劉　璨　吳敬權(quán)　劉煥牢　譚光宇

廣東海洋大學(xué),湛江,524088

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基于三角級(jí)數(shù)展開的銑削合力頻譜推導(dǎo)及刀具偏心估算

劉璨吳敬權(quán)劉煥牢譚光宇

廣東海洋大學(xué),湛江,524088

摘要：基于一元切削力機(jī)理模型將立銑刀的切削合力分解為公稱力和偏心力，采用周期信號(hào)的三角級(jí)數(shù)展開公稱力和偏心力，得到其諧波幅值和相位的表達(dá)式?；谝陨媳磉_(dá)式,推導(dǎo)出偶數(shù)齒刀具偏心力的偶數(shù)次諧波幅值為0，三齒刀具偏心力的刀齒頻率諧波幅值也為0。提出了一種用切削合力的主軸和刀齒頻率諧波估算刀具偏心距和偏心角的方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,采用該方法計(jì)算出的偏心值接近實(shí)測(cè)值。從理論上證明了偶數(shù)齒刀具的偏心力不存在偶數(shù)次諧波成分，所提出的估算方法只需一套估算式和一次切削實(shí)驗(yàn)，且數(shù)值計(jì)算比較容易。研究結(jié)果可用于偶數(shù)齒刀具的加工過(guò)程偏心和磨損辨識(shí)及其偏心量估算。

關(guān)鍵詞：銑刀;偏心;銑削力;頻譜

0引言

銑刀偏心和刀具磨損都將使各個(gè)刀齒的切削力不一致。如Schmitz等[1]指出,偏心距為4.9μm的二齒銑刀兩個(gè)刀齒的切削力峰值大致呈倍數(shù)關(guān)系。卞榮等[2]認(rèn)為微細(xì)銑刀偏心可能導(dǎo)致單齒切削。Zhang等[3]的研究結(jié)果表明,磨損刀齒的切削力將增大。銑刀偏心和刀具磨損對(duì)切削力的影響有相似之處，為識(shí)別刀具過(guò)程狀態(tài)，有必要提取出偏心的獨(dú)有特征，并估算偏心尺寸。

以切削厚度為偏心尺寸的函數(shù)，F(xiàn)u等[4]提出了偏心面銑刀的切削力模型；Zheng等[5]提出了偏心面銑刀傾斜銑削的切削厚度模型；Amarego等[6]提出了偏心立銑刀的切削力模型;Li等[7]提出了考慮螺旋角的偏心立銑刀切削力模型；劉璨等[8]推導(dǎo)出偏心立銑刀切削厚度的一種表達(dá)式?；谇邢髁δＰ?Kline等[9]發(fā)現(xiàn)偏心刀具的切削力主軸頻率成分顯著。Wang等[10]對(duì)切削分力作傅立葉變換,發(fā)現(xiàn)刀齒倍頻±主軸頻率處的切削分力成分包含偏心信息，并用切削分力的主軸頻率分量和常數(shù)項(xiàng)分量估算了偏心尺寸。文獻(xiàn)[11-12]在此方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步用優(yōu)化方法尋找最優(yōu)估算值。這一方法對(duì)二齒和二齒以上的刀具采用不同的估算方程式，且難以解釋不同切削分力估算結(jié)果的不一致性。Liu等[13]通過(guò)模型仿真發(fā)現(xiàn)，偶數(shù)齒銑刀的偏心力不存在偶數(shù)次諧波的現(xiàn)象，并提出了利用這一特點(diǎn)辨識(shí)偏心和磨損的新思路，但沒(méi)有從理論上給予證明。

本文用三角級(jí)數(shù)展開的方法得到切削合力的頻譜表達(dá)式，進(jìn)而從理論上證明了Liu等[13]發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，并提出了應(yīng)用切削合力的主軸頻率和刀齒頻率諧波估算偏心距和偏心角的方法。

1偏心刀具的切削力分解

對(duì)于齒數(shù)為z的立銑刀，若刀具浸入角不大于2π/z，為單齒銑削。圖1所示為偏心刀具逆銑時(shí)切削平面示意圖，其中,O1為主軸旋轉(zhuǎn)中心，O2為刀具物理中心,O1O2為偏心距ρ,β為刀具浸入角。按切削先后順序?qū)Φ洱X進(jìn)行排序，以切削力最大的刀齒為第0刀齒，圖1中T0為第0刀齒。α0為偏心方向與T0的夾角,視作刀具偏心角。

在一個(gè)主軸旋轉(zhuǎn)周期內(nèi),第i刀齒切削時(shí)的切削厚度表達(dá)式[13]為

(1)

