司懷偉　王清心　丁家滿

摘 要： 方案決策中的不確定因素越來越多，對決策結(jié)果在不確定環(huán)境下的靈敏度分析顯得尤為重要。傳統(tǒng)靈敏度分析方法常常忽略不確定性或只是簡單平均將導(dǎo)致規(guī)劃方案決策的偏差甚至錯誤。針對上述問題，提出一種基于概率盒理論的削減分析算法，首先對不確定性變量進(jìn)行概率盒建模，其次將各指標(biāo)概率盒輸入決策方程計算并得到?jīng)Q策基數(shù)，然后依據(jù)決策基數(shù)對方案中各指標(biāo)逐一消減，并計算得到其靈敏度。最后將該方法應(yīng)用于電網(wǎng)規(guī)劃方案決策中，實驗結(jié)果表明該方法具有較強(qiáng)的實用性。

關(guān)鍵詞： 靈敏度分析； 概率盒； 不確定性分析； 削減法

中圖分類號： TN911?34； TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）07?0149?05

Abstract： The more uncertainty factors in the scheme decision are particularly important to the sensitivity analysis of the decision results in the uncertain environment. The traditional sensitivity analysis methods often ignore the uncertainty or simply average the deviation error， which results in the deviation of the planning decision or even mistake. For the above problems， a cutting analysis algorithm based on the probability box theory is proposed. The probability box of the uncertainty variables is modeled， and the input decision?making equation of each indicator probability box is calculated to obtain the decision cardinal number， then each indicator in the scheme is orderly cut according to the decision cardinal number to obtain its sensitivity. The method was applied to the decision?making of the power grid planning scheme. The experimental results show this method has strong practicability

Keywords： sensitivity analysis； probability box； uncertainty analysis； cutting method

0 引 言

決策方案中不確定性因素出現(xiàn)的越來越多，不確定性指標(biāo)的處理與分析顯得尤為重要[1]。靈敏度分析是不確定因素環(huán)境中多屬性決策的必要補充[2]，通過靈敏度分析可以較好地識別出關(guān)鍵指標(biāo)[3]。靈敏度分析是一種根據(jù)參數(shù)的輸入研究輸出結(jié)果變化的不確定性分析[4]。如果輸入?yún)?shù)變化很小，引起輸出結(jié)果的變化很大，則認(rèn)為該參數(shù)是靈敏的。由此可見，決策方案中某項指標(biāo)發(fā)生變化卻忽略該變化，則會造成一定的損失，所以有必要對規(guī)劃方案進(jìn)行靈敏度分析來規(guī)避方案中可能出現(xiàn)的風(fēng)險。

許多研究者逐漸發(fā)現(xiàn)靈敏度分析的重要性，并且出現(xiàn)許多經(jīng)典分析方法，如非參數(shù)方法[5]、方差分析法[6]以及矩獨立分析方法[7]。上述方法大都是對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然后代入模型，代入的方式包括區(qū)間范圍或者是一個平均數(shù)，但是大多數(shù)方法都忽略了數(shù)據(jù)的一些概率特性，進(jìn)而影響靈敏度分析的結(jié)果[8]。在有不確定性指標(biāo)先驗概率的情況下，貝葉斯靈敏度分析是一種很好的靈敏度分析方法[9]，但是在先驗概率未知情況下可用性變小。

針對上述問題，本文基于文獻(xiàn)[8，10]提出一種概率盒的方法處理數(shù)據(jù)，該方法通過累計概率分布的方法對不確定性指標(biāo)進(jìn)行建模，可以很好地找到不確定性指標(biāo)的變化范圍。然后通過卷積和控制變量的削減方法進(jìn)行靈敏度分析。概率盒方法在美國圣地安娜實驗室核工程方面取得了巨大成就，并且在股票預(yù)測方面也取得了一定進(jìn)展[1，8，10]。

1 概率盒及其相關(guān)理論

1.1 證據(jù)結(jié)構(gòu)體

傳統(tǒng)的概率表示法是一個點，而證據(jù)論指出這些點是由觀測或測量得出的，而這些觀測和測量往往不精確，這些數(shù)據(jù)有很大的不確定性，甚至有許多數(shù)據(jù)是不可測量的。證據(jù)結(jié)構(gòu)體則用一組在這個點周圍的實數(shù)集合來定義這個點的概率，這些實數(shù)集合稱為焦元。一個概率分布函數(shù)往往是一條實數(shù)線，用證據(jù)結(jié)構(gòu)體表示概率的方法則不是實線上的點而是焦元。

