為0.35%。圖14給出了Case5～8噴管的結(jié)果，其中因?yàn)槊娣e比的三次多項(xiàng)式分布導(dǎo)致起點(diǎn)J附近的馬赫數(shù)增長(zhǎng)過(guò)快，所以取idx＝0.8。除靠近壁面的區(qū)域外4種分布出口馬赫數(shù)偏差均小于0.1%，壁面附近偏差最大的是面積比的五次分布，約為0.3%，最小的是B樣條分布，但4種分布之間的差異小于0.03%。上述結(jié)果說(shuō)明，在噴管長(zhǎng)度、特征點(diǎn)分布和數(shù)量等設(shè)計(jì)參數(shù)一致時(shí)，采用不同的軸線馬赫數(shù)分布函數(shù)對(duì)噴管出口馬赫數(shù)存在影響，但只要采用合適的分布使得軸線馬赫數(shù)正確合理，可以在除壁面附近外的區(qū)域得到出口馬赫數(shù)偏差小于0.1%的結(jié)果。

圖9 基于Sivells軸線馬赫數(shù)分布預(yù)設(shè)的噴管馬赫數(shù)等值線Fig.9 Mach number contour of the nozzle designed with the Sivells’axial Mach number distribution

圖10 基于面積比三次多項(xiàng)式分布預(yù)設(shè)的噴管馬赫數(shù)等值線Fig.10 Mach number contour of the nozzle designed with the cubic distribution of the ratio of area

圖11 基于面積比五次多項(xiàng)式分布預(yù)設(shè)的噴管馬赫數(shù)等值線Fig.11 Mach number contour of the nozzle designed with the quintic distribution of the ratio of area

圖12 基于B樣條曲線馬赫數(shù)預(yù)設(shè)的噴管馬赫數(shù)等值線Fig.12 Mach number contour of the nozzle designed with the B－spline Mach number distribution

2.2軸線特征點(diǎn)的位置分布及其數(shù)量的影響

軸線上特征點(diǎn)的位置分布會(huì)明顯影響特征線網(wǎng)，比如影響網(wǎng)格的過(guò)渡光滑性和正交性。圖15給出了馬赫12噴管，軸線上馬赫數(shù)三次多項(xiàng)式分布，軸線上點(diǎn)數(shù)101，出口馬赫數(shù)線上點(diǎn)數(shù)101，軸線上的點(diǎn)采用雙曲加密，兩端加密參數(shù)分別為（a）0.999，0.5；（b）0.99，0.5；（c）0.9，0.5的特征線網(wǎng)，其中圖5（a）和5（b）圖在特征線網(wǎng)起始區(qū)域（J點(diǎn)附近）過(guò)渡明顯好于

圖13 不同軸線馬赫數(shù)預(yù)設(shè)方法的噴管出口馬赫數(shù)Fig.13 Mach number at exit of the nozzle designed with different axial Mach number presetting methods

圖14 不同軸線馬赫數(shù)預(yù)設(shè)方法的噴管出口馬赫數(shù)cF＝3.0Fig.14 Mach number at exit of the nozzle designed with different axial Mach number presetting methods with cF＝3.0

圖15 軸線上不同布點(diǎn)的特征線網(wǎng)和噴管型面比較Fig.15 Comparision of characteristic networks and contours of different point distributions

圖5 （c）。圖5（d）圖中噴管無(wú)粘型面的差異反映了圖5（a）、5（b）和5（c）不同特征線網(wǎng)所導(dǎo)致的差異，表明特征線網(wǎng)是否過(guò)渡光滑是其質(zhì)量的重要影響因素。

特征點(diǎn)的數(shù)量既影響特征線網(wǎng)疏密也影響其是否光滑過(guò)渡。圖16給出了采用4種不同布點(diǎn)數(shù)時(shí)在F點(diǎn)附近的特征線網(wǎng)，軸線上兩端加密參數(shù)為0.999和0.5，其中軸線和出口馬赫線分別為（a）101，101；（b）101，166；（c）151，251；（d）201，333。在圖16（a）中F點(diǎn)附近軸線和出口馬赫線上的右行特征線過(guò)渡不夠光滑，而圖16（b）、16（c）和16（d）相對(duì)較好。隨著點(diǎn)數(shù)的增加特征線網(wǎng)也隨之變密。圖17給出了噴管某位置的型面比較，可以看到采用不同點(diǎn)數(shù)時(shí)的細(xì)微差異。

圖16 不同點(diǎn)數(shù)的特征線網(wǎng)（F點(diǎn)附近）Fig.16 Comparision of characteristic networks of different point numbers（near Fpoint）

圖17 不同點(diǎn)數(shù)的型面比較Fig.17 Comparision of contour of different point numbers

采用數(shù)值模擬方法考察軸線和出口馬赫線上點(diǎn)的數(shù)量和分布對(duì)于噴管流場(chǎng)的影響，考慮馬赫12噴管，三次多項(xiàng)式軸線馬赫數(shù)分布cF＝3.0，初始線特征點(diǎn)數(shù)81，喉道曲率半徑比12，轉(zhuǎn)折角12°，泉流半徑為1.0。計(jì)算如下?tīng)顟B(tài)：（Case1）軸線101雙曲函數(shù)分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線166，平均分布；（Case2）軸線151雙曲函數(shù)分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線251，平均分布；（Case3）軸線201雙曲函數(shù)分布b1＝0.999，b2＝0.5，出口馬赫線333，平均分布；（Case4）軸線151雙曲函數(shù)分布b1＝0.99，b2＝0.5，出口馬赫線251，平均分布；（Case5）軸線151多點(diǎn)控制分布（見(jiàn)1.2節(jié)），出口馬赫線251，平均分布。

