余建熙河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院

數(shù)據(jù)處理方法在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的應(yīng)用

余建熙
河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院

在總結(jié)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽歷屆考題解題模式的前提下，從數(shù)據(jù)解析、插值與擬合、數(shù)據(jù)仿真、回歸解析等四個(gè)層面歸納了數(shù)據(jù)處理方法與數(shù)學(xué)軟件在數(shù)據(jù)建模比賽中的運(yùn)用，能夠在數(shù)學(xué)建模中，為如何選擇數(shù)據(jù)處理模式帶來(lái)啟發(fā)。

數(shù)據(jù)處理；數(shù)學(xué)建模；比賽；運(yùn)用；探討

數(shù)學(xué)建模是使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際疑問(wèn)進(jìn)行精簡(jiǎn)、抽象與描繪，構(gòu)建解答問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)使用電腦技術(shù)予以輔助，對(duì)解答的成果進(jìn)行解析與檢測(cè)，最終獲得化解具體疑問(wèn)的預(yù)案。在數(shù)學(xué)建模階段，大量的實(shí)驗(yàn)參數(shù)要予以解析，必須使用電腦軟件來(lái)協(xié)助進(jìn)行整合，這個(gè)流程就是數(shù)據(jù)建模中的數(shù)據(jù)處置。利用特定的處置手段從實(shí)驗(yàn)參數(shù)中摸索出其規(guī)律，進(jìn)而將看似無(wú)關(guān)的參數(shù)結(jié)合起來(lái)分析。在模型建設(shè)的初期，使用既定的數(shù)據(jù)處理模式能夠有效解讀問(wèn)題所闡述的模型變量間的聯(lián)系，進(jìn)行初始規(guī)劃。一部分模型可以使用統(tǒng)計(jì)解析的方法予以建立，例如回歸分析法與時(shí)序分析法等。

一、數(shù)據(jù)解析

通常，數(shù)據(jù)建模搜集與提供的原始數(shù)據(jù)絕大多數(shù)都以電子表格的形式存在，電子表格軟件具備參數(shù)排列、選擇、實(shí)效性、分類(lèi)總結(jié)、內(nèi)部函數(shù)換算等多重能力，用來(lái)對(duì)參數(shù)實(shí)施初級(jí)整合，比如使用關(guān)鍵詞排列、根據(jù)數(shù)據(jù)或范圍進(jìn)行選擇，分類(lèi)總結(jié)，換算最大值與最小值、頻數(shù)、方差等，同時(shí)電子表格還具備繪圖能力，比如描繪散點(diǎn)圖、曲線圖、直方圖等，對(duì)參數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)估與解析等。

二、插值與擬合功能

在建模比賽中，應(yīng)對(duì)參數(shù)實(shí)施處置，最常見(jiàn)的方法是參數(shù)插值與參數(shù)擬合的方法。比如1998年美國(guó)賽A題中的生物組織切片版塊就運(yùn)用了三維插值方法；1994年國(guó)賽A題在演算山體海拔的時(shí)候，參數(shù)插值方法就被合理運(yùn)用；2001年國(guó)賽中血管三維重建問(wèn)題也運(yùn)用了相同的方法；2003年國(guó)賽“非典”版塊就使用數(shù)據(jù)擬合的模式觀測(cè)數(shù)據(jù)走勢(shì)并完成處置；2004年國(guó)賽醉酒行駛問(wèn)題本質(zhì)上也利用了擬合的方法；2005年國(guó)賽降水量報(bào)告的考評(píng)也利用了插值的方法；2006年國(guó)賽B題艾滋病診斷評(píng)價(jià)與治療功效的預(yù)估也使用了參數(shù)擬合的方法；2011年國(guó)賽中城鎮(zhèn)表面土層重金屬污染問(wèn)題也動(dòng)用了插值與擬合方法。

擬合方法可以從實(shí)驗(yàn)參數(shù)的解讀中，給定某既有函數(shù)的參數(shù)或解出某類(lèi)近似函數(shù)，讓所獲得的近似函數(shù)與已有參數(shù)形成較好的擬合度。而在數(shù)據(jù)有偏差的情況下，不需要解出近似函數(shù)要經(jīng)過(guò)的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，只需要解答在既定態(tài)勢(shì)下映射參數(shù)改變情況的近似函數(shù)的模式被稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合。而參數(shù)插值是根據(jù)既有數(shù)據(jù)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)情況，根據(jù)某種插值方法來(lái)得出未知數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)。