1.2 概率盒理論

不確定性分析是把不同變量代入數(shù)學(xué)模型中作為輸入，分析其輸出結(jié)果的變化。代入通常分為兩種：一種是輸入值附近可能的區(qū)間范圍；另一種是輸入變量可能的概率分布。在一個確定的計算中，當(dāng)模型中存在計算所使用的變量是不確定的情況時，可以利用區(qū)間范圍進(jìn)行不確定性分析。采用Monte Carlo模擬法可以模擬出變量出現(xiàn)的概率，產(chǎn)生的概率分布表示不確定性變量可能值的點估計。目前許多靈敏度分析方法是構(gòu)建一個概率計算的概率不確定性分析，其結(jié)果是一個二階概率估計，然而計算十分繁瑣，并且得到的可視化結(jié)果難以理解，這樣的研究很難進(jìn)行；或者，將邊界參數(shù)應(yīng)用于概率計算和到達(dá)區(qū)間范圍的概率分布，即“概率界限分析（PBA）”。這種方式表示不確定性概率分布的累積分布函數(shù)完全處于一對邊界分布函數(shù)之間，即為“概率盒（P?box）”。概率盒之所以可以進(jìn)行不確定性概率邊界分析，是因為它定義了概率分布周邊的分布情況，以及不確定性輸入或輸出變量的分布，這種分析通過對不確定性分布函數(shù)的周圍進(jìn)行邊界劃分，保證產(chǎn)生的界限將完全處在累積分布函數(shù)之間。概率盒的邊界分布包含所有在該終端取值相同的概率分布。

1.3 DS結(jié)構(gòu)體和概率盒的關(guān)系

DS結(jié)構(gòu)體是一種不精確的分布，一個焦點元素代表一組可能[x]概率值，現(xiàn)有的證據(jù)論和方法區(qū)分不出來可能的[x]值。這種焦元概率值的不可區(qū)分性使證據(jù)論具有局限性。而P?box用概率界限的方法可以解決概率不確定性問題，根據(jù)不確定點[z]的基本概率事件可以做出一條關(guān)于[z]的概率實線[g（z）。]此方法主要考慮不確定性問題的概率范圍，而不是[x]值，所以概率盒用一個概率區(qū)間表示一個不確定點的概率[11]。二者關(guān)系不是一對一的關(guān)系，可能是幾個DS結(jié)構(gòu)體組成一個P?box。因此， DS結(jié)構(gòu)體不是一個信息保存操作。二者結(jié)合對于風(fēng)險分析是一個不錯的應(yīng)用。

1.4 得到概率盒的方法

得到概率盒的方法有許多，本文主要采用直接估計法又稱專家估計。該方法的基本思想是根據(jù)已經(jīng)掌握的概率分布或者專家的經(jīng)驗得到某一不確定變量概率分布。這種分析是在已有的不確定性分析上進(jìn)行進(jìn)一步推斷。當(dāng)不確定性變量信息足夠時概率盒的上、下界將退化成累計分布函數(shù)。在某些情況下，由于知識的局限性，一個分布的參數(shù)是不確定的，只能估計出參數(shù)的一個大致區(qū)間，此時可以直接計算出概率盒的邊界。例如一個均勻分布的兩個參數(shù)分別在[a，b]和[c，d]之間，這種分布可以累積成一對分布函數(shù)把這種分布的所有情況包括進(jìn)去。概率盒的左邊界是一個在[a]和[c]之間的累計均勻分布?？梢杂镁鶆蚍植糩[a，c]]來表示，同樣右邊界用均勻分布[[b，d]]表示。對于大多數(shù)已知的分布函數(shù)可以用這種方法進(jìn)行累計求出概率盒的左右邊界。概率盒的左邊界是在[a]和[c]之間均勻分布的累積函數(shù)。其中[a]表示均值，[c]表示方差。

這是得到概率盒方法中最簡單、最基本的一種方法。得到概率盒的方法還有建模、貝葉斯概率建模等方法，特別說明一下貝葉斯也是一種很好的不確定性分析方法，但是其必須知道先驗概率，否則就無能為力了。得到概率盒方法步驟如下：