φ=α0-(z+1)π/z

(2)

θi=ωst

(3)

式中,h(θi)為第i齒的切削厚度;ft為每齒進(jìn)給量;θi為第i齒旋轉(zhuǎn)角;i為刀齒序號(hào),i∈{0,1,…,z-1};ωs為主軸角速度;t為時(shí)間變量。

一元切削力模型(lumpedforcemodel)的切削合力與單元刃的切削材料未變形面積成正比。為簡(jiǎn)化計(jì)算,將各刀刃單元的切削厚度作相等處理，則第i個(gè)刀齒切削時(shí)的切削合力F(θi)的表達(dá)式為

F(θi)≈Kh(θi)az

(4)

式中,K為切削力系數(shù);az為切深。

將式(1)代入式(4),得

F(θi)=FN(θi)+FE(θi)

(5)

(6)

(7)

式中,FN(θi)為公稱力；FE(θi)為偏心力。

公稱力是刀具旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)，各刀齒的公稱力都相同，因此，公稱力是以刀齒頻率為頻率的周期信號(hào)。就同一次加工而言,α0和z為常值，若切削用量保持不變,則刀齒號(hào)i為偏心力的唯一變量,主軸每旋轉(zhuǎn)一周，刀齒號(hào)就變化一個(gè)周期，因此，偏心力是與主軸旋轉(zhuǎn)同頻率的周期信號(hào)。若將FE(θi)的系數(shù)2Kρa(bǔ)z歸一化為1 N,設(shè)α0=-π/6,z=4,β=π/3,則偏心力FE在一個(gè)主軸旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的波形如圖2所示。

公稱力和偏心力都是周期信號(hào),由多個(gè)諧波成分疊加而成，它們可分解為以時(shí)間t為變量的公稱力FN(t)和偏心力FE(t)：

(8)

(9)

其中,AN0、AE0分別為公稱力和偏心力的常數(shù)項(xiàng)。ANn、AEn分別為公稱力和偏心力的n次諧波的幅值。n為諧波次數(shù),n為自然數(shù)。ωe為公稱力的角速度,等于刀齒頻率。ωs為偏心力的角速度,等于主軸旋轉(zhuǎn)的角速度。nωe、nωs分別為公稱力和偏心力的n次諧波的圓頻率。φNn和φEn分別為公稱力和偏心力的n次諧波的相位。ωe和ωs的關(guān)系為

ωs=zωe

(10)

2偏心刀具的切削合力頻譜表達(dá)式、特征

周期信號(hào)x(t)可以用三角函數(shù)展開式展開：

(11)

(12)

(13)

φn=arctan(bn/an)

(14)

式中,an、bn為三角函數(shù)展開式系數(shù);T為x(t)的周期;ω為x(t)的圓頻率;An、φn分別為x(t)的n次諧波的幅值和相位。

公稱力和偏心力分別是以ωe、ωs為角速度的周期信號(hào)，所以可以用三角函數(shù)展開式求出其幅值和相位表達(dá)式。

2.1公稱力的頻譜表達(dá)式

將式(3)和式(6)代入式(11)、式(12)，得

(15)

(16)

式中,aNn、bNn為公稱力的三角函數(shù)展開式系數(shù)。

將式(15)、式(16)代入式(13)、式(14)，得

(17)

(18)

(19)

(20)

式中,ANn、φNn分別為公稱力的n次諧波的幅值和相位。

2.2偏心力的頻譜表達(dá)式

Ts為偏心力的周期,即刀齒周期。φEn為偏心力的n次諧波的相位。

將式(7)代入式(11)、式(12)，得

aEn=

(21)

(22)

式中,aEn、bEn分別為偏心力的三角函數(shù)展開式系數(shù)。

將式(21)、式(22)代入式(13)、式(14)，得

(23)

(24)

(25)

(26)

式中,AEn、φEn分別為偏心力的n次諧波的幅值和相位。

2.3切削合力的頻譜表達(dá)式

因?yàn)槠牧Φ木禐?,其常數(shù)項(xiàng)為0,即

AE0=0

(27)

偏心力的基頻為主軸頻率,公稱力的基頻為刀齒頻率,切削合力的基頻為主軸頻率。將式(8)、式(9)、式(27)代入式(5)，得

AEncos(nωst+φEn)]

(28)

其中,m=n/z,且m為正整數(shù)。式(28)表明，切削合力的常數(shù)項(xiàng)等于公稱力的常數(shù)項(xiàng)。

若n不為z的倍數(shù),則切削合力的第n次諧波只包含偏心力的第n次諧波，其幅值和相位為AEn和φEn。

若n為z的倍數(shù),則由式(28)可得,切削合力的第n次諧波的幅值A(chǔ)n和相位φn的表達(dá)式為

(29)