（一）數(shù)據(jù)插值

因?yàn)閷?shí)驗(yàn)環(huán)境的不同，加上實(shí)驗(yàn)參數(shù)量小的原因，在既有參數(shù)可靠的基礎(chǔ)上，利用函數(shù)插值方法可以插值出兩類(lèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)間的一些數(shù)據(jù)點(diǎn)，所繪出的數(shù)據(jù)曲線會(huì)通過(guò)全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。所挑選的插值函數(shù)的類(lèi)別不一，逼近的功效與光滑度也是不一樣的。常用的插值方法為：lagrange插值、分段線性插值、Hermite插值、三次樣插值，上述模式都是分段插值模式。Matlab內(nèi)形成的功能函數(shù)具備分段插值的能力而無(wú)需編寫(xiě)函數(shù)流程，比如interpl（一維插值）、interp2、interp3、intern，當(dāng)中一維與二維插值使用頻率較高。一維插值函數(shù)的表達(dá)式是：yi=interpl（x，y，xi，method），當(dāng)中（x，y）是插值節(jié)點(diǎn)，xi是被插值點(diǎn)，yi是xi位置的插值數(shù)據(jù)，默認(rèn)態(tài)勢(shì)下插值方法為分段線性插值，nearest為相近位置的插值，linear是線性插值，spline為三次樣條插值，cubic是立方插值。需要注意的是，所有插值模式中x必然是單調(diào)的，而且xi要在x的數(shù)值選取范疇中。二維插值的函數(shù)能夠?qū)懗桑簔=interp2（x，y，z，x，y，method）。

（二）參數(shù)擬合

在變化多端的環(huán)境中，可以直接運(yùn)用實(shí)驗(yàn)參數(shù)建立模型，找到因果變量間的聯(lián)系，進(jìn)而預(yù)判未來(lái)的情景，如此構(gòu)建的模型被稱(chēng)為擬合模型。使用擬合模型將實(shí)驗(yàn)室參數(shù)約束在一定范圍內(nèi)，利用數(shù)學(xué)表達(dá)式從數(shù)目層面近似表述因果變量間的聯(lián)系。擬合模型的建立能夠?qū)Σ煌兞康膶?shí)驗(yàn)參數(shù)實(shí)施觀察、總結(jié)，最后明確要使用的參數(shù)。

擬合模型基本上可以劃分為線性擬合、多項(xiàng)式擬合與曲線擬合。在Matlab內(nèi)可以憑借函數(shù)polyval（）與Isqcurvefit（）達(dá)成擬合，在spss內(nèi)憑借MENU與對(duì)話框測(cè)評(píng)，要同時(shí)挑選多種方法對(duì)擬合程度進(jìn)行比對(duì)。為了最后選擇出較佳的方法，應(yīng)先描繪出散點(diǎn)圖并參考參數(shù)的分布趨勢(shì)，最終敲定使用何種辦法。

三、參數(shù)仿真

數(shù)學(xué)建模中無(wú)法脫離電腦仿真技術(shù)，當(dāng)中隨機(jī)性模擬為常規(guī)算法。數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)仿真通常包含數(shù)學(xué)仿真以及電腦仿真兩種。數(shù)學(xué)仿真要用到數(shù)學(xué)方程式，在既定的建立條件下要通過(guò)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行模擬仿真。使用電腦對(duì)體系的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，叫做電腦仿真。通過(guò)電腦仿真模式能夠變更仿真系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)，便于對(duì)模型的解析。電腦仿真模式中蒙特卡洛算法使用頻率較高，這種算法還有另外一個(gè)名稱(chēng)，那就是隨機(jī)性模擬方法。

此外，使用隨機(jī)函數(shù)對(duì)要求解的疑問(wèn)實(shí)施隨機(jī)樣本的抽取，取得樣本，觀察樣本值，統(tǒng)籌解析，最后獲得所要解答問(wèn)題的參數(shù)。例如全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽1997年A題“零件參數(shù)預(yù)設(shè)”版塊，算題中所有元件均顯示出不同的標(biāo)定值與容差等級(jí)，要求解出元件的最優(yōu)結(jié)合模式。又比如利用計(jì)算流程較為繁瑣的數(shù)學(xué)表達(dá)式，從108類(lèi)容差中選擇合適的預(yù)案，求解過(guò)程極為繁雜而且難度較大。只能通過(guò)電腦仿真模式來(lái)求出問(wèn)題的答案。當(dāng)中的一種求解方法就是使用蒙特卡洛算法予以解答，尋找到優(yōu)化后的預(yù)案，在每一元件的可行區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)挑選一個(gè)標(biāo)定數(shù)據(jù)與一個(gè)容差數(shù)據(jù)，使用蒙特卡洛算法仿真出大批的預(yù)案，并挑選最佳預(yù)案。

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