（1） 不確定數(shù)據(jù)采集，根據(jù)數(shù)據(jù)的大致特征和數(shù)據(jù)量進(jìn)行不確定建模分類。

（2） 根據(jù)數(shù)據(jù)大致類型進(jìn)行建模，若符合直接估計建模，計算所需要參數(shù)的范圍，如均勻分布的均值和方差。

（3） 進(jìn)行分布函數(shù)的累積，得到概率盒的上、下界。

（4） 根據(jù)累積分布后的函數(shù)畫出概率盒的示意圖。

（5） 進(jìn)行不確定性分析，特征提取等操作。

2 基于概率盒的不確定性靈敏度算法

數(shù)據(jù)量不斷增大，數(shù)據(jù)的不確定性也越來越大，主要有偶然不確定性和主觀不確定性。偶然不確定性是指數(shù)據(jù)本身的變化，主觀不確定性是由于人們掌握的數(shù)據(jù)、認(rèn)識數(shù)據(jù)的方法工具不全面造成的。傳統(tǒng)的做法是把不確定數(shù)用一個精確的數(shù)，或者用一個概率區(qū)間代替，模擬不確定數(shù)的變化。隨著計算機(jī)的發(fā)展，蒙特卡羅二階概率把變量的二階概率通過大量反復(fù)的重復(fù)模擬后，形成一個概率，并將該概率代入不確定分析方法中。但計算量是巨大的，產(chǎn)生的結(jié)果也難以讓人理解。

基于概率盒的靈敏度分析方法充分考慮了偶然不確定性和主觀不確定性，在變量替換的靈敏度分析方法中不僅可以控制變量的不確定性，還可以控制變量之間的依賴關(guān)系。如圖3展示了一個簡單的變量控制的靈敏度分析法。圖3描繪了[A]和[B]是兩個不確定的數(shù)字，在基線的情況下對其中的削減進(jìn)行比較，如圖4，圖5所示。不確定數(shù)[A]被指定為一個均勻的分布，其最小值介于4～5之間，最大值為5～6之間。不確定變量[B]被指定為正態(tài)分布方差的均值是8～9之間的值。它的兩個端點值被任意截斷為5.4和11.6。

控制不確定性變量[A，]令它的不確定性慢慢地變化如圖4，然后卷積得到模型的輸出影響大約為47%。

同理，對變量[B]進(jìn)行控制其變量的不確定性，如圖5所示。模型的輸出結(jié)果影響是47.2%。將本方法與傳統(tǒng)的靈敏度分析方法對比，方差分析中[A]和[B]的方差相差很大對結(jié)果的影響也是方差較大的[B]對模型輸出結(jié)果影響較大。而概率盒的靈敏度分析法結(jié)果顯示[A]和[B]對結(jié)果的影響都僅在47%左右。

由以上分析可知，基于概率盒的削減算法步驟如下：

（1） 對數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的統(tǒng)計，做簡單的數(shù)字特征提取，如建立簡單的坐標(biāo)軸觀察數(shù)據(jù)的形狀，均值方差求值。

（2） 根據(jù)步驟（1）中的簡單統(tǒng)計選擇相應(yīng)的概率盒建模方法。

① 數(shù)據(jù)分組；

② 數(shù)據(jù)分組后的均值方差求值；

③ 對均值方差進(jìn)行累計求分布。

（3） 重復(fù)步驟（1）和步驟（2）操作對所有變量進(jìn)行概率盒建模。

（4） 控制變量的不確定性與其他變量畸形卷積。

（5） 重復(fù)步驟（4）直到每一個變量都進(jìn)行過控制。

3 實驗結(jié)果及分析

概率盒針對不確定性指標(biāo)的分析有很大的優(yōu)勢。在電網(wǎng)規(guī)劃中存在著大量的不確定性信息，以某省輸電網(wǎng)“十二五”規(guī)劃方案決策為實例，說明概率盒在電網(wǎng)規(guī)劃方案決策的概率靈敏度分析方法的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文采用概率盒和削減方法對不確定數(shù)據(jù)進(jìn)行靈敏度分析，并以電網(wǎng)規(guī)劃方案靈敏度分析為例，證明了該方法的有效性。通過對不確定數(shù)據(jù)的靈敏度分析，有助于決策者識別關(guān)鍵指標(biāo)，規(guī)避風(fēng)險。

盡管概率盒方法有許多優(yōu)點，但是國內(nèi)發(fā)展尚不完善，研究資料很少。本文也只是對概率盒的初步應(yīng)用，將概率盒的其他優(yōu)點應(yīng)用于靈敏度分析中是下一步的研究方向。

注：本文通訊作者為王清心。

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