(30)

2.4切削合力的頻譜特征

2.4.1偶數(shù)齒刀具

考慮z和n都為偶數(shù)的情況，有

(31)

(32)

由式(24)、式(25)可得

(33)

(34)

將式(31)～式(34)代入式(23)，得

AEn=0

(35)

2.4.2三齒刀具

考慮z=n=3的情況,將z=n=3代入式(23)～式(25)，得

AE3=0

(36)

3刀具偏心尺寸估算方法

立銑刀的齒數(shù)z通常大于或等于2,由2.3節(jié)的分析可知,切削合力的主軸頻率諧波(即1次諧波)等于偏心力的1次諧波。切削合力的n次諧波等于公稱力的1次諧波和偏心力的n次諧波之和?？捎们邢骱狭Φ闹鬏S頻率諧波(即1次諧波)和刀齒頻率諧波(即n次諧波)的幅值和相位代入式(17)～式(20)、式(23)～式(26)、式(29)、式(30)，再采用方程式求解的數(shù)值方法求出偏心距ρ和偏心角α0的值。具體估算方法如下：

(1)在銑削過(guò)程中采集各切削分力，合成為切削合力。

(2)對(duì)切削合力應(yīng)用FFT算法，求切削合力主軸頻率諧波的幅值A(chǔ)1和相位φ1，以及刀齒頻率諧波的幅值A(chǔ)n和相位φn,AE1=A1,φE1=φ1。

(3)將φ1的值代入式(2)、式(24)～式(26)，求出偏心角α0。

(4)將An、φn的值代入式(17)～式(19)、式(23)～式(25)、式(29)～式(30)，求出偏心距ρ。

根據(jù)2.4節(jié)的分析結(jié)果,對(duì)于偶數(shù)齒和三齒刀具,其偏心力不存在刀齒頻率諧波，即AEz=0,可大大簡(jiǎn)化偏心距ρ的計(jì)算,因此,偶數(shù)齒和三齒刀具的偏心尺寸的計(jì)算較簡(jiǎn)單。

4實(shí)驗(yàn)

用φ10mm四齒硬質(zhì)合金立銑刀在銑削加工中心上切削45鋼材料。用北京航空航天大學(xué)SDC-C4F測(cè)力系統(tǒng)(包括應(yīng)變式測(cè)力儀、應(yīng)變放大器和測(cè)力軟件)同時(shí)測(cè)量三個(gè)切削分力,測(cè)力系統(tǒng)的靈敏度為133.33N/V。逆銑，空氣冷卻，切削寬度為5mm,主軸轉(zhuǎn)速為1836r/min，進(jìn)給量和切削深度變化，采樣頻率為4896Hz。切削參數(shù)列于表1。用千分表測(cè)得刀具靜態(tài)偏心距約5.0μm,靜態(tài)偏心角約45°。

可計(jì)算出實(shí)驗(yàn)的主軸旋轉(zhuǎn)頻率為30.6Hz,4倍頻(刀齒頻率)為122.4Hz。由實(shí)驗(yàn)的加工參數(shù)可知,β≈45°。

將實(shí)測(cè)切削分力合成為切削合力。經(jīng)濾除50Hz電磁噪聲和高于325Hz的成分后，切削合力數(shù)據(jù)如圖3～圖6所示。

對(duì)各次實(shí)驗(yàn)的切削合力數(shù)據(jù)作快速傅里葉變換處理,得到切削合力的幅頻譜和相頻譜,其中5號(hào)實(shí)驗(yàn)的頻譜如圖7所示。得到各次實(shí)驗(yàn)的切削合力的1次諧波的幅值A(chǔ)1、相位φ1以及4次諧波的幅值A(chǔ)4,見表2。

由上文的分析結(jié)果可知，A1=AE1,φE1=φ1,A4=AN1。由式(2)、式(17)～式(19)、式(23)～式(26)計(jì)算得到各次實(shí)驗(yàn)的偏心距和偏心角的估算值，見表2。

5探討與結(jié)論

5.1探討

如表2所示,當(dāng)進(jìn)給量或切削深度較小時(shí)，用估算得到的偏心距偏小，這可能是尺寸效應(yīng)所引起的。本文的估算方法基于切削力系數(shù)K為常數(shù),而當(dāng)進(jìn)給量或切削深度較小時(shí)K不為常數(shù),因此,本文的估算方法適合采用較大的進(jìn)給量和切削深度。