圖18的噴管出口馬赫數(shù)表明，5個(gè)狀態(tài)的結(jié)果在除靠近上壁面的區(qū)域外，偏差均在0.1%以內(nèi)，不同狀態(tài)在不同的y位置偏差各異。從圖19噴管上壁面的馬赫數(shù)看，狀態(tài)3最接近出口馬赫數(shù)12，偏差約0.19%，而狀態(tài)1的結(jié)果偏離最大達(dá)0.45%，說(shuō)明當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)偏少時(shí)，計(jì)算結(jié)果偏離明顯增大，隨著網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)增加，特征線網(wǎng)的精度明顯增加。而狀態(tài)2、4和5在相同點(diǎn)數(shù)情況下，軸線上特征點(diǎn)的不同分布會(huì)

圖18 噴管出口馬赫數(shù)Fig.18 Mach number at exit of the nozzle

圖19 噴管上壁面馬赫數(shù)Fig.19 Mach number at wall of the nozzle

產(chǎn)生一定的差異，其中狀態(tài)4的結(jié)果最接近出口馬赫數(shù)，但3種結(jié)果偏差小于0.02%，結(jié)合圖15分析，首端加密參數(shù)b1大于0.99，使得特征線網(wǎng)過(guò)渡光滑，是特征線網(wǎng)質(zhì)量的重要保證。

3 結(jié) 論

對(duì)于高超聲速風(fēng)洞噴管的無(wú)粘型面設(shè)計(jì)，基于預(yù)設(shè)軸線馬赫數(shù)分布的直接設(shè)計(jì)方法是目前最普遍采用的方法。通過(guò)本文的研究得出如下結(jié)論：

（1）對(duì)基于面積比的軸線馬赫數(shù)分布設(shè)定的方法進(jìn)行改進(jìn)，使得在原方法保證軸線馬赫數(shù)不超過(guò)出口馬赫數(shù)的同時(shí)，提高了軸線上起點(diǎn)附近馬赫數(shù)增長(zhǎng)的合理性。采用多點(diǎn)控制的軸線特征點(diǎn)位置分布方法，提供了軸線特征點(diǎn)分布更大的自由度和可控度。

（2）軸線上馬赫數(shù)分布函數(shù)、特征點(diǎn)的分布和邊界上特征點(diǎn)的數(shù)量影響特征線網(wǎng)的質(zhì)量，進(jìn)而影響噴管無(wú)粘型面。當(dāng)采用某種分布函數(shù)保證軸線上馬赫數(shù)分布合理，則可以保證出口馬赫數(shù)除壁面附近外的絕大部分區(qū)域偏差小于0.1%。特征點(diǎn)數(shù)增加或者采用一定的特征點(diǎn)分布，使得特征線網(wǎng)過(guò)渡更光滑，能進(jìn)一步減小壁面附近的出口馬赫數(shù)偏差。

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Design of nozzle inviscid contour based on axial Mach number distribution

Hu Zhenzhen＊，Li Zhenqian，Shi Yilei，Chen Aiguo（Hypersonic Aerodynamics Research Institute，China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang Sichuan 621000，China）

The supersonic inviscid contour design methods were studied for the hypersonic wind tunnel axial－symmetric nozzle.The Direct－design technique based on the axial Mach number distribution presetting was introduced，the axial Mach number distribution presetting method based on the ratio of area was improved，and a new multipoint－control characteristic point distribution method was proposed.The designed nozzle characteristic network was triangulated and compared with the numerical simulation result，and influencing factors were analyzed for the nozzle inviscid contour.Results indicate that：the feasibility of the axial Mach number distribution presetting method based on the ratio of area is guaranteed by the present improvement；the nozzle inviscid contour is significantly affected by the axial Mach number distribution，axial characteristic point distribution and the amount of characteristic points on the boundary.

hypersonic wind tunnel；supersonic inviscid contour；direct－design；axial Mach number distribution

V211.74

：A

（編輯：楊 娟）

1672－9897（2016）04－0097－08

10.11729／syltlx20150115

2015－09－04；

2015－12－04

＊通信作者E－mail：hzzmail＠163.com

Hu Z Z，Li Z Q，Shi Y L，et al.Design of nozzle inviscid contour based on axial Mach number distribution.Journal of Experiments in Fluid Mechanics，2016，30（4）：97－104.胡振震，李震乾，石義雷，等.基于軸線馬赫數(shù)分布的噴管擴(kuò)張段無(wú)粘型面設(shè)計(jì).實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)，2016，30（4）：97－104.

胡振震（1984－），男，浙江武義人，助理研究員。研究方向：高超聲速試驗(yàn)技術(shù)。通信地址：四川省綿陽(yáng)市二環(huán)路南段6號(hào)15信箱506分箱（621000）。E－mail：hzzmail＠163.com