因偏心力不存在常數(shù)項(xiàng)，則A0=AN0,由AE1和A0可求得偏心距ρ的值。對(duì)于奇數(shù)齒刀具，這種方法比前述方法的計(jì)算更簡(jiǎn)單。然而，切削力系數(shù)的尺寸效應(yīng)對(duì)切削合力常數(shù)項(xiàng)的作用較大，用該方法將有更大的估算誤差。

Wang等[10]也采用了公稱力和偏心力頻譜的方法估算銑刀偏心尺寸,然而,該方法基于二元切削力機(jī)理模型和傅里葉變換,采用x或y向切削分力的常數(shù)項(xiàng)和1次諧波估算。而本文的方法基于一元切削力機(jī)理模型和周期信號(hào)的三角函數(shù)展開式，采用切削合力的1次和n次諧波估算。與Wang等[10]的方法相比,本文的方法可降低切削力系數(shù)尺寸效應(yīng)對(duì)估算結(jié)果的干擾，并且二齒及以上刀具的估算式唯一。

為便于闡述，本文以切入角為0、切出角為β的逆銑為例說(shuō)明理論推導(dǎo)過(guò)程。對(duì)于任意的切入角θ1、切出角θ2以及順銑，都有同樣的推導(dǎo)結(jié)果，在計(jì)算時(shí)，用具體的θ1和θ2替代0和β。

5.2結(jié)論

(1)由式(35)、式(36)可知，偶數(shù)齒刀具和三齒刀具的偏心力的偶數(shù)次諧波為0,表明偶數(shù)次諧波不存在，這從理論上支持了文獻(xiàn)[13]的仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

(2)從表2可見，各次實(shí)驗(yàn)的偏心角估算值之間的偏差小于10°，且與靜態(tài)偏心角實(shí)測(cè)值的偏差較小，表明本文提出的立銑刀偏心角估算方法在實(shí)驗(yàn)參數(shù)范圍內(nèi)有效。

(3)從表2可見，各次實(shí)驗(yàn)的偏心距估算值與靜態(tài)偏心距實(shí)測(cè)值的相對(duì)偏差較小，表明本文提出的立銑刀偏心距估算方法在實(shí)驗(yàn)參數(shù)范圍內(nèi)有效。

(4)偶數(shù)齒刀具的偏心尺寸計(jì)算較簡(jiǎn)單，此外，考慮到尺寸效應(yīng)的影響，本估算方法更適用于偶數(shù)齒刀具，且適合采用較大的進(jìn)給量和切削深度。

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(編輯陳勇)

SpectralDerivationofResultantMillingForceandEccentricEstimationofToolBasedonTrigonometricSeriesExpansion

LiuCanWuJingquanLiuHuanlaoTanGuangyu

GuangdongOceanUniversity,Zhanjiang,Guangdong,524088

Keywords:millingcutter;eccentricity;millingforce;frequencyspectrum

Abstract:Thecuttingforcewasdiscomposedintonominalandeccentriccomponentforcesbasedonunarycuttingforcemodel,thetrigonometricseriesofperiodicsignalswasappliedtoexpandthesetwocomponentforces，andthentheamplitudeandphaseexpressionsoftheirharmonicswereobtained.Basedontheseexpressions,itisdeducedthattheeven-harmonicsamplitudesoftheeccentricforceforeven-toothmillingcutterarezero,thetooth-frequencyamplitudeoftheeccentricforcefor3teethmillingcuttersiszerotoo,andanewestimationmethodofeccentricdistanceandangleformillingcutterswaspresented,whichusestheharmonicsofresultantcuttingforceinspindleandtoothfrequencies,theestimatedeccentricvaluesareclosetothatmeasuredinexperiments.Ittestifiesintheorythattherearenoevenharmonicsintheeccentriccomponentforceofeven-toothmillingcutters,thepresentedmethodneedsonlyonesetofequationandonecuttingtest,anditsnumericalcalculationisrathereasyforeven-toothmillingcutters.Theresearchfruitscanbeusedtoidentifyeccentricityandwear,andestimateeccentricityinprocessforeven-toothmillingcutters.

收稿日期：2015-04-14

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51375099，51375100)

作者簡(jiǎn)介：劉璨，男，1971年生。廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院副教授、博士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械加工過(guò)程的監(jiān)測(cè)控制。吳敬權(quán)，男，1980年生。廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)員。劉煥牢，男，1967年生。廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院教授、博士。譚光宇(通信作者),男,1957年生。廣東海洋大學(xué)工程學(xué)院教授、博士。

中圖分類號(hào)：TH161

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.